Risposta del rotore allo squilibrio ROTORE DI JEFFCOTT

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1 Risposta del rotore allo squilibrio ROTORE DI JEFFCOTT 1. Il Rotore è squilibrato à risposta del rotore allo squilibrio 2. Il modello: rotore, cuscinetti e fondamenta 3. Il problema delle vibrazioni 4. Il problema delle deformazioni anelastiche termiche 5. Il problema delle inerzie della sezione di trave 6. Il rotore di Jeffcott o di Laval I. rigidezza k, i vettori )))))))))))))))) ε, z, F &, P, F ( II. III. IV. equilibrio dinamico à equazione di moto integrali particolari *,,,,, +., = A(Ω) 7. Costruzione dei rotori II. III. I. 1 Caso 2 Caso 3 Caso G.P. Fondamenti di Meccanica Teorica ed Applicata

2 ROTORE Uno dei problemi di dinamica maggiormente conosciuto è quello riguardante i rotori. TUTTI I ROTORI REALI, RIGIDI O DEFORMABILI SONO SQUILIBRATI, TALE SQUILIBRIO GENERA UN CAMPO DI FORZA ROTANTE CON L ALBERO CHE DÀ ORIGINE A VIBRAZIONI SINCRONE CON LA FREQUENZA DI ROTAZIONE DELLA MACCHINA. TALI VIBRAZIONI SONO DEFINITE COME RISPOSTA DEL ROTORE ALLO SQUILIBRIO. Modello della macchina completa composto da: Rotore Cuscinetti tra albero e fondazione Blocco di fondazione sospeso su molle PROBLEMA DELLE VIBRAZIONI La risonanza è una condizione fisica che si verifica quando un sistema oscillante forzato viene sottoposto a sollecitazione periodica di frequenza pari all'oscillazione propria del sistema stesso. Se la trave ruota molto velocemente ovvero la sua pulsazione è elevata si ha la velocità critica flessionale cioè quella velocità angolare tale per cui la sua deformazione di tipo esclusivamente flessionale è massima. PROBLEMA DELLE DEFORMAZIONI ANELASTICHE TERMICHE I rotori possono essere soggetti a ingobbimenti dovuti a una distribuzione di temperatura a simmetria non polare che induce deformazioni anelastiche termiche che portano ad una inflessione e quindi a un ingobbimento della trave che comincia ad oscillare con frequenze non equilibrate e successivamente questo può portare i montaggi sulla quale è appoggiata a disallinearsi.

3 La possibilità di vibrazione non è solamente di tipo flessionale ma anche torsionale. PROBLEMA DOVUTO ALL INERZIA DELLA SEZIONE DI TRAVE Poiché costruire una trave assialsimettrica e polare è impossibile, nella realtà potrebbe avere una sezione non perfettamente circolare ma essere piuttosto ellittica, il baricentro potrebbe quindi non trovarsi sull asse di rotazione. Si genera quindi una forza pulsante che genera vibrazioni. IL MODELLO Disco rigido sottile di massa M Velocità angolare dell albero Ω Albero deformabile di rigidezza ;<<=>?9@9 k = 4 5 = A<6B@9C&D@6 9BB& 76@67&, L albero è privo di massa, k è la rigidezza dell albero ed f freccia statica cioè lo spostamento del disco per effetto della forza applicata. Il disco per effetto dello spostamento dell albero mantiene lo stesso asse. Si trascurano gli effetti giroscopici.

4 Nella pratica a causa di inclusioni o distribuzioni disomogenee di materiali, il baricentro non si trova esattamente nel baricentro geometrico del disco, il baricentro G reale risulta distante da S di una quantità ε eccentricita che risulterà essere, rispetto al SdR scelto, un vettore rotante con velocità angolare Ω pari alla velocità di rotazione dell albero. Definendo quindi: il vettore ε = εe >P@ eccentricità del baricentro G da S il vettore z = y + ix che individua la posizione di S Considerando le forze agenti sul rotore: dove: F & = kz la forza di richiamo elastica P = Mg la forza peso (supposta diretta come l asse x) F ( = Mz X la forza di inerzia z X = z + ε z X = z Ω Y εe >P@ Impostando l equilibrio dinamico si ottiene: Mz X + kz + P = 0 da cui l equazione di moto: Mz + kz = Mg + MΩ Y εe >P@ Si focalizza l attenzione sul moto forzato: integrale particolare dovuto alle forze peso e un integrale particolare aggiunto dovuto allo squilibrio. Scomponendo Re- Im si ottiene: Le due equazioni ottenute sono caratteristiche di un sistema vibrante 2GDL forzate quindi soggetto a fenomeni di risonanza quando la pulsazione della forzante Ω coincide con una frequenza propria del sistema. Nel caso del

5 rotore squilibrato i termini forzanti hanno pulsazione Ω pari alla velocità angolare dell albero e intensità dipendente linearmente dall eccentricità ε del rotore e dal termine Ω Y Le due pulsazioni proprie dell albero nei due piani di inflessione coincidono: ω \ = ω ] = ω^ = k M Definendo gli integrali particolari che definiscono la vibrazione a regime del sistema e applicando la sovrapposizione degli effetti: Il contributo della forza peso porta a Z < = Mg k ; X p = mg k L effetto delle forzanti invece a Z < (t) = Z < e >P@ E sostituendo nell equazione di moto si ha: Ω Y M + k Z < e >P@ = MΩ Y εe >P@ da cui Z < = MΩ2 ε Ω 2 M+k e dividendo per M M si ottiene: Z < = Ω 2 ε Ω 2 + k M = Ω 2 ε Ω 2 + ω 2 da cui: * +. = f j = A Ω gh kf i che presenta un punto di discontinuità nel quale la funzione tende all infinito: le vibrazioni flessionali qui raggiungono la condizione di risonanza a velocità critica flessionale cioè la velocità angolare è quale ad una delle frequenze proprie del rotore.

6 COME SI COSTRUISCE UN ROTORE? CASO 1: Ω < ω 0 cioè A Ω > 0 Al di sotto della risonanza, la forzante risulta in fase con la vibrazione ossia Z ed ε sono allineati ed equiversi: si mantiene allineamento tra il baricentro e l asse di rotazione. CASO 2: Ω = ω 0 cioè A Ω = In condizioni di risonanza, Z è disposto in ritardo di 90 rispetto al vettore ε con modulo Z tendente per l assenza di smorzamento ad ampiezza infinita, questa condizione è quella che porta alla rottura del rotore nel caso di permanenza nella velocità critica flessionale. E possibile passare da questo valore, il problema è la permanenza.

7 CASO 3: Ω ω 0 cioè A Ω < 0 Al di sopra della risonanza Z ed ε tornano ad essere allineati ma in opposizione di fase. In tale condizione per Ω il modulo dell ampiezza di oscillazione Z tende ad ε cioè l albero tende ad autocentrarsi. Si cerca di lavorare in questa condizione. Inizialmente vibra ma una volta raggiunta la velocità di regime tende ad autocentrarsi. RIGIDEZZA TORSIONALE DI UNA TRAVE k t = G J p L Damping Amplitude Phase Smorzamento Modulo / Ampiezza Fase