Formulario di Onde. 2(1 + ν) 3(1 2ν) V V. O.2 Equazione delle onde (equazione di d Alembert) in tre dimensioni

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1 Formulario di Onde O.1 Proprietà elastiche dei solidi (per piccole deformazioni) Legge di Hooke: F = k l Energia potenziale elastica: U = 1 2 k( l)2 Carico specifico o sforzo: σ = F A, la forza F è applicata perpendicolarmente alla superficie A Allungamento lineare o deformazione specifica: ε = l l Modulo di Young o modulo di elasticità: Y = σ ε = kl A l = εl = σ Y l ( l = l + l = l 1 + σ ) Y l = lunghezza a riposo l = allungamento sotto l effetto di σ Un solido che, sottoposto alla forza F, subisce una deformazione longitudinale l, subisce anche una deformazione trasversale r tale che: r/r = ν( l/l), dove ν è il coefficiente di Poisson ( < ν <.5, caratteristico di ogni materiale). Modulo di rigidità o di taglio: G = Deformazione per scorrimento: Y 2(1 + ν) σ = F A = Gθ F è applicata tangenzialmente alla superficie A θ = angolo di deformazione Deformazione (di una sbarra cilindrica) per torsione: M = kθ k = π 2 Gr4 l M = momento torcente θ = angolo di torsione r, l = raggio e lunghezza della sbarra Modulo di compressibilità isoterma: β = Compressione uniforme (a temperatura costante): Y 3(1 2ν) V V = p β O.2 Equazione delle onde (equazione di d Alembert) in tre dimensioni 2 ξ x ξ y ξ z 2 = 1 2 ξ v 2 t 2 v è la velocità di propagazione. Vale il principio di sovrapposizione: una qualsiasi combinazione lineare di soluzioni è, a sua volta, una soluzione dell equazione delle onde. Soluzione generale in una dimensione: ξ(x, t) = ξ 1 (x vt) + ξ 2 (x + vt) ξ 1 = onda progressiva ξ 2 = onda regressiva 1

2 O.3 Propagazione delle onde nei mezzi materiali Onde elastiche longitudinali in una sbarra solida sottile Y Y = Modulo di Young ρ ρ = densità di massa Onde elastiche trasversali/torsionali in una sbarra solida G ρ G = Modulo di rigidità ρ = densità di massa Onde elastiche in una corda tesa Onde elastiche in una membrana tesa ρ Σ ρ l = ensione ρ l = densità lineare di massa = ensione superficiale (forza per unità di lunghezza) ρ Σ = densità superficiale di massa Onde in un gas p = pressione media = temperatura assoluta R = costante dei gas γ = costante adiabatica Modulo di compressibilità: Per un gas ideale (pv = nr): ρ = densità di massa media V = volume A = massa molare n = numero di moli β = V dp dv = ρdp dρ Modulo di compressibilità { isoterma: β = p adiabatica: β S = γp β velocità di propagazione dell onda: v = Nelle situazioni più comuni la propagazione di un onda in un gas avviene in condizioni adiabatiche, quindi β β S : β S γp γr v = = = ρ ρ A ρ Onde sulla superficie di un liquido velocità di propagazione: v = (gλ 2π + 2πτ ρλ ) tanh 2πh λ λ = lunghezza d onda ρ = densità del liquido h = profondità del liquido τ = tensione superficiale g = accelerazione di gravità 2

