Esempio 1 Determinazione modi propri e forme modali per sistema a 2 gdl 7.1
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- Giulio Belloni
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1 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I Esempio 1 Determinazione modi propri e forme modali per sistema a gdl CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica 7.1
2 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica
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5 Esempio 4 Determinazione oscillazione libera per sistema a gdl Si determini la legge del moto per il sistema di Fig. 7.1, con le seguenti condizioni inziali.
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7 CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. NON SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE METODO DI SOVRAPPOSIZIONE MODALE L equazione di equilibrio dinamico per il sistema non smorzato con forzante : it M x K x F t F e Sostituendo nell equazione lo sviluppo in base alle forme modali: x( t) q M q K q F t e pre-moltiplicando per la trasposta della matrice modale: T T T M q K q F t
8 CdL Magistrale in Ingegneria Meccanica Corso di Costruzione di Macchine Dinamica Strutturale SISTEMA A MOLTI G.D.L. NON SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE METODO DI SOVRAPPOSIZIONE MODALE si ottiene: t i T n e F q q I 1 t i t i T e f e F q q che costituisce un sistema di n equazioni indipendenti (disaccoppiate) del tipo: t T T T e F q K q M 1
9 CdL Magistrale in Ingegneria Meccanica Corso di Costruzione di Macchine Dinamica Strutturale Si osserva che la forzante esterna ha andamento nel tempo di tipo armonico: Assumendo una soluzione del tipo: t i e f q q t i e Q t q ) ( Si ottiene: t i t i t i e f Q e Q e f Q SISTEMA A MOLTI G.D.L. NON SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE METODO DI SOVRAPPOSIZIONE MODALE f Q Q
10 Q Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. NON SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE METODO DI SOVRAPPOSIZIONE MODALE f CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica La soluzione generale risulta quindi data da: N ( ) x t Q 1 it che può essere vista come sovrapposizione di N oscillatori elementari ad 1 gdl. e N 1 ( ) it e f X 1 X
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18 r= Forma modale 1
19 r= Forma modale 1
20 r=1 Forma modale
21 r=1 Forma modale
22 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CARATTERISTICHE GENERALI DELLA SOLUZIONE Equazione di equilibrio dinamico CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica M x C x K x Si dovrebbero cercare soluzioni del tipo x x x da cui: t Z e t Z e Z e t sostituendo: t t t M Z e C Ze K Z e M C K Z
23 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I M C K Z SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CARATTERISTICHE GENERALI DELLA SOLUZIONE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Per avere soluzione non banale det M C K Da cui il polinomio caratteristico: N a 1 N 1 1. an 1 a N coppie di radici (autovalori) complesse coniugate, che sostituite, forniscono N coppie di autovettori complessi {Z }. Problema agli autovalori in campo complesso, risolvibile direttamente per piccoli N, o con metodi numerici per N grandi. Nel seguito saranno presentate delle metodologie di soluzione analitica, finalizzate principalmente a evidenziare le caratteristiche generali del comportamento del sistema. N
24 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CARATTERISTICHE GENERALI DELLA SOLUZIONE Equazione di equilibrio dinamico CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica M x C x K x La procedura di soluzione, come è lecito attendersi, è fortemente influenzata dalla natura della matrice [C]. In particolare è opportuno distinguere due casi: la matrice [C] viene diagonalizzata dalla matrice modale [] del sistema non smorzato ( Smorzamento Classico o Classical Damping ) la matrice [C] non viene diagonalizzata dalla matrice modale [] ( Smorzamento Non Classico o Non Classical Damping )
