Lezione n.15. Doppi bipoli

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1 Lezione 5 Doppi bipoli Lezione n.5 Doppi bipoli. Definizione di N-polo. Definizione di doppio-bipolo 3. Doppi-bipoli in regie stazionario (doppi-bipoli di resistenze 4. Problei di analisi 5. Problei di sintesi 5. Esercizio 6. Doppi-bipoli in regie sinusoidale (doppi bipoli di ipedenze 6. Esercizio n questa lezione studiereo i doppi bipoli. Partendo dagli N-poli definireo il doppio-bipolo e introdurreo le caratteristiche di tale sistea. Parlereo in particolare dei doppi-bipoli resistivi e poi di quelli costituiti da ipedenze da trattare in regie sinusoidale. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

2 Lezione 5 Doppi bipoli. Definizione di N-polo Sebbene i bipoli (eleenti con due terinali siano gli eleenti più couni, esistono nuerosi eleenti circuitali con N terinali (ad esepio i transistori che hanno tre orsetti, i trasforatori che ne hanno quattro,. Ad un eleento a N terinali si dà il noe di N-polo. l sibolo usato per questo eleento è rappresentato in Fig. dove abbiao considerato tre terinali. v i i v 3 i 3 3 v 3 Fig. Rappresentazione di un generico 3-polo. Un N-polo è individuato da una N-pla di correnti e di tensioni. Per il tri-polo preso in considerazione in Fig. abbiao le tre correnti i, i,i3 e le tre tensioni v 3, v, v3 tra loro dipendenti nel odo seguente: i + i + i3 0, ( v + v v 0. ( 3 3 Pertanto delle tre correnti, una dipende dalle altre due. Per quanto riguarda le tensioni, possiao diostrare l espressione ( introducendo i potenziali di nodo φ, φ, φ3. Espriendo le tensioni v 3, v, v3 in funzione dei potenziali di nodo v φ, v, v, 3 φ3 φ φ 3 φ φ3 l equazione ( è autoaticaente soddisfatta, infatti: Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

3 Lezione 5 Doppi bipoli φ +. (3 φ φ φ3 φ3 φ È chiaro che le equazioni ( e ( devono essere usate insiee alle equazioni di Kirchhoff del circuito in cui è inserito l N-polo. Si dovranno poi aggiungere le relazioni caratteristiche dei bipoli del circuito, e chiaraente anche quelle dell N- polo.. Definizione di doppio-bipolo Consideriao ora un quadri-polo coe rappresentato in Fig.. Un quadri-polo viene detto doppio-bipolo se due delle correnti di due terinali dipendono dalle altre due. n particolare se risulta soddisfatta la condizione i ; i i4. (4 i 3 n Fig.3 abbiao rappresentato un generico doppio-bipolo. La condizione (4 può essere verificata dalla natura intrinseca del coponente, coe avviene per il trasforatore, oppure da coe il coponente è inserito nel resto del circuito. Quest ultio caso riguarda i doppi-bipoli resistivi e più in generale i doppi-bipoli costituiti da resistori, condensatori e induttori. n questa lezione esainereo pria i doppi-bipoli resistivi, in particolare introdurreo la loro caratterizzazione e le proprietà relative e poi i doppi bipoli di ipedenze. i i 3 i 3 i 4 4 Fig. Un quadri-polo. n un doppio-bipolo i quattro terinali dell N-polo si accoppiano a due a due. terinali che forano una coppia si chiaano porta e si preferisce indicarli non più con -3, -4, a con -, - coe fatto in Fig.3. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 3

4 Lezione 5 Doppi bipoli i i i 3 -i i 4 -i Fig. 3 Un doppio-bipolo. n un sistea costituito da resistenze (a vale lo stesso anche per un circuito di ipedenze la condizione (4 è garantita dal fatto che le due coppie di orsetti - e - sono collegate ognuna ad un circuito, e quindi ad un bipolo equivalente. n Fig. 4 illustriao tale caso. i i Fig. 4 Doppio-bipolo resistivo terinato con due bipoli alle porte. n Fig.5, invece, rappresentiao un caso in cui la condizione (4 non è verificata. nfatti dalla legge di Kirchhoff al terinale, risulta evidente che i 3 è diverso da essendoci la corrente i d nel bipolo che collega i terinali e. i i i i 3 i 4 i d Fig. 5 Configurazione che non realizza un doppio-bipolo Riassuendo in un doppio bipolo le due porte - e - sono caratterizzate dalle loro tensioni, v e v e dalle loro correnti, i e i (vedi Fig. 6. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 4

