Lezione 19: Sistemi a più gradi di libertà: sistemi discreti (10)

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1 Lezione 9: Sistemi a più gradi di libertà: sistemi discreti () Federico Cluni 3 aprile 25 Coefficenti di massa partecipante Si abbia un sistema discreto a più gradi di libertà descritto dalle seguenti: [M] { q} + [C] { q} + [K] {q} = {Q(t)} () Nel caso in cui il sistema, non sottoposto a forzanti esterne, sia soggetto ad uno spostamento impresso alla base espresso in termini di accelerazioni ü g (t), con direzione secondo u, la () diviene: [M] { q} + [C] { q} + [K] {q} = [M] {i u } ü g (t) (2) dove {i u } è il vettore di influenza. Si supponga ora che l accelerazione alla base sia unitaria, ovvero ü g = t. In tal caso si ha: [M] { q} + [C] { q} + [K] {q} = [M] {i u } (3) ovvero il sistema, a riposo in condizioni iniziali, è sottoposto a forzanti costanti, pari alle forze d inerzia associate alla direzione u, applicate con intensità di regime a partire dall istante. Ricordando quanto visto per l oscillatore elementare (si veda l appendice), si vede facilmente che in condizioni di regime le q j e q j sono nulle. Inoltre in condizioni di regime la risultante delle forzanti secondo la direzione u (che coincide con la risultante delle reazioni vincolari in direzione u) vale : R u = {i u } T [M] {i u } (5) Nella precedente il fattore {i u } T [M] {i u } può essere interpretata come misura della massa che dà contributo all inerzia del sistema per accelerazioni in direzione u, e porremo: M u = {i u } T [M] {i u } (6) Se si analizza il singolo modo, si è visto che si può scomporre la la forzante esterna come: con: N [M] {i u } = {s k } (7) {s k } = Γ k [M] {u k } (8) Si indichi con R = k F k. Applicando il principio dei lavori virtuali per una traslazione unitaria di tutti i punti di applicazione delle forze in direzione u, cui sono associati spostamenti q k = i u,k, si ha, esprimendo con R u la componente di R in direzione u: R u = k F k i u,k R u = {i u} T {F } (4)

2 ed: Γ k = {u k } T [M] {i u } (9) Inoltre si è visto che la componente modale k-esima di {q}, {q k }, dipende solo dalla {s k }. Il contributo del k-esimo modo alla R u è quindi: Sostituendo nella precedente la (8) si ha: e per la (9) si ha: R u,k = {i u } T {s k } () R u,k = {i u } T Γ k [M] {u k } = Γ k {i u } T [M] {u k } = Γ k {u k } T [M] {i u } () R u,k = Γ 2 k (2) Quindi la massa che contribuisce all inerzia del sistema in direzione u nel modo k è pari a Γ 2 k. Si ricorda che l espressione precedente è stata determinata assumendo che i modi siano normalizzati rispetto alla matrice delle masse. Si definisce quindi come coefficiente di massa partecipante (per accelerazione unitaria in direzione u) il seguente rapporto: Ovviamente si ha: µ u,k = R u,k R u = Γ2 k M u (3) N µ u,k = (4) Se invece si prendono un numero inferiore di modi, J, si ha: J µ u,k < (5) e quindi la forzante agente è inferiore alla forza d inerzia complessiva del sistema, con un errore dato dalla: J err J = µ u,k (6) In tale spirito si inserisce la prescrizione delle normative che richiedono di considerare un numero di modi sufficiente a considerare un coefficiente di massa partecipante complessivo maggiore di un limite prefissato. Ad esempio la normativa italiana 2 richiede che: Devono essere considerati tutti i modi con massa partecipante significativa. È opportuno a tal riguardo considerare tutti i modi con massa partecipante superiore al 5% e comunque un numero di modi la cui massa partecipante totale sia superiore all 85%. L Eurocodice 8 3 invece recita: I requisiti [... ] possono essere ritenuti soddisfatti se può essere dimostrato uno o l altro dei seguenti punti: la somma delle masse modali efficaci per i modi considerati rappresenta almeno il 9% della massa totale della struttura; sono presi in considerazione tutti i modi caratterizzati da una massa modale efficace maggiore del 5% della massa totale. 2 Norme tecniche per le costruzioni di cui al D.M. Infrastrutture del 4 gennaio 28 3 UNI EN 998- Eurocodice 8: Progettazione delle strutture per la resistenza sismica. Parte : Regole generali, azioni sismiche e regole per gli edifici 2

