Oscillazioni. Definizioni Mo/ armonici Propagazione delle onde

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1 Oscillazioni Definizioni Mo/ aronici Propagazione delle onde

2 Il oto aronico e il oto circolare unifore sinωt La curva a destra dello schizzo è una sinusoide. Abbiao diviso l asse x in parti uguali di angoli crescenti e sull asse y abbiao posto il valore del seno corrispondente. Una particella che si uove con velocità ω lungo una circonferenza di raggio unitario, descrive sull asse y una funzione che si chiaa seno e sull asse x un altra funzione chiaata coseno. ωt

3 Caratteristiche del oto aronico Un corpo copie un oto aronico quando dopo un tepo T si trova nella stessa posizione di partenza. x(t) = x cos(ωt+φ) In questa equazione x è l apiezza assia che può raggiungere il corpo, ω è la pulsazione φ la fase. ω è legata al periodo T dalla relazione ωt = π ed è anche legata alla frequenza ν coe ω = πν. φ è l angolo di fase. Questo è zero quando, caso della sinusoide, l oscillazione parte dall origine e nel caso della cosinusoide parte dal valore assio. Per definizione di oto aronico dopo un intero periodo: x(t) = x(t+t) e di conseguenza x cos(ωt)=x cos[ω(t+t)] Ovvero gli argoenti dei coseni saranno ωt + π = ωt + ωt ovvero ωt=π ω = π/t = πν

4 Posizione, velocità e accelerazione del oto aronico Sia v( t) v( t) x(t) = x cos[(ωt)+φ] la posizione di un oto aronico La sua derivata è la velocità: dx = = dt = ω x d dt [ x cos( ωt + φ) ] sin( ωt + φ) La derivata della velocità è l accelerazione. Nel oto aronico l accelerazione a(t) e la posizione x(t) hanno gli stessi zeri perché sono legate dall opposto della pulsazione al quadrato a( t) a( t) a( t) dv d = = [ ωx sin( ωt + φ)] dt dt = ω x cos( ωt + φ) = ω x( t)

5 L oscillazione del oto circolare unifore La proiezione sull asse x di un punto in oto circolare unifore è descritta da: x(t) = x cos(ωt+f) La velocità di questo spostaento è la derivata pria, e vale: v(t)= - ω x sin(ωt+φ) L accelerazione è data dalla derivata seconda dello spostaento ed ha la fora: a(t) = - ω x cos(ωt+f)= - ω x(t)

6 Soluzione di un oto oscillatorio Nel caso di un blocco attaccato ad una olla ideale il odulo della forza della olla è proporzionale allo spostaento. Per la a legge di Newton dovreo scrivere F = a dove F è la forza della olla che vale - kx e deterina un oto pari a a. - kx = a = (d x/dt ) quindi d x/dt + kx = 0 Equazione differenziale al secondo ordine, la cui soluzione è: x(t) = A cos(ω 0 t + φ) con ω 0 = (k/) e ν = 1/T avreo ω 0 = π/t ω 0 = πν 0 T= π (/k)

7 La legge di Hook Un corpo attaccato ad una olla oscilla e la sua accelerazione vale a(t) = - ω x(t). La forza che deterina questo oto avrà una fora che dipendente dalla posizione: F = [ -ω x(t) ] (F=a) ovvero F = - (ω ) x(t) Se ω è uguale a k, si ha la legge di Hook F = - kx. La frequenza e il periodo di questo sistea sono date da: k ω = = πν T = π Ovvero a parità di assa la frequenza dipende dalla rigidità k della olla. k

8 Energia di un oto aronico L energia potenziale di un oto aronico è associata alla olla. Il suo valore dipende dalla elongazione cioè: U(t) = ½kx con x(t) = x cos(ωt+φ) E k 1 U ( t) = 1 kx = kx cos ( ω t + φ ) L energia cinetica è interaente associata al blocco : E k = ½ v con v = (-ωx ) sin (ωt+φ) 1 = 1 v = ( ω x ) sin ( ωt + φ ) Quindi l energia eccanica totale sarà: E = E k + U E E E = = = 1 1 E kx kx k + U cos [cos = 1 ( ωt + φ) + kx sin ( ωt + φ) ( ωt + φ) + sin ( ωt + φ) ] 1 kx

