ESAME di STATO Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI. Testi della prof. ssa Tiziana LA TORELLA LICEO SCIENTIFICO GALILEO FERRARIS

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1 ESAME di STATO 2011 Disegni a cura del prof. Cristiano DOMENICHELLI Testi della prof. ssa Tiziana LA TORELLA LICEO SCIENTIFICO GALILEO FERRARIS 1

2 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO Sessione 2011 Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di: MATEMATICA Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMA 1 Si considerino le funzioni e definite, per tutti gli x reali, da : 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino e e se ne disegnino i rispettivi grafici G f e G g. 2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G f con la retta. Successivamente, si considerino i punti di G g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell intervallo indichino le coordinate. e se ne 3.Sia R la regione del piano delimitata da G f e G g sull intervallo. Si calcoli l area di R. 4. La regione R rappresenta la superficie libera dell acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza dall asse y la misura della profondità dell acqua nella vasca è data da. Quale integrale definito dà il volume dell acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca? Breve introduzione: Il problema presenta tre punti semplici e un quarto complesso da capire e da disegnare, ma non così difficile da calcolare. In particolare sono richiesti : nel primo punto i grafici di una cubica e di una sinusoide con periodo T = 2; nel secondo le intersezioni tra la cubica e una retta orizzontale, mediante la soluzione di un sistema e i punti di massimo e minimo della sinusoide, con il calcolo della derivata prima; nel terzo nel quarto l area della regione R compresa tra le due curve, quindi il calcolo di un integrale definito; il calcolo del volume di una vasca d acqua, avente la regione R come superficie libera dell acqua e come profondità variabile. Il volume si ottiene risolvendo l integrale definito, avente come funzione integranda il prodotto delle due funzioni ( regione R) e altezza ( ). 2

3 Si considerino le funzioni e definite, per tutti gli x reali, da : 1. Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino e e se ne disegnino i rispettivi grafici G f e G g. La funzione è una classica cubica : Intersezioni con gli assi, e Segno: asintoti verticali, orizzontali ed obliqui Punti di massimo e minimo: e Punti di flesso. Grafico della funzione 3

4 La funzione è una sinusoide, ma con una caratteristica importante : l angolo quindi. Tutto più semplice! La funzione è in realtà una sinusoide contratta, rispetto alla funzione classica. GRAFICO DELLE FUNZIONI E NELL INTERVALLO 4

5 BREVE APPROFONDIMENTO In particolare, la funzione ha periodo, se l angolo x si duplica in 2x, il periodo della nuova funzione si dimezza e diventa, se l angolo si triplica in 3x,, il suo periodo risulta. avrà periodo. Le funzioni risultano compresse. In modo analogo,le funzioni e risultano dilatate con periodi duplicati o quadruplicati 5

6 Se si applica il valore assoluto all argomento x,, o alla funzione, oppure ad entrambi,, si ottengono rispettivamente i seguenti grafici : 2. Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G f con la retta. Successivamente, si considerino i punti di G g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell intervallo e se ne indichino le coordinate. Le intersezioni tra la funzione e la retta si trovano risolvendo il sistema e poi applicando la Regola di Ruffini nella scomposizione di un trinomio di 3 grado :

7 I punti di G g a tangente orizzontale, la cui ascissa è compresa nell intervallo, sono i punti di massimo e di minimo della sinusoide in un intervallo più esteso :. I punti di G g a tangente orizzontale sono. Grafico completo della sinusoide nell intervallo 7

8 3.Sia R la regione del piano delimitata da G f e G g sull intervallo. Si calcoli l area di R. Grafico completo delle due curve nell intervallo L area della regione R compresa tra le due curve di equazione si calcola risolvendo un integrale immediato definito dalla differenza delle due funzioni. AREA = AREA = = =. 8

9 4. La regione R rappresenta la superficie libera dell acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza dall asse y la misura della profondità dell acqua nella vasca è data da. Quale integrale definito dà il volume dell acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca? La regione R è la parte di piano compresa nell intervallo tra le due curve g: e Questo piano però è inclinato e segue la direzione della retta. Piano inclinato contenente il grafico della curva superiore g: 9

10 Piano inclinato contenente il grafico della curva inferiore La vasca ha la massima profondità quando e. è punto di intersezione delle due curve ed estremo inferiore di integrazione. Al crescere di x, la vasca diminuisce la sua profondità. In, secondo punto di intersezione delle due curve ed estremo superiore di integrazione, l altezza della vasca è. 10

11 Il volume del solido che rappresenta la vasca, la cui superficie libera dell acqua è la regione R e la sua profondità varia tra un altezza massima ed una minima, si calcola, mediante l integrale definito, come somma delle aree di rettangoli appartenenti a piani perpendicolari al piano orizzontale. Ogni rettangolo ha come dimensioni la differenza delle due curve e l altezza Il volume si determina risolvendo l integrale del prodotto delle due dimensioni 11

12 Il volume è lo sviluppo di un integrale definito : si moltiplicano le due parentesi e si calcola la somma algebrica degli integrali parziali. VOLUME = V = V = Integrazione immediata integrazione per parti L integrazione per parti si risolve applicando la formula : Con. Capacità in litri della vasca =. 12