Lezione 5: Sistemi ad un grado di libertà: l oscillatore elementare (5)

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1 Lezione 5: Sistei ad un grado di libertà: l oscillatore eleentare (5) Federico Cluni 7 arzo 25 Risposta sotto forzante qualsiasi - Integrale di Duhael. Sovrapposizione degli effetti L equazione del oto di un oscillatore eleentare con sorzaento sottoposto ad una forzante generica è pari a: ẍ + 2 ν ω ẋ + ω 2 x = F (t) () Si supponga di aver risolto il problea del oto sotto una forzante F (t) e condizioni al contorno x() = x, e ẋ() = ẋ,, per cui la soluzione è: ẍ + 2 ν ω ẋ + ω 2 x = F (t) x() = x, x (t) (2) ẋ() = ẋ, Si sia risolto il problea del oto anche sotto una forzante F 2 (t) e condizioni al contorno x() = x,2 e ẋ() = ẋ,2, per cui la soluzione è: ẍ + 2 ν ω ẋ + ω 2 x = F 2(t) x() = x,2 x 2 (t) (3) ẋ() = ẋ,2 Allora, per la linearità dell equazione differenziale () si ha che il problea del oto sotto forzante F (t) + F 2 (t) e condizioni al contorno x() = x, + x,2 e ẋ() = ẋ, + ẋ,2 ha soluzione x(t) = x (t) + x 2 (t):.2 Risposta all ipulso unitario ẍ + 2 ν ω ẋ + ω 2 x = F (t) + F 2 (t) x() = x, + x,2 x (t) + x 2 (t) (4) ẋ() = ẋ, + ẋ,2 Il teorea dell ipulso asserisce che la variazione della quantità di oto di un sistea è pari all ipulso delle forze agenti. Nel caso dell oscillatore eleentare si ha quindi che per due istanti generici t e t 2 : ( ẋ(t 2 ) ẋ(t )) = 2 t F (t)dt (5)

2 Si supponga che sul sistea, inizialente in quiete con x() = e ẋ() = agisca in un intervallo di tepo t una forza costante pari a. In tal caso l ipulso ha valore unitario per t qualsiasi valore di t. Ponendo per seplicità t = si ha t 2 = t: quindi: ẋ( t) = t ẋ( t) = dt = (6) t (7) facendo tendere t a zero si ha: ẋ( + ) = (8) Si noti che in tale circostanza la forza assue un valore che tende ad infinito, a l ipulso si antiene unitario. La forza è detta ipulsiva, e può essere odellata attraverso la funzione delta di Dirac. Figura : Ipulso unitario e funzione delta di Dirac In definitiva si ha che se all oscillatore viene applicata una forza ipulsiva, con ipulso unitario, esso acquista una velocità pari a. La sua posizione riane tuttavia invariata. L oscillatore si uove da dopo l applicazione dell ipulso in poi in regie di oscillazioni libere, in quanto le forze agenti sono nulle. Per studiare il oto (dall istante successivo a quello di applicazione dell ipulso) basta quindi risolvere il problea con le condizioni iniziali: { x() = ẋ() = x(t) = ( ω exp ( νω ) t) sin ω ν 2 t ν 2 (9) La funzione: h(t) = ( ω exp ( νω ) t) sin ω ν 2 t ν 2 è detta funzione di risposta all ipulso unitario. Se l ipulso unitario è applicato all istante τ invece che al tepo la risposta per t > τ è data da: h(t τ) = ( ω exp ( νω ) (t τ)) sin ω ν 2 (t τ) ν 2 () () 2

3 .3 Integrale di Duhael Nel caso di forzanti qualsiasi, si considera la forzante coe la sequenza di forze ipulsive con valore dell ipulso all istante τ pari a F (τ)dτ. Dal oento che vale la sovrapposizione degli effetti, la risposta al generico istante t è data da: x(t) = h(t τ) F (τ) dτ (2) L integrale che consente di deterinare la soluzione è detto integrale di Duhael. Figura 2: Forzante coe successione di ipulsi eleentari Nel caso che le condizioni iniziali fossero diverse dalle naturali sarà necessario aggiungere, sepre applicando la sovrapposizione degli effetti, la soluzione in oscillazioni libere con x() = x e ẋ() = ẋ : x(t) = ẋ + x ν ω ν 2 ω ( ) exp ( νω t) sin ω ν 2 t + ( ) + x exp ( νω t) cos ω ν 2 t + Nel caso di sorzaento nullo la funzione di risposta all ipulso unitario è: e la (3) diventa:.4 Esepi Forza costante h(t τ) F (τ) dτ (3) h(t τ) = ω sin (ω (t τ)) (4) x(t) = ẋ ω sin (ω t) + x cos (ω t) + ω sin (ω (t τ)) F (τ) dτ (5) Si consideri una forza applicata all istante e poi antenuta costante per un tepo indefinito. F (t) = F (6) 3

4 Figura 3: Andaento della forza con legge F (t) = F. Si assue sorzaento nullo, quindi si applica la (5) con condizioni iniziali x = e ẋ =. Si ottiene: x(t) = ω sin (ω (t τ)) F dτ = F ω sin (ω (t τ)) dτ = = F ω 2 [cos (ω (t τ)) ] t = F ω 2 ( cos ω t) = x st ( cos ω t) (7) dove si è indicato con x st = F lo spostaento che subirebbe la assa se la forza fosse applicata k staticaente. Il oto è rappresentato nella figura seguente: 2 x st x(t) x st T 2T 3T t Figura 4: Risposta dell oscillatore eleentare ad una forzante costante. Il sistea si uove di oto aronico con apiezza di oscillazione doppia di quella che si avrebbe se la forza fosse applicata in aniera statica. 4

5 Forza crescente linearente Si consideri una forza crescente linearente da al valore di regie in un intervallo T c e poi si antenga costante. F t per t T c T F (t) = c (8) F per t > T c Figura 5: Andaento della forza con legge F (t) = F /T c t per t T c, F per t > T c. Si ottiene: x(t) = ω integrando per parti si ha: sin (ω (t τ)) F T c τ dτ = F ω T c x(t) = F k [ t ( T sin 2 π t )] T c 2 π T c T Le soluzioni per quattro valori di T c è riportato nella figura seguente: τ sin (ω (t τ)) dτ (9) (2) 5

6 2 x st T c /T =.3 T c /T =.7 T c /T = 2.3 T c /T = 4. x(t) x st T 2T 4T 6T t Figura 6: Risposta dell oscillatore eleentare ad una forzante linearente crescente per diversi valori di T c. Si vede coe per T c T le oscillazioni divengono trascurabili, e la forza può con buona approssiazioni considerarsi applicata in aniera quasi-statica anche in assenza di sorzaenti. Si nota coe se T c è ultiplo intero di T dopo t = T c il sistea rianga fero. Invece per valori di T c < T si ha un effetto dinaico pronunciato per cui il rapporto fra lo spostaento assio e quello statico x st cresce al diinuire di T c, fino a che per T c si ricade nel caso precedente e tale rapporto vale 2. 6