3 Nota La massa modale efficace m k, relativa a un modo k, è determinata in modo tale che la forza di taglio alla base F bk, agente nella direzione di applicazione dell azione sismica, possa essere espressa come 4 F bk = S d (T k ) m k. Si può dimostrare che la somma delle masse modali efficaci (per tutti i modi e per una data direzione) risulta essere pari alla massa della struttura. Ovviamente tale prescrizione non implica che per altri effetti l errore complessivo sia lo stesso. Esempio Riprendendo l esempio della lezione precedente, dove la matrice delle masse era: 5 [M] = (7) 5 Per spostamenti in direzione x (orizzontale) si ha il seguente vettore di influenza: {i x } = (8) e i fattori di partecipazione modale valgono: La massa complessiva in direzione x è: ed i coefficienti di massa partecipante valgono: con: da cui: Se si considera la direzione y, si ha: Γ = 3.76, Γ 2 = 2.4, Γ 3 =.72 (9) = {i x } T [M] {i x } = 5 (2) µ x, = Γ2 =.63 (2) µ x,2 = Γ2 2 =.278 (22) µ x,3 = Γ2 3 =.92 (23) {i y } = (24) Γ =.25, Γ 2 =.899, Γ 3 =.357 (25) M y = {i y } T [M] {i y } = 5 (26) 4 si noti che nella terminologia dell Eurocodice S d è lo spettro di risposta di progetto (da cui la d di design ) in termini di (pseudo-)accelerazioni per cui corrisponde a S A e che F bk = {i u} T {s k } S A(T k ) = Γ 2 k S A(T k ) = µ u,k M u S A(T k ), quindi m k = µ u,k M u. 3

4 ed i coefficenti di massa partecipante valgono: µ y, = Γ2 M y =.253 (27) µ y,2 = Γ2 2 M y =.722 (28) µ y,3 = Γ2 3 M y =.25 (29) Sottoponendo il sistema ad una accelerazione unitaria in direzione x è possibile calcolare il valore della risultante della forza equivalente in direzione x: e confrontarlo con il taglio alla base calcolato come effetto: determinandone anche le componenti modali r, r 2 e r 3. Il risultato è riportato in figura: R x = {i x } T [M] {i x } = (3) r = V b = F + F 2 (3) r [kn] r r r 2 r t [s] Figura : Taglio alla base per ü g = t. Si osservi come la r tenda al valore.63 5 = 9.465, r 2 tenda a = 4.7 e r 3 tenda a.92 5 =.38 Ovviamente nel caso di accelerogramma reale (come quello relativo alla stazione Nocera Umbra del 26/9/997 ore 9:4) la situazione è più complessa, come riportato in figura seguente: 4

5 r [kn] 5 ü g r r r 2 r t [s] Figura 2: Taglio alla base per accelerogramma reale. Si noti come in questo caso il particolare accelerogramma utilizzato tende ad esaltare il secondo modo. Si ha infatti r k (t) = r st k A k(t) e: r st = 9.46, r st 2 = 4.7, r st =.37 (32) con valori massimi della pseudo-accelerazione pari a (dalla lezione precedente): S A (T ) =.28, S A (T 2 ) = 7.6, S A (T 3 ) = (33) Si osservi inoltre come la reazione alla base non coincida con l azione delle forze equivalenti [M] {i x } ü g (t): infatti una parte consistente è equilibrata dalle forze d inerzia (e, in misura minore, dalle forze viscose) come mostrato di seguito: F x [kn] 5 ü g {i x } T [M] { q} {i x } T [C] { q} {i x } T [K] {q} t [s] Figura 3: Ripartizione delle forze ü g (t) fra forze d inerzia, viscose ed elastiche. Si ricordi inoltre che le forze statiche equivalenti sono definite come {F S } = [K] {q}, e quindi si mantengono differenti dalle [M] {i x } ü g (t). In particolare sono esaltate le componenti con pulsazioni prossime alle pulsazioni naturali della struttura. 5

6 Appendice Si richiama quanto visto nelle Lezioni precedenti riguardo alla risposta dell oscillatore elementare sotto forzante all istante e poi mantenuta costante per un tempo indefinito, introducendo ora lo smorzamento. L espressione della forzante è del tipo: F (t) = F t (34) Figura 4: Andamento della forza con legge F (t) = F. L equazione del moto è la seguente: L integrale generale è: ( ) x(t) = B exp ( νω t) sin ω ν 2 t ẍ + 2 ν ω ẋ + ω 2 x = F m ( ) + B 2 exp ( νω t) cos ω ν 2 t dove, assegnate le condizioni al contorno x() = x e ẋ() = ẋ, si ha: ( B = [ẋ + νω x F )] ω ν 2 k B 2 = x F k Ponendo x = e ẋ = si ha: x(t) = F [ k exp ( νω ν t) sin ) (ω ν 2 t ν 2 ( ) ] + cos ω ν 2 t + F k + F k (35) (36) (37a) (37b) (38) L andamento di x(t) è riportato di seguito: 6

7 2 x st F k x(t) x(t) x st 2T 4T 6T 8T T 2T 4T 6T 8T 2T t Figura 5: Oscillazioni con ν =.5, x =, ẋ =. Si noti come la risposta a regime valga x = F, ovvero è pari al valore che assumerebbe se la k forza fosse applicata in maniera quasi-statica. 7