25 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CLASSICAL DAMPING CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica In generale T C non è una matrice diagonale, per cui le equazioni del moto non possono essere disaccoppiate. Se lo smorzamento è molto piccolo, diviene lecito assumere forme diagonalizzabili della matrice di smorzamento. In tal caso si ha (Smorzamento Classico o Classical Damping ): 1d T c d C C. diagc c d d Matrice modale sistema non smorzato c.... c nd d
26 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CLASSICAL DAMPING CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Ponendo: x( t) q t x ( t) q x ( t) q Sostituendo nell equazione di equilibrio dinamico: M q C q K q Premoltiplicando per la trasposta della matrice modale T T T M q C q K q da cui: I q diag q diag q
27 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CLASSICAL DAMPING CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica I q diag q diag q Sistema di N equazioni indipendenti (disaccoppiate) del tipo: q q q cui corrispondono autovalori i q e soluzioni del tipo: 1 i i t t i t t e A e A e s 1 s s
28 Per quanto riguarda gli autovettori (forme modali) si dimostra che, nel caso di smorzamento classico, coincidono con quelli del sistema non smorzato. Sistema non smorzato ) ( n M K SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CLASSICAL DAMPING Sistema smorzato ) ( Z K C M Ipotizzando che valga la: ) ( ) ( Z ) ( ) ( n M K K C M si ottiene: ) ( ) ( ) ( n M C M Premoltiplicando per la trasposta della forma modale { () }: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( T n T T M C M
29 SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO CLASSICAL DAMPING Si dimostra quindi che il problema agli autovalori del sistema smorzato è soddisfatto dagli autovettori del sistema non smorzato e da autovalori dati dalla relazione precedente. ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( T n T T M C M 1 ) ( K C M 1
30 x 1 c 1 m 1 c x m c 3 k k 1 k 3 Esempio NLS-1 Dato il sistema mostrato nella Figura, calcolare: calcolare modi propri e forme modali del sistema non smorzato verificare la capacità della matrice modale di diagonalizzare le matrici del sistema calcolare modi propri del sistema smorzato Dati: k 1 = 15 N/m k = 1 N/m k 3 = 15 N/m c 1 =.1996 N/(m/s) c =.668 N/(m/s) c 3 =.1499 N/(m/s) m 1 = 1 kg m = 5 kg
31 Esempio NLS-1 Svolgimento x 1 c 1 m 1 c x m c 3 k k 1 k 3
32 Esempio NLS-1 Svolgimento x 1 c 1 m 1 c x m c 3 k k 1 k 3
33 Esempio NLS-1 Svolgimento x 1 c 1 m 1 c x m c 3 k k 1 k 3
34 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO UN CASO DI CLASSICAL DAMPING SMORZAMENTO PROPORZIONALE Si dimostra che la matrice di smorzamento è diagonalizzabile se: CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica m 1 l C M M K l l Se si pone m=1, si ottiene il cosiddetto smorzamento proporzionale (o di Rayleigh). C M K
35 CdL Magistrale in Ingegneria Meccanica Corso di Costruzione di Macchine Dinamica Strutturale Combinando: K M C " " " " 1 " " " " r s per M r s per M r T s r T s " " " " " " " " r s per K r s per K r r T s r T s con: r rd T T T d c diag I K M C C si ottiene: SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO UN CASO DI CLASSICAL DAMPING SMORZAMENTO PROPORZIONALE
36 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO UN CASO DI CLASSICAL DAMPING SMORZAMENTO PROPORZIONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica crd r Combinando con : si ottiene: rr r r 1 r r crd r r
37 CdL Magistrale in Ingegneria Meccanica Corso di Costruzione di Macchine Dinamica Strutturale SISTEMA A MOLTI G.D.L. SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE CLASSICAL DAMPING L equazione di equilibrio dinamico per il sistema smorzato con forzante esterna: t q t x ) ( Sostituendo nell equazione di equilibrio dinamico: pre-moltiplicando per la trasposta della matrice modale, qualora la matrice C sia diagonalizzabile, si ottiene: ) ( t F q q q I T n n n t i t i T e f e F q q q che costituisce un sistema di n equazioni indipendenti (disaccoppiate) del tipo: t F x K x C x M
38 CdL Magistrale in Ingegneria Meccanica Corso di Costruzione di Macchine Dinamica Strutturale SISTEMA A MOLTI G.D.L. SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE CLASSICAL DAMPING Assumendo una soluzione del tipo: t i e f q q q t i e Q t q ) ( Si ottiene: t i t i t i t i e f Q e Q e i Q e i f Q