5 Lezione 5 Doppi bipoli i i v v Fig. 6 Tensioni e correnti ai terinali di un doppio-bipolo. ogliao ora caratterizzare il doppio-bipolo. ogliao, cioè, deterinare la relazione funzionale che lega le quattro grandezze ai terinali. ogliao cercare, cioè, un sistea di equazioni in cui espriiao un legae tra due delle quattro grandezze in funzione delle altre due. Esistono vari odi di rappresentare tale legae a seconda se considero variabili dipendenti talune grandezze anzichè altre. Nel seguito elenchiao i vari casi:. i e i in funzione di v e v. n questo caso parlereo di caratterizzazione in tensione.. v e v in funzione di i e i. n questo caso parlereo di caratterizzazione in corrente. 3. v e i (o i e v in funzione di i e v (o v e i. n questo caso abbiao una caratterizzazione ibrida. Coinciao col vedere il prio caso. Se espriiao le correnti in funzione delle tensioni possiao iaginare di variare le tensioni alle due porte e quindi ettere due generatori ideali di tensione coe in Fig Doppi-bipoli in regie stazionario (doppi-bipoli di resistenze Supponiao che il doppio-bipolo sia puraente resistivo. Ci aspettiao che il legae che cerchiao sia di tipo algebrico lineare. Fig. 7 Catterizzazione in tensione di un doppio-bipolo resistivo. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 5

6 Lezione 5 Doppi bipoli Scriviao dunque: G + G G + G (5a (5b oppure G in fora atriciale. La atrice G viene detta atrice delle conduttanze. Chi sono gli eleenti della atrice G? Dal sistea (5 troviao G, (6 0 G. (7 0 Si tratta di conduttanze proprie, ossia conduttanze equivalenti che i generatori vedono quando l altro generatore è spento. Avendo fatto la convenzione del generatore sul generatore alla pria porta, la autoconduttanza G è non negativa (G 0. Analogaente per G. Per gli eleenti fuori diagonale: la atrice G è sietrica cioè G G G per il teorea di reciprocità. La G è chiaata conduttanza utua, si ha G v 0 v 0. (8 Le conduttanze utue non rappresentano una vera e propria conduttanza anche se hanno le diensioni di una conduttanza. Possono essere di qualsiasi segno. Un altra proprietà, conseguenza del teorea di non aplificazione delle correnti, è G G e G G (9 Possiao introdurre le stesse proprietà per gli eleenti della atrice delle resistenze R della caratterizzazione in corrente R + R R + R (0 Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 6

7 Lezione 5 Doppi bipoli Mentre per quanto riguarda le atrici ibride H della rappresentazione (c è anche la duale: H + H H + H ( Si ha che: H e H sono non negative; H H H (ancora per il teorea di reciprocità ha segno qualsiasi; H. 4. Problei di analisi problei di analisi consistono nel calcolare gli eleenti di una delle atrici caratteristiche di un doppio bipolo assegnato. l odo di procedere per il calcolo degli eleenti della atrice si avvale delle definizioni (6, (7 e (8 e di quelle analoghe per atrici di resistenze o ibride. La scelta di una caratteristica piuttosto che di un altra dipende dalla configurazione del doppio-bipolo. l criterio può essere quello di scegliere coe variabile di controllo ad una porta una tensione o una corrente a seconda se tra i terinali della porta vi è una resistenza o eno. Facciao un esepio: in Fig.8 abbiao considerato un doppio bipolo assegnato. Avendo le due porte con terinali entrabi collegati da una resistenza rispettivaente R a ed R d, scegliao di caratterizzare il doppio bipolo con una atrice delle conduttanze e quindi scegliao le tensioni coe variabili di controllo coe illustrato in Fig.9. R b R a R c R d Fig. 8 Esepio di doppio-bipolo da analizzare. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 7

8 Lezione 5 Doppi bipoli R b i i R a R c R d - Fig. 9 Scelta della variabili di controllo alle porte. R b i i + - R a R c R d R b (a + R a R c R d - (b Fig. 0 Circuiti per il calcolo dei paraetri della atrice G. Per il calcolo dei paraetri della atrice applichiao le definizioni (6, (7 e (8. Coinciao dalla (6: bisogna annullare la tensione coe abbiao rappresentato in Fig.0a e calcolare il rapporto. Questo corrisponde al calcolo della conduttanza equivalente vista dal generatore di tensione. ediao che il generatore di tensione spento ette in corto circuito la resistenza R d ; questo è il otivo pratico per il quale conviene utilizzare la atrice delle conduttanze per questa configurazione. n questo caso osserviao che anche la resistenza R c è essa in corto. La porta - vede R a in parallelo ad R b, pertanto la conduttanza G sarà: Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 8

9 Lezione 5 Doppi bipoli G i v v 0 R a + R b. ( Discorso analogo per G ; in questo caso però bisognerà tener conto di R b in parallelo con R c e con R d, quindi: G 0 R b + R c + R d. (3 eniao al calcolo della conduttanza utua, in generale più coplicato. Dobbiao scegliere una delle due espressioni nella (8 a seconda di quella che più ci conviene. Guardando la Fig.0a e 0b risulta più conveniente il calcolo di in funzione di nella 0a piuttosto che in funzione di in Fig.0b. La corrente in Fig.0a è quella che attraversa la resistenza R b essendo in corto R c ed R d. Basta considerare che conosciao la tensione su R b, si ha: G 0 Rb R b. ( Problei di sintesi problei di sintesi consistono nel costruire un doppio-bipolo una volta assegnata la atrice che lo rappresenta. Avendo a disposizione 3 condizioni relativi ai 3 paraetri della atrice caratteristica realizzereo il nostro circuito con tre resistenze. Per questa scelta, le configurazioni possibili sono due. Una collega i resistori a stella e l altra a triangolo. Si ha rispettivaente, per la configurazione a triangolo e a stella, la: - Configurazione a Π - Configurazione a T Ricordiao che una stella può essere equivalente ad un triangolo se le resistenze di una configurazione e dell altra soddisfano opportune relazioni. n Fig.a e Fig.b abbiao rappresentato le due configurazioni. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 9

10 Lezione 5 Doppi bipoli R ab R a R b R ac R bc R c (a (b Fig. Configurazione a Π (a e a T (b. Per deterinare il valore delle resistenze R ac, R ab e R bc della configurazione a triangolo (Π o delle R a, R b ed R c della configurazione a stella (possono essere equivalenti tra loro dobbiao iporre le condizioni (6, (7 e (8 o analoghe. 5. Esercizio Facciao un esepio. Supponiao di avere la atrice 0 5 R. (5 5 5 Avendo assegnata una atrice delle resistenze conviene utilizzare la configurazione a T poiché questa alientata con generatori di corrente è tale che quando si spegne un generatore la resistenza della porta interessata non vede passaggio di corrente e quindi non interviene nel calcolo. ediao nell esepio. Si ha: R R + R 0 Ω, (6 a c i 0 R R + R 5 Ω, (7 b c i 0 R R 5 Ω. (8 c i 0 i 0 Per calcolare i valori dei paraetri basta risolvere il sistea di equazioni (6, (7 e (8. l risultato sarà: R a 5 Ω. R b 0 Ω e R c 5 Ω. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 0

11 Lezione 5 Doppi bipoli 6. Doppi-bipoli in regie sinusoidale (doppi-bipoli di ipedenze Cosa accade quando all interno del doppio-bipolo non vi sono solo resistenze? E ancora possibile individuare una caratterizzazione del doppio-bipolo, tuttavia le relazioni non saranno più sepliceente di tipo algebrico. n questa lezione ci occupereo solo del caso in cui il doppio-bipolo si trova a regie sinusoidale (Fig. e quindi utilizzando il etodo dei fasori potreo ragionare in odo analogo a quanto fatto per i doppi-bipoli resistivi. Nel caso che stiao esainando si parla di doppi-bipoli di ipedenze perché all interno del sistea considerereo i bipolo descritti con le loro ipedenze o aettenze. Allora per caratterizzare un doppiobipolo si introdurrà la atrice delle ipedenze o la atrice delle aettenze (corrispondenti a quella delle resistenze e delle conduttanze. i i v v Fig. Doppio-bipolo di ipedenze. Consideriao la caratterizzazione controllata in tensione e quindi scriviao: ˆ & + &, (9a ˆ. (9b Y Y Y& + Y& La atrice Y& viene detta atrice delle aettenze. Le proprietà della atrice: gli eleenti fuori diagonale sono uguali, non ha senso parlare di segno in quanto le aettenze sono nueri coplessi. Gli eleenti saranno così calcolati: Y&, (0 0 Y&. ( 0 Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