3 O.4 Onde armoniche Onda piana armonica progressiva ξ(x, t) = ξ sin ( k(x vt) + φ ) = ξ sin(kx ωt + φ) ξ = ampiezza (costante) k = numero d onda [unità di mis.: rad/m] ω = pulsazione [unità di mis.: rad/s] kx ωt + φ = fase (φ = costante arbitraria) ω = kv λ = 2π k = 2π ω ω = 2πν λ = v = v ν v = λ = λν Altre espressioni equivalenti: [ ( x 2π ξ(x, t) = ξ sin(kx ωt + φ) = ξ sin = [ ] 2π ξ sin (x vt) + φ = ξ sin λ λ t [ 2π ) ] + φ = ] ( x v t ) + φ Le espressioni per un onda armonica regressiva si ottengono dalle precedenti con la sostituzione (x vt) (x + vt) Onda armonica piana in tre dimensioni ξ( r, t) = ξ sin( k r ωt) k r = kx x + k y y + k z z λ = 2π k Potenza di un onda armonica In una corda tesa: spostamento: s = Asin(kx ωt) potenza istantanea ( = tensione) : densità lineare di energia meccanica: potenza media: P = s s x t = A2 ωk cos 2 (kx ωt) w l = du mecc dx = 1 2 ρ lω 2 A 2 P m = 1 2 ωka2 = 1 2 v2 ρ l ωka 2 = 1 2 ρ lω 2 A 2 v = w l v Intensità: I = P m = w l v [unità di mis.: W] In una sbarra solida o in un gas (Σ = sezione della sbarra o del tubo di gas) spostamento: s = Asin(kx ωt) potenza istantanea: P = ρω 2 A 2 vσ cos 2 (kx ωt) densità (volumica) di energia meccanica: w τ = 1 2 ρω2 A 2 potenza media: P m = 1 2 ρω2 A 2 vσ = w τ vσ Intensità: I = 1 ( ) dumecc = P m Σ dt Σ = w τv m Su una superficie (membrana elastica o superficie di un liquido) [unità di mis.: W m 2 ] potenza media: P m = w Σ vl (w Σ = densità superficiale di energia meccanica, l = sezione lineare dell onda) Intensità: I = 1 ( ) dumecc = P m W = w Σ v [unità di mis.: l dt l m ] m 3

4 Onda sonora in un gas Onda di spostamento: s = A sin(kx ωt) potenza media: Onda di pressione: p = β s x = ρ vωasin ( p) max = ρ vωa = 2πρ νva Intensità: P m = 1 2 βωka2 Σ = 1 2 ρ ω 2 A 2 vσ = w τ vσ ( kx ωt π ) = ρ vωacos(kx ωt) 2 I = w τ v = 1 2 ρ ω 2 A 2 v = ( p)2 max 2ρ v livello sonoro: B = 1 log I I = soglia di udibilità I log = logaritmo decimale. Velocità del suono in aria (p = 1 atm, = 2 C): c s = 343 m/s Onde sferiche (armoniche) ξ(r, t) = ξ r sin(kr ωt) Potenza media: P m = I(r)Σ(r) = 4πCξ 2 (onda progressiva) C = costante, dipende dalla natura dell onda Intensità: I(r) = P m Σ(r) = P m 4πr 2 = I r 2 Onda sferica sonora: p = ρ vωa cos(kr ωt) I(r) = 1 r 2 ρω2a2 r 2 v I = P m 4π Onde cilindriche (armoniche) ξ(r, t) = ξ r sin(kr ωt) (onda progressiva) Potenza media: P m = I(r)Σ(r) = Cξ 2 2πh C = costante, dipende dalla natura dell onda Intensità: I(r) = P m Σ(r) = I r O.5 Analisi di Fourier Funzione di una variabile f(u) periodica con periodo U: f(u + U) = f(u). f(u) = a + m=1 ( ) a m cos(mwu) + b m sin(mwu) w = 2π U a = 1 U U f(u)du b m = 2 U Funzione non periodica: f(u) = a(w) = 1 π U a m = 2 U U f(u) sin(mwu)du f(u) cos(mwu)du [ ] a(w) cos(wu) + b(w) sin(wu) dw f(u)cos(wu)du b(w) = 1 π f(u) sin(wu)du 4

