Carlo Sintini, Problemi di maturità, 1965 Settembre, matematicamente.it

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1 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it Settebre 196 In un riferiento cartesiano ortogonale O(x,y) è data la curva di equazione x 1 (1) y x Essendo una costante reale. 1) Ricercare per quale traslazione degli assi l equazione (1) assue la fora XY = k. ) Trovare le coordinate x e y dei punti M, N couni alla curva e alla bisettrice del prio e terzo quadrante, individuati dagli assi Ox, Oy e deterinarla lunghezza del segento MN. 3) Verificare che per qualsiasi valore del paraetro, tutte le curve di equazione (1) hanno in coune un edesio punto C e deterinare poi l area del triangolo MNC. 4) Dire per quali valori di le rette di equazione x x y y risultano tangenti alla corrispondente curva di equazione (1) e deterinare le coordinate dei punti di contatto R, S nonché la lunghezza del segento RS. ) (Facoltativo) Fatta ruotare la curva di equazione (1) di un angolo giro attorno alla retta y =, si deterini il volue del solido liitato dalla superficie che così si ottiene e dai piani perpendicolari all asse delle x passanti per i punti

2 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it x x nell ipotesi di positivo. 0 x 1 0 Studiao anzitutto l andaento della funzione x 1 y x La curva ha un asintoto orizzontale x e uno orizzontale y = perché li f (x) x Studiao il segno della f(x) Quindi questo è il suo grafico

3 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it Non è necessario calcolare la derivata pria e la sua variazione del segno, perché già sappiao trattarsi di una iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi coordinati. La curva si trasfora nella XY = k Cioè in una iperbole equilatera operando una traslazione che sposti l origine nel punto ; che è il centro di sietria della funzione (si trova calcolando l intersezione fra i due asintoti). Applicando le forule di traslazione x X si ha XY y Y Torniao alla funzione pria della traslazione. Le coordinate dei punti M ed N si trovano risolvendo il sistea forato dalla funzione e dalla retta y = x. x 1 y x y x x x x 1 x x x Che corrisponde a valori reali della x quando il radicando è positivo o nullo, cioè per valori di esterni all intervallo Dove entrabi i valori sono negativi. Ma deve anche essere > 0 perché altrienti k diventa negativo, l iperbole occupa il secondo e quarto quadrante, e l iperbole non potrebbe ai

4 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it incontrare la retta y = x. Allora è sufficiente porre > 0 perché con questa condizione ricadiao sepre all esterno dell intervallo precedente e la x è sepre reale. Le coordinate dei punti M ed N sono in tal caso M ; N ; E la distanza MN è MN 6 Passiao ora al terzo quesito. La curva non dipende dal paraetro se si verificano condizioni tali che scopare dalla funzione x 1 y x E ciò avviene quando x = 0. E in corrispondenza risulta y = ½. Quindi la funzione passa per il punto 1 C 0; Qualunque sia il valore di. Al variare di la funzione passa sepre per il punto C. Per calcolare l area del triangolo MNC consideriao coe base il lato MN. Ne consegue che l altezza coincide con la distanza del punto C dalla retta y = x. Tale altezza allora è

5 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it 1 y0 x0 1 h 1 4 L area del triangolo MNC è MN h S 6 4 Passiao al quarto quesito e iponiao la tangenza fra la pria retta (del punto 4 del problea) e la curva x y x 1 y x Per confronto si ha (1) x x Iponiao anche la tangenza fra la seconda retta e la curva x y x 1 y x () x 4x Calcoliao le coordinate dei punti di contatto R e S. La (1) con = diviene 3 x 3 x 30x 9 0 R ;1 y1

6 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it Mentre la () con diviene 6 x 6 x 60x 36 0 S ;1 y1 La lunghezza del segento RS è quindi RS 11 Occupiaoci infine dell ultio quesito Ci conviene riferirci alla curva traslata XY Y X Perché in tal caso l asse di rotazione coincide con l asse delle ascisse, e il calcolo del volue è più agevole.

7 Carlo Sintini, Problei di aturità, 196 Settebre, ateaticaente.it x1 x1 x1 dx 1 V f '(x)dx dx x x x x0 x0 x x1 4 x 1 1 x1 x1 x0