12 Lezione 5 Doppi bipoli ˆ &. ( ˆ ˆ ˆ 0 ˆ 0 Y ˆ Per la atrice Z& detta delle ipedenze si ragiona in odo analogo. Consideriao questa volta la caratterizzazione controllata in corrente e quindi scriviao: ˆ & + &, (3a ZÎ ZÎ Z& Î + Z& Î. (3b Le proprietà della atrice: gli eleenti fuori diagonale sono uguali, non ha senso parlare di segno in quanto le ipedenze sono nueri coplessi. Gli eleenti saranno così calcolati: Z&, (4 Î 0 Z&, (5 Î 0 ˆ Z&. (6 Î Î 0 ˆ Î Î 0 6. Esercizio Proviao a risolvere la traccia d esae del 4 gennaio 005. Consideriao il circuito di Fig. 3. dati sono: e(t 0 cos(00t; R 0Ω; R 0Ω; C0.F; L0H. Utilizzando la atrice delle ipedenze calcolare la potenza attiva assorbita dalla resistenza R. La pria cosa da fare, visto che la traccia ci chiede di utilizzare la atrice del doppio bipolo (iplicitaente riferendosi al doppio bipolo R, L e C, è scollegare il generatore di tensione e la resistenza R. l circuito a cui fare riferiento è quello di Fig. 4. Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

13 Lezione 5 Doppi bipoli R L e(t R C Fig. 3 Circuito nel quale utilizzare la caratterizzazione a doppio bipolo. R L C Fig. 4 Circuito da caratterizzare con la atrice delle ipedenze. Per deterinare gli eleenti della atrice delle ipedenze dobbiao utilizzare le (4, (5 e (6. Per far questo alientiao il doppio bipolo di Fig. 4 con due generatori di corrente coe in Fig. 5. nfatti per caratterizzare il doppio-bipolo con la atrice delle ipedenze è necessario controllare le due porte in corrente. n sostanza iponiao: Î Ĵ ; Ĵ Î. Abbiao utilizzato i fasori poiché essendo in regie sinusoidale dobbiao analizzare il circuito di Fig. 5 nel doinio dei fasori. Facciao quindi riferiento al circuito di ipedenze di Fig. 6. Per utilizzare la definizione (4 dobbiao spegnere il generatore Ĵ. Questo l abbiao rappresentato in Fig. 7. Ora dobbiao calcolare (l auto ipedenza equivalente vista dal generatore Ĵ : Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 3

14 Lezione 5 Doppi bipoli R Z& + 0 j jωc 50, Î 0 (7 essendo l induttanza esclusa in quanto non vi è passaggio di corrente. R L j (t C j (t Fig. 5 Doppio-bipolo controllato in corrente. R jωl /jωc J J Fig. 6 Doppio-bipolo controllato in corrente nel doinio dei fasori. Calcoliao ora Z& dalla (5, utilizzando quindi il circuito di Fig. 8: Z& jωl + 48 j, (8 jωc Î 0 nfine calcoliao la Z& utilizzando la (6 per il circuito di Fig. 8: ˆ Z& 50 j. (9 Î jωc Î 0 Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 4

15 Lezione 5 Doppi bipoli Abbiao ottenuto la (9 perché la tensione che insiste sul condensatore è pari alla sua ipedenza per la corrente del generatore. l risultato ottenuto nelle (7, (8 e (9 è, naturalente, di carattere generale. R jωl J Fig. 7 Circuito per calcolare Z&. R jωl /jωc J Fig. 8 Circuito per calcolare Z& e n definitiva abbiao calcolato la atrice delle ipedenze: Z& j 50 j Z&. (30 50 j 48 j Ora grazie a questa atrice dobbiao calcolare la potenza attiva assorbita dal resistore R. Pertanto colleghiao nuovaente il generatore di tensione Ê e il resistore R alle due porte coe ostrato in Fig. 9. La potenza attiva assorbita dal resistore R sarà, dalla Lezione n.3: Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 5

16 Lezione 5 Doppi bipoli P R ; (3 R a pertanto è necessario deterinare la corrente o la tensione sul resistore R. R jωl E R Fig. 9 Calcolo della potenza attiva assorbita dal resistore R. postiao il sistea che ci consente di risolvere il problea: ˆ ˆ ˆ ˆ ( 0 50 j 50 jî Ê R Î Î 48 jî 50 jî (3 alutiao il fasore Ê. Si ha: Ê 0e j π 0 j. Sostituendo il fasore Ê e la quarta equazione nelle prie due otteniao: ( 0 50 j 0 j 0Î 50 jî Î 48 jî 50 jî (33 da cui: j 500 j, 0,5,037 j ; (34 50 j j e quindi: Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 6

17 Lezione 5 Doppi bipoli ( 0,5 + (,037, 8 M Pa R M 5, 64W. (35 Corso di ntroduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 7