Calcolo della densità dell aria alle due temperature utilizzando l equazione dei gas:

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1 Lezione XXIII - 0/04/00 ora 8:0-0:0 - Esercizi tiraggio e sorbona - Originale di Marco Sisto. Esercizio Si consideri un ipianto di riscaldaento a caino caratterizzato dai seguenti dati: T T Sezione ati H H8 T50 C T0 C β,5 Sezione dove: H è la differenza di quota tra il centro della bocca del caino e lo sbocco della canna fu T è la teperatura del fuo prodotto dalla cobustione della legna T è la teperatura esterna β è il coefficiente di perdite concentrate dell intero sistea Nel caino entra che viene riscaldata fino ad una teperatura di 50 C; l calda,essendo più leggera del circostante, sale lungo la canna fu. Si deterini la velocità dei fui. Soluzione Ipotesi: La canna fu è sufficienteente isolata tanto da antenere costante la teperatura del fuo lungo il tragitto Nel caino entra 4 5 volte la quantità stechioetrica di che serve alla cobustione dunque, ciò che verrà chaato fuo è in realtà un che ha le stesse proprietà terodinaiche dell. Si scelgono le sezioni,coe in figura, in base alle quali si scriverà l equazione del bilancio dell energia. La canna fu solitaente non è rigorosaente verticale a è costituita da raccordi e tratti inclinati dunque si assue una lunghezza L 8, 5 > H

2 Osservazione Solitaente si trascura il salto di pressione relativo a una differenza di quota così effiera però, in questo caso, facendo questa seplificazione si arriverebbe all assurdo di una velocità dei fui pari a zero. Infatti la piccola differenza di pressione, dettata anche dal fatto che l più calda del caino ha densità inore, funge da otore dell ipianto. All esterno del caino valgono le leggi della statica, dunque: P P + est gh () dove: P P est g è la pressione nella bocca del caino è la pressione esterna e la densità dell esterna è l accelerazione gravitazionale Calcolo della densità dell alle due teperature utilizzando l equazione dei gas: est f P RT P RT 05 Kg, Kg, () dove: f R è la densità dei fui è la costante universale dei gas unque, valutata da fuori ho una differenza di pressione P P est gh, , 9Pa () è coe avere una popa con questa prevalenza. Considerando che non esiste una popa fisica che produce lavoro, si conoscono tutti i terini per poter scrivere l equazione del bilancio energetico: P + gh + P + R 0 (4) si può operare una seplificazione dovuta alla scelta delle sezioni infatti, la bocca del caino ha una sezione olto più grande della sezione di sbocco della canna fu e quindi la velocità del fuo è trascurabile rispetto a. Sostituendo la ) nella 4) e sapendo che le perdite di carico sono espresse da

3 L R ξ + β (5) otteniao L est + ξ + β gh int (6) alla 6) si può ricavare la velocità dei fui conoscendo il valore del fattore d attrito di seguito calcolato. Il secondo ebro dell equazione 6) costituisce il otore del sistea entre, il prio ebro è la resistenza da vincere; il caino avrà un buon tiraggio se il otore riesce a prevalere sulla resistenza. La 6) è un equazione con vbili,dunque per risolverla si dovrà intraprendere una soluzione ricorsiva. Inizialente si fissa una portata e a una velocità del fuo inia, per verificare che il otore sia sufficiente a realizzarla, successivaente si giunge al valore reale della velocità con etodo ricorsivo. Supponendo che in ora vengano bruciati 0Kg di legna e sapendo che la quantità stechioetrica di necess a bruciare Kg di legna è 4Kg, si può ricavare la portata in assa inia che il sistea deve avere: Kg Kg M fui , 09 h s (7) alla definizione di portata in assa e dalla 7) si ricava la velocità in dei fui relativa alla portata inia: M fui 0,09 A 0,675,5 0 in f.55 s (8) dove A fu 0,5 0,5,5 0 è l area della sezione di passaggio della canna Per giungere al valore della resistenza inia del sistea si deve calcolare il fattore d attrito e per questo serve il nuero di Reynolds: in,55 0,5 Re 6 ν 4, (9)