39 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE CLASSICAL DAMPING La soluzione completa assume quindi una forma del tipo: CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica x( t) N 1 f i ( ) e ovvero la somma del contributo di N oscillatori ad 1 gdl, ognuno corrispondente ad uno dei modi propri. Sistema forzato a gdl effetto smorzamento Ampiezza massa it c = N s/m c = 1 N s/m c = N s/m 1 3 Ω
40 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE CLASSICAL DAMPING Contributo dei due modi propri CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica
41 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. SMORZATO OSCILLAZIONI FORZATE CLASSICAL DAMPING Andamento modulo e fase spostamenti CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica
42 Soluzione con metodo diretto
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46 Calcolare la risposta forzata del sistema di Fig., usano i dati dell esercizio precedente
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48 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Se i termini fuori diagonale della matrice T C C d sono trascurabili, si può assumere per essa una forma diagonale, nella quale lo smorzamento di ogni modo viene generalmente ottenuto direttamente per via sperimentale C n N d nn
49 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Una quantificazione dell importanza relativa dei termini fuori diagonale è data dal cosiddetto Coefficiente di Accoppiamento : C d c 11d c iid c c id d c NNd max c c id iidc d
50 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica È possibile verificare quantitativamente l errore commesso nel trascurare i termini fuori diagonale, nel caso del sistema forzato a gdl. Si assume una matrice di smorzamento principale del tipo: C d n1 4 n1 n 4 Si calcola quindi la risposta del sistema, in termini di un vettore complesso di ampiezze di spostamento, tramite soluzione diretta (esatta) delle equazioni del moto: n X (,, ) K i C M C exact T 1 C 1 d n1 n 1 F
51 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Si calcola quindi la risposta del sistema con il MSM, utilizzando la matrice di spostamento principale seguente (nella quale sono stati trascurati i termini fuori diagonale) : * n1 C d Si ottiene in tal modo un altro vettore complesso di ampiezze di spostamento X MSM (,, ) N 1 f n i ( )
52 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Si definisce quindi un errore percentuale massimo della soluzione ottenuta trascurando i termini fuori diagonale, nella forma : Err(,, ) max,, X MSM,,, X,, X exact, 1, N 1 max 1, N exact, nella quale l errore assoluto viene rapportato al massimo valore di ampiezza che si verifica, tra tutti i gradi di libertà, per i valori dati di ed. Nel seguito si analizza l andamento dell errore, per un sistema a gdl, in un range di valori di smorzamento < <.5 e di frequenza < < 3 Hz. Le pulsazioni naturali del sistema sono: n1 = 13.6 Hz n = 3.7 Hz
53 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica R X.1 R X
54 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica R X.5 R X
55 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica R X.5 R X
56 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica R X.1 R X
57 Corso Corso di Progettazione di Costruzione Assistita di Macchine delle Strutture Dinamica Meccaniche Strutturale Parte I SISTEMA A MOLTI G.D.L. LIBERO SMORZATO NON CLASSICAL DAMPING EFFETTO TERMINI FUORI DIAGONALE CdL Specialistica/Magistrale CdL in Ingegneria in Ingegneria Meccanica Meccanica Osservazioni: l errore percentuale massimo commesso trascurando i termini fuori diagonale appare dipendere principalmente dal Coefficiente di accoppiamento, riducendosi a poche unità percentuali su tutto il campo di frequenze e smorzamenti analizzato per <.1. l errore percentuale massimo appare dipendente anche dal livello generale di smorzamento, assumendo generalmente valori inferiori a poche unità percentuali per <.1 esistono tuttavia delle condizioni (Es: valori di relativamente elevati >.1-.) nelle quali l errore commesso trascurando i termini fuori diagonale può risultare inaccettabile; in tali condizioni, diventa necessario risolvere direttamente le equazioni del moto accoppiate, ricorrendo all Analisi Modale/Armonica Non Classica, tramite la tecnica detta dello Spazio delle Variabili di Stato o dello Spazio degli Stati.
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