9 Pendolo seplice Le forze agenti sulla particella sono la forza peso e la tensione del filo. F g sinθ è la forza di richiao e il oento della forza rispetto al vincolo vale τ = Iα τ = - Lf g sinθ à τ = - Lgsinθ = Iα Per angoli piccoli fino θ ~ 5 si può sostituire sinθ con θ facendo un errore < 0,1% e quindi: - Lgθ = Iα Da cui α = -(gl/i)θ d θ/dt + (gl/i)θ = 0 confrontando con la soluzione dell oscillatore aronico abbiao che (k/ = ω ) gl/i = ω T = I L π = π = π gl gl L g

10 Pendolo a torsione Torcendo il filo di sospensione di un angolo q si realizzerà un oento torcente di richiao che si oppone allo spostaento τ = -kθ k è la costante di richiao e dipende dal tipo di filo: lunghezza, spessore, elasticità, etc.etc. La forula del oento torcente è coe la legge di Hook e quindi potreo trovare il periodo di oscillazione T = π I k I è il oento di inerzia di un disco e vale I = ½ MR

11 Pendolo reale Nel pendolo reale, iportante è individuare il centro di assa dell oggetto oscillante. La forza di gravità agisce nel centro di assa e la distanza che lo separa dal punto di oscillazione vale h. T I = π T = π gl I c + h gh

12 Coe si caina Il oviento di una gaba può essere approssiato all oscillazione di un pendolo ed il suo periodo di oscillazione è T = π 3 L g Dove il fattore /3 tiene conto della distribuzione della assa lungo tutta la gaba e non concentrata solo nel piede. Si potrà stiare l andatura di una persona facendo ragionevoli approssiazioni e conoscendo la lunghezza della sua gaba. Supponiao che l andatura sia quella che richiede il inio sforzo uscolare (inio consuo di energia) e il tepo di un singolo passo sia ½ del periodo T; quindi la velocità di una cainata (andatura) sarà: v andatura L T L

13 Oscillazioni ed onde La conoscenza del oto aronico ci perette di coprendere il oto di qualunque onda, sia essa elettroagnetica o eccanica, sferica o longitudinale. Il suono è un onda eccanica longitudinale che coprie e decoprie l aria fra la sorgente e l orecchio Le onde longitudinali hanno una periodicità teporale ed una spaziale. Dopo un tepo T e dopo una distanza λ la fora dell onda ritorna uguale, una valle ritorna una valle e una cresta una cresta. λ = v T λ = v/ν λ = π v/ω v = velocità, ω = pulsazione ν = frequenza

14 Onde sonore Le onde sonore sono onde longitudinali dovute alla copressione e rarefazione dell aria La velocità del suono è 331,5 /s alla pressione del livello del are e a 0 C Al variare della teperatura la v(t) = 331,5 + 0,6T /s L intervallo di frequenze udibili varia da 0 a 0,000 Hz e sono chiaate onde acustiche sopra tali frequenze ci sono le onde ultrasoniche Il suono si trasette con velocità aggiore nei ezzi con densità aggiore L intensità di un suono è il decibel (db) ed è una isura relativa. Il db = 10 log 10 (I/I 0 ) a quella che è considerata la soglia di udibilità I 0 = 10-1 W/

15 Le onde ele=roagne/che Per le onde elettroagnetiche non c è bisogno di ezzo di propagazione (si propagano anche nel vuoto). L oscillazione dei capi elettrico e agnetico sono perpendicolari alla direzione di propagazione e perpendicolari fra loro. Un piccolo eleento di una corda, di aria, o di capo onda si uove coe descritto dalle soluzioni del oto aronico e l energia associata al oto aronico è: ΔE = π Δf y0 La potenza nell unità di tepo che fluisce attraverso una superficie eleentare, ovvero l intensità è P I = = π ρ v f y0 A

16 Effe=o Doppler Se una sorgente di onde di frequenza f si avvicina o si allontana da un rivelatore, la frequenza percepita f sarà diversa da quella realente eessa. Se la sorgente si avvicina la frequenza sarà aggiore (suono più alto) se si allontana sarà inore (suono più basso). Effetto Doppler. In un periodo T, se la sorgente si uove verso il rivelatore l onda percorrerà la distanza l = vt e la sorgente si sarà ossa di una distanza l s = v s T. La differenza di queste due distanze sarà la nuova λ = l l s = (v - v s ) T e questa è la nuova lunghezza d onda percepita dal rivelatore. Più in generale v v 1 Mentre se la sorgente è fera f ' = = e ricordando f = e il rivelatore si uove λ ' v v T T avreo ( ) f ' = s v v 1 ( ) ( v v) v v v v 1 s s f = f $ & v = ± 0 f ' f 1 % v #! "