4 dove ν è la viscosità dell a 50 C (coincide con quella del fuo) Considerando la 9) e la scabrezza relativa della canna fu pari a ricava il fattore di attrito sul diagraa di Moody: ε, 0 si ξ 0,047 (0) unque la resistenza inia da vincere, che è il prio terine dell equazione 6), è: L,55 8,5 J + ξ + β + 0,047 +,5 6,8 () 0,5 Kg Il otore a disposizione, che è il secondo terine dell equazione 6), è,475 gh est 9,8 8 66, 6 int 0,675 J Kg () Si vede che il otore è sovrabbondante di un fattore 4 rispetto alla resistenza e ciò indica che la portata è aggiore di quella inia prevista. Ne deriva che la velocità con cui esce il fuo dalla canna fu è aggiore di quella ipotizzata. Per calcolare la velocità reale bisogna eseguire ricorsivaente i seguenti passi:. calcolo del nuero di Reynolds (utilizzando l ultia velocità trovata) ε. calcolo del fattore di attrito (utilizzando il punto e, 0 ). calcolo della nuova velocità 4. ritornare al punto. I risultati di qualche iterazione sono riportati nella tabella seguente. Re ξ, ,047 5,08 5, ,044 5,6 5, ,04 5,9 5, ,04 5,9 Si nota che dopo pochi cicli la velocità si stabilisce intorno ad un valore che è quello reale, naturalente bisogna considerare un argine di errore su questo risultato in

5 quanto, l ausilio del diagraa di Moody, non porta a valori esatti a stiati da chi lo interpreta. La velocità del fuo è circa doppia di quella inia necess cioè, nel caino entra più di quella che serve; bisogna notare che l che fluisce dal caino è calda presente nell abiente dove il caino è installato e che una uguale quantità di fredda entra dall esterno per copensare quella uscita. Concludendo non bisogna far aspirare dal caino più di quella che serve poiché l fredda che entra raffredda l abiente. unque, bisogna intervenire sulla quantità di fui uscenti utilizzando saracinesche nella canna fu o agendo sulle griglie di regolazione delle prese d. Esercizio Si consideri un ipianto di riscaldaento a circolazione naturale costituito da una caldaia e un corpo scaldante (terosifone). Si deterini qual è la potenza terica (Q) che la caldaia da all abiente per ezzo del corpo scaldante. vaso di espansione Q sezione T β5 β β5 tratto A sezione T H 0,05 L 00 ε 0,000 H 0 T 80 C T 40 C tratto B β Il condotto del sistea è un tubo in ghisa olto grosso, rispetto ai tubi utilizzati nei norali ipianti doestici, infatti, l ipianto a circolazione naturale non necessita dell utilizzo di una popa per far circolare l ; il otore del sistea è la differenza di teperatura ( T) tra la teperatura dell che esce dalla caldaia (T ) e la teperatura dell che esce dal corpo scaldante (T ).

6 Si ipotizza che non ci siano dispersioni di calore dai tubi cosicché, la quantità di calore ceduta è solo quella dovuta al terosifone. unque, la differenza di teperatura tra l che entra e quella che esce dal terosifone è: T T T C La potenza terica che la caldaia da all abiente per ezzo del corpo scaldante è: ( h h ) M c ( T ) Q M l () T dove: ( h h ) è il salto di entalpia M è la portata in assa (da ricavare) J c l 487 KgK è il calore specifico dell Per risolvere la ) bisogna calcolare la portata in assa del sistea: M A () dove è la densità dell è la velocità del (da deterinare) A è l area della sezione del condotto Bisogna distinguere due diverse densità per il del sistea poiché esso si trova a due teperature diverse: relativo al tratto A (vedi figura pag. ) a teperatura T relativo al tratto B (vedi figura pag. ) a teperatura T alle tabelle del vapore si estraggono i valori del volue specifico dell alle diverse teperature, da cui si ricavano le densità: v v l l 0,0008 Kg 0,000 Kg v l v l Kg 977,7 Kg 998,0 () verrà anche utilizzato un valore di densità edio:

7 Kg 98 (4) Per andare avanti con il problea bisogna calcolare la velocità che copare nel punto ); il problea si risolve dividendo il circuito in due tratte: tratto A dalla caldaia al terosifone, a cui è associata l equazione 5) tratto B dal terosifone alla caldaia, a cui è associata l equazione 6) P P + gh + P P gh R A R B 0 0 (5) (6) Esplicitando (P -P ) dalla 5), (P -P ) dalla 6) e soando ebro a ebro si ottiene: 0 ( ) + ( ) gh + R A + RB (7) Per le scelte delle sezioni adottate e considerando che la differenza tra le densità e è piccola, si può trascurare il prio terine del secondo ebro della 7), entre, non si può trascurare il secondo terine, poiché esso rappresenta il otore dell ipianto. Inoltre, davanti agli addendi che rappresentano le perdite di carico, viene sostituita la densità edia in odo da seplificare i calcoli; così facendo, la 7) diventa: L A B j ξ + β (8) j ( ) gh ( R + R ) a quest ultia equazione si può ricavare la velocità da andare a sostituire nella ) per il calcolo della portata in assa (che serviva nella () per soddisfare la richiesta del problea) a, si nota che si tratta di un equazione in due incognite ( e ξ). Ancora una volta per risolvere il quesito si deve intraprendere un procediento ricorsivo; a tale scopo si fissa una velocità di prio tentativo per eseguire il seguente ciclo:. calcolo (ipotesi se è il prio valore) della nuova velocità. calcolo del nuero di Reynolds (utilizzando il punto ). calcolo del fattore di attrito (utilizzando il punto e la scabrezza relativa) 4. ritornare al punto. Prio ciclo Si ipotizza una velocità sensata e si calcola il nuero di Reynolds corrispondente:

8 ' 0,5 s ' Re υ ' µ 0,5 0,05 5, (9) Utilizzando il diagraa di Moody, il valore della scabrezza relativa del condotto e la 9) si ricava il fattore d attrito: ξ 0,07 (0) avendo utilizzato un valore di scabrezza relativa pari a: ε 0,000 0,05 0,00 () Con il risultato dell equazione 0) si riparte dal punto. del ciclo. I risultati di qualche iterazione sono riportati nella tabella seguente. Re ξ 0, ,07 0,44 0, ,08 0,4 0, ,08 0,4 opo pochi cicli la velocità si stabilisce intorno al un valore che viene utilizzato per calcolare la portata in assa del sistea: Kg M A 98 0,4 π 0, 660 () 4 s Infine, per la ), la potenza terica cercata è: ( T T ) 0, ( 80 40) 056, Q M cl 8 (4) Utilizzando l equazione ) e l equazione 4) si vede che se si dispone di condotti a sezioni piccole ci sarà bisogno di differenze di teperature più elevate per ottenere gli stessi risultati in terini di potenza terica. Esercizio eterinare la portata in assa d' della sorbona, al corrente dei seguenti dati:

9 L ( diaetro del tubo ) ε 0.05 V - l/s 0 /s ( Portata in volue d' ATI TABULATI: ν 0-6 /s ( viscosità cineatica dell' ) 000 Kg/ ( densità dell' ).0 Kg/ ( densità dell' a 0 C ) Soluzione Pria di tutto è iportante capire secondo quale principio fisico funziona la sorbona: l iessa dalla base sotto fora di piccole bollicine e l all interno del tubo vengono considerate un unico di densità inferiore a quello della sola. Spinto dalla differenza di pressione il isto sale verso la superficie. Questo tipo di popa viene utilizzato per esepio in are per aspirare quando la presenza di agenti in sospensione o di sabbia potrebbe interferire con il funzionaento di pope eccaniche convenzionali. Il problea principale nel foralizzare il eccaniso pria descritto è che salendo l si espande per cui la densità del diinuisce. Per i nostri calcoli ipostiao perciò due etodi risolutivi: nel prio, non considerando questa vzione di desità, trovereo una soluzione che a rigore sarà valida solo un un tratto infinitesio all inizio della sorbona. Successivaente usereo il risultato trovato coe punto di partenza per un calcolo che coprenda la vzione di densità. Un approssiazione coune ai due etodi sarà di non tenere conto del differenziale di velocità fra e : si aetterà quindi che il si coporti coe se fosse oogeneo. Inoltre i calcoli funzionano bene finchè non intervengono terini di perdite di carico dovuti a turbolenze per la presenza di troppa rispetto all nel tubo. Il isto è quindi quasi copletaente. Prio etodo: Ipostiao l equazione di Bernoulli tenendo conto che, se non consideriao l espansione dell, il si ouve con la stessa velocità per tutta la sorbona. Inoltre la differenza di pressione fra le iboccature è data dalla legge di Stevino: P g h L equazione di Bernoulli viene:

10 gh L gh + R 0 dove R ξ. M + M Pria di tutto dove V V + V 0.00 M /s, V e per la stessa equazione è nota M. Per cui riane funzione solo di M, a sua volta funzione della velocità di salita: M S Coe al solito per calcolare ξ abbiao bisogno del nuero di Reynolds Re. Per ν poter procedere al calcolo per ricorsione ipostiao prii calcoli e ettiao insiee le equazioni di cui disponiao (ε/ 0.000): M ξ R 0ξ Re Scegliao una pria velocità di tentativo di 0.7 /s (ragionevole). Iterando si ottiene un risultato di 0.8 /s e una densità del Kg/ ovvero coe se il fosse quasi tutta, coe previsto. Questo coporta una portata in assa di pari a S 64,75 Kg/s che sono certo una grande quantità, anche se bisogna considerare che il tubo ha diaetro di 50 c. Questa è anche con buona approssiazione la portata in assa d perchè l contribuisce solo per 0.00 Kg/s sui più di 600. Secondo etodo: Consideriao ora la vzione di desità del. Ipostare copletaente il problea coporterebbe risolvere equazioni differenziali non facili quindi ci liitereo a valutare un densità edia e una velocità edia di salita. Anche la velocità di salita del infatti v perchè l espandendosi sale più veloceente. L equazione di Bernoulli diventa: gh + gh + < R > 0. I terini fra parentesi angolari sono valori edi < > sulla vzione lungo tutta la sorbona. Cerchiao di rendere tutto funzione della, in odo da poter poi procedere con il etodo ricorsivo. Prendiao coe valore di quello calcolato pria: 0.8 /s e lo stesso vale per, iniziale Kg/. Si ha counque:

11 iniziale + finale < > M + M Per calcolare, finale consideriao che vale dove V V + V questa volta cabia, per esepio linearente al vre della pressione (isotericaente): P V, finale V, iniziale. Se la sorbona è alta 0 il rapporto fra le pressioni vale dato P che la pressione atosferica è di circa at e ogni 0 la pressione dell auenta di at. A 0 di profondità vi sono quindi at di pressione. Il valore di M è fissado dai dati e non v. iversaente M M e V dipendono dalla velocità di salita dell : M S. Per calcolare i valori finali saranno tutte funzioni di. Anche < R > va calcolata in base alla < >, anche se ricordando che + < >, si riesce a renderla funzione solo di ( 0.8 /s ). Stesso ragionaento anche per + il nuero di Reynolds: Re < > ν +. Le equazioni che abbiao a disposizione sono ora tutte funzioni di : ε/ Re < > R < > ( 0. ) R.5 ξ + 8 Scegliao coe di prova proprio il valore di 0.8 /s. Iterando si ottiene il valore ragionevole di /s per una < > kg/. La < > cercata è allora /s da cui la portata in assa di (che è circa quella dell ) di 69,9 kg/s. Coe ci si aspettava viene leggerente superiore.