TRASLAZIONI E DILATAZIONI

Транскрипт

1 TRASLAZIONI E DILATAZIONI Prof. Fabio Breda Abstract. Lo scopo di questo articolo è fare chiarezza sulla odalità di costruzione del graco di funzioni attraverso traslazioni o dilatazioni del graco di altre funzioni. Infatti spesso si trova la necessità di costruire il graco di funzioni coe gx = 2sen x + π/4+ che, attraverso delle trasforazioni geoetriche, si possono ricavare partendo dal graco della funzione fx = sen x. Deniao le trasforazioni che verranno di seguito utilizzate: Denizione Una traslazione di vettore v è una trasforazione geoetrica che fa corrispondere a ogni punto P del piano un punto Q tale che P Q = v. Considerato un punto P xp ; y P del piano e il suo corrispondente Qx Q ; y Q nella traslazione di vettore v a, b con a e b nueri reali, le equazioni della traslazioni risultano essere: xq = x P + a y Q = y P + b Denizione 2 Una dilatazione di rapporti /h e k, con h e k nueri reali positivi è una trasforazione geoetrica che fa corrispondere ad ogni punto P x P ; y P del piano un punto Qx Q ; y Q attraverso le equazioni xq = h x P y Q = ky P Il rapporto /h deterina una dilatazione se 0 < /h < o una contrazione se /h > lungo l'asse delle x, entre il rapporto k deterina una dilatazione se k > o una contrazione se 0 < k < lungo l'asse delle y. Tali dilatazioni hanno coe unico punto unito l'origine degli assi. Le dilatazioni possono avere coe punto unito un punto diverso dall'origine degli assi a queste non verranno trattate in questo articolo. Interessante è quando si vanno a coporre le due trasforazioni appena denite. Se applichiao pria una traslazione ad un graco di una certa funzione e successivaente una dilatazione che funzione otteniao? E se operiao in ordine inverso, otteniao lo stesso graco? I seguenti teorei ci aiutano a capire eglio. Teorea Data una funzione f : A B, con A R se si applica una traslazione al graco di f del vettore v a, b e successivaente una dilatazione di rapporti /h in x e k in y con a,b,h e k nueri reali e h,k positivi allora si ottiene il graco della funzione g : C D con C R denita da gx = k [fhx a + b]. Diostrazione. Sia P un punto del graco di f e sia Q il punto del graco di g ottenuto dalla traslazione e dalla dilatazione di P. Le coordinate di Q si ottengo inizialente traslando le coordinate di P del vettore v a, b e quindi xq = x P + a y Q = y P + b e successivaente dilatando dei rapporti /h e k: xq = h x P + a y Q = ky P + b

2 così xp = hx Q a y P = k y Q b Ora, poichè il punto P appartiene al graco di f, allora y P = fx P quindi k y Q b = fhx Q a = y Q = k [fhx Q a + b] = gx = k [fhx a + b]. Teorea 2 Data una funzione f : A B, con A R se si applica una dilatazione di rapporti /h in x e k in y e successivaente una traslazione al graco di f del vettore v a, b con a,b,h e k nueri reali e h, k positivi allora si ottiene il graco della funzione g : C D, con C R denita da gx = kf [hx a] + b. Diostrazione. Sia P un punto del graco di f e sia Q il punto del graco di g ottenuto dalla dilatazione e dalla traslazione di P. Le coordinate di Q si ottengo inizialente dilatando le coordinate di P dei rapporti /h e k e quindi xq = h x P y Q = ky P e successivaente traslando del vettore v a, b xq = h x P + a y Q = ky P + b così xp = hx Q ha y P = k y Q k b Ora, poichè il punto P appartiene al graco di f, allora y P = fx P quindi k y Q k b = fhx Q ha = y Q = kf [hx Q a] + b = gx = kf [hx a] + b. La conseguenza dei teorei appena diostrati è che applicare pria la traslazione di vettore v a; b e poi la dilatazione di rapporti /h e k o fare il contrario non produce gli stessi eetti, a eno che non si cabi il vettore di traslazione. Infatti, presi α, β reali e, n reali positivi, la funzione si può vedere in due odi diversi: y = f [ n x + α ] + β n [ 2 y = fnx + α + β ]. y = fnx + α + β 2

3 Nel prio caso si può considerare che il graco della funzione si ottenga dal graco della funzione f attraverso una dilatazione di rapporti /n in x e in y, e successivaente una traslazione di vettore v α n ; β. Nel secondo caso, invece, attraverso una traslazione di vettore e successivaente una dilatazione di rapporti /n in x e in y. Proviao a vederlo con un esepio. Esepio. Consideriao la funzione y = sen 2x + π + 5 la possiao rappresentare seguendo due strade: [ scrivendola sotto la fora y = sen 2 x + π ] e quindi pria dilatando dei rapporti /2 in x e in y il graco della funzione seno, e poi traslando del vettore v π 6 ; 5 gura. [ 2 oppure scrivendola sotto la fora y = sen e quindi pria traslando del vettore v π ; 5 rapporti /2 in x e in y gura 2. 2x + π + 5 ] il graco della funzione seno e poi dilatando dei Risulta, però, eno iediato il procediento per arrivare al graco nale in questo secondo caso, cioè applicando una dilatazione di una funzione precedenteente traslata. Infatti se si deve dilatare, per

4 Figura : dilatazione e traslazione Figura 2: traslazione e dilatazione 4

5 esepio, la funzione seno lungo l'asse x si antengono i valori assii e i valori inii e si spostano le intersezioni della funzione con l'asse x. Mentre se si deve dilatare lungo l'asse y si antengono le intersezioni con l'asse x e si spostano i valori assii ed i valori inii. Invece dilatare una funzione già traslata richiede una aggior cura. Nell'esepio riportato, infatti, il punto F π 6, 8 deve essere trasforato, attraverso una dilatazione dei rapporti /2 in x e in y, nel punto I π 2, 8 e così per tutti gli altri punti. Un lavoro un po' più elaborato, dunque il consiglio è di seguire la pria strada. Solo nel caso in cui la dilatazione sia solo lungo uno dei due assi cartesiani e la traslazione sia lungo l'altro asse cartesiano risultano uguali le due strade, in quanto se la dilatazione è solo lungo l'asse x, allora = e se la traslazione è solo lungo l'asse y allora α = 0 quindi il vettore v α n ; β α; β 0; β. Mentre se la dilatazione è solo lungo l'asse y allora n = e se la traslazione è solo lungo l'asse x allora β = 0 quindi il vettore v α n ; β = α; 0. Esepio. Se la funzione da rappresentare è y = cos2x + allora =, n = 2, α = 0 e β = cioè potreo scegliere tra pria dilatare di rapporti /2 e e poi traslare del vettore v α n ; β 0; oppure pria traslare del vettore 0;. E' ovvio che sia la stessa cosa. Esepio. Allo stesso odo se la funzione da rappresentare è y = sen x + π. Infatti =, 4 n =, α = π 4 e β = 0 cioè i due vettori di traslazioni da applicare nei due casi coincidono e valgono v α n ; β α; β π 4 ; 0. 5