5 O.6 Battimenti: Sovrapposizione di due onde armoniche con diversa frequenza (stessa ampiezza) s 1 = Asin(ω 1 t) s 2 = Asin(ω 2 t) ( ) ( ) ω1 ω 2 ω1 + ω 2 s = s 1 + s 2 = 2Acos t sin t = 2A cos(ωt) sin(ωt) 2 2 Frequenza di battimento (modulazione di ampiezza percepita da un osservatore quando le frequenze sono molto simili tra loro): ν b = ν 1 ν 2 = ω 1 ω 2 2π O.7 Effetto Doppler c s : velocità del suono nel mezzo v velocità del trasmettitore (sorgente), diretta verso destra v R velocità del ricevitore (osservatore), diretta verso destra Per v < c s, v R < c s : Se il ricevitore precede il trasmettitore: c s v R ν R = ν c s v R R Se il trasmettitore precede il ricevitore: c s + v R ν R = ν c s + v R R Per velocità dirette verso sinistra basta cambiare il segno nelle formule precedenti. Se le velocità R e non sono dirette lungo la congiungente trasmettitore-ricevitore, nelle formule precedenti bisogna usare le componenti delle velocità lungo la congiungente stessa. O.8 Onda d urto Per v > c s, angolo di semiapertura del cono sonico: numero di Mach = v c s sinθ = c s v O.9 Pacchetti d onda k x 2π ω t 2π ν t 1 Si definisce la relazione di dispersione (relazione tra la frequenza angolare e la lunghezza d onda: ω(k) = v f (k)k Velocita di fase: v f = ω/k. Se v f è costante (cioè indipendente da k), il mezzo è non dispersivo: tutte le onde, indipendentemente da λ, hanno la stessa velocità di propagazione. Se v f dipende da k il mezzo è dispersivo. Il pacchetto si deforma e avanza con la velocità di gruppo: v g = dω dk = v f + k dv f dk = v f λ dv f dλ = v f + ν dv f dν In un mezzo non dispersivo v g = v f. O.1 Interferenza Nel punto P giungono due onde emesse (stessa frequenza e lunghezza d onda), rispettivamente, da una sorgente a distanza x 1 e da un altra a distanza x 2 da P, ξ 1 (P, t) = A 1 cos(ωt kx 1 φ 1 ) = A 1 cos(ωt + α 1 ) ξ 2 (P, t) = A 2 cos(ωt kx 2 φ 2 ) = A 2 cos(ωt + α 2 ) ξ(p, t) = ξ 1 (P, t) + ξ 2 (P, t) = Acos(ωt + α) 5

6 A = A A A 1A 2 cos(α 1 α 2 ) = A A A 1A 2 cosδ tan α = A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2 A 1 cosα 1 + A 2 cosα 2 Interferenza costruttiva: δ = α 1 α 2 = 2nπ n =, ±1, ±2,... Interferenza distruttiva: δ = α 1 α 2 = (2n + 1)π n =, ±1, ±2,... Intensità: I(P) = I 1 + I I 1 I 2 cosδ Nel caso particolare di due onde di uguale ampiezza A 1 = A 2 = A : A = 2A cos δ 2 α = α 1 + α 2 2 I = 4I cos 2 δ 2 O.11 Onde stazionarie Onde stazionarie unidimensionali s(x, t) = Asin kxcosωt Corda tesa di lunghezza L con gli estremi entrambi fissi, colonna di gas chiusa ad entrambe le estremità (o aperta ad entrambe le estremità): Serie armonica: ν m = m v 2L = mν 1, λ m = 2L m, k m = m π m = 1, 2,... L Se la corda (o colonna di gas) ha gli estremi in x = e x = L: posizione dei ventri: x = (2m + 1) λ 4 = (2m + 1) π 2k posizione dei nodi: x = m λ 2 = π m =, 1, 2,... m k Corda tesa di lunghezza L con un estremità libera ed una fissa, colonna di gas con un estremità chiusa ed una aperta: Serie armonica: ν m = (2m + 1) v 4L = (2m + 1)ν 1, λ m = 4L, m =, 1, 2,... 2m + 1 Onde stazionarie in due dimensioni Membrana rettangolare tesa, tensione (forza per unità di lunghezza, [N/m]), densità superficiale di massa σ. All equilibrio la membrana è ferma sul piano xy (z = ), investita da un onda vibra in direzione z. La velocità di propagazione è v = /σ Onde stazionarie: z(x, y, t) = Asin(k x x)sin(k y y)sin(ωt) (L x e L y sono le lunghezze della membrana in direzione x e y) Vettori d onda: k nx,n y = kx 2 + ky 2 n 2 x = π L 2 + n2 y x L 2 = 2π y λ nx,n y Frequenze di vibrazione: ν nx,n y = v 2π k n x,n y = v n 2 x 2 L 2 + n2 y x L 2 y π π k x = n x, k y = n y L x L y n x, n y = 1, 2,