Esercizi sulle vibrazioni

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1 Esercizi sulle vibrazioni 1. Frequenza propria di una boa Una boa cilindrica avente sezione circolare di area A e massa totale m viene spostata dalla configurazione di equilibrio e lasciata libera di oscillare in acqua di mare. Determinare la frequenza propria delle oscillazioni libere. Risolvere numericamente per una boa di massa m pari a kg e diametro pari a 1 m. Assumere ρ=105 kg/m 3 per la densità dell acqua di mare. La pulsazione naturale è ottenibile come Figura 1: Schema della boa = k m ( 1 ) Per determinare la rigidezza k osserviamo che la forza elastica coincide con la spinta di Archimede a meno del peso della boa: F a = ρvg = ρaxg x = 1 ρag F a ; k = πρr g ( ) dove x è lo spostamento dalla configurazione di equilibrio, nella quale la spinta di Archimede e il peso proprio della boa mg sono in equilibrio. A è l area della sezione della boa, di raggio R. La massa oscillante è la massa m della boa stessa. 1

2 = kg πρr g π105 m = m m 9.81 kg = 6.84 rad s ( 3 ) Il periodo Tn e la frequenza fn naturali sono: T n = π = 0.10s ; f n = 1 T n = π = 10.0Hz ( 4 ). Molle in serie e parallelo Determinare la costante elastica equivalente per molle in serie e in parallelo. Figura : Molle in parallelo Molle in parallelo condividono lo stesso allungamento x: F 1 = k 1 x F = k x F n = k n x ( 5 ) Da cui segue, per equilibrio globale del sistema: n F = F i = i=1 n i=1 k i n x k = k i ( 6 ) i=1

3 Figura 3: Molle in serie Se le molle sono in serie, esse condividono la stessa forza, come si può vedere dall equilibrio di ciascuna di esse. F = k 1 x 1 F = k x F = k n x n ( 7 ) Per cui la rigidezza equivalente k si ottiene dall allungamento globale x. n x = x i = i=1 n i=1 k i n 1 F k = 1 i=1 k i 1 ( 8 ) Si può osservare che la rigidezza delle molle si comporta in modo analogo alla conduttanza G nei sistemi elettrici. Per essi vale la legge di Ohm: I = GV ( 9 ) Che è formalmente identica alla legge di Hooke, sostituendo la forza all intensità di corrente e l allungamento alla differenza di potenziale. 3

4 3. Vibrazioni longitudinali di una barra Determinare la rigidezza longitudinale per una barra. Si supponga che una barra a sezione circolare di acciaio di lunghezza pari a 140 cm sostenga una massa di 15 kg, trovare il diametro minimo che essa deve avere perché la sua frequenza propria sia maggiore di 150Hz (si trascuri l effetto della massa della trave). Figura 4: Vibrazioni longitudinali di una barra Il legame tensione- deformazione è: σ = Eε ( 10 ) Dove la deformazione ε è l allungamento per unità di lunghezza, da cui: ε = Δl l ; N = σ A = EA Δl l La frequenza propria del sistema barra + massa è: k = EA l ( 11 ) f n = 1 π k m = 1 π EA lm ( 1 ) Nel caso in esame, il raggio della sezione R si ricava dalla ( 1 ). R = A π = 4πlmf n E = 4π 1.4m 15kg s Pa == m ( 13 ) Quindi il diametro minimo è 11 mm. 4

5 4. Vibrazioni flessionali di una trave incastrata Determinare la rigidezza flessionale per una trave incastrata a sezione costante. Si supponga che all estremità libera della trave sia attaccata una massa pari a 1. kg, trovare la frequenza propria del sistema. Si assuma una trave di alluminio di lunghezza pari a 60 cm e a sezione quadrata cava di lato h 0 mm e spessore s mm. Figura 5: Vibrazioni flessionali di una trave incastrata La freccia della trave, all estremità libera è: x = FL3 3EI ( 14 ) nell ipotesi che la stessa estremità sia caricata con una forza F. La rigidezza corrispondente è: F = 3EI L 3 x k = 3EI L 3 ( 15 ) Per trovare la frequenza propria occorre conoscere il momento di inerzia della sezione. Sia I il momento di inerzia della sezione piena, il momento I della sezione cava si ricava come segue: I = l 4 1 ; I = ( h + s)4 h s 1 ( ) 4 Nel caso in esame, il prodotto EI vale = ( 3 h3 s + hs 3 ) h3 s 3 ( 16 ) EI h3 se 3 = m m Pa 3 La frequenza propria, per la massa m pari a 1. kg, sarà: = Nm ( 17 ) 5

6 f n = 1 π 3EI ml = 1 3 π Pa Nm 1.kg m 3 = 14.79Hz ( 18 ) 5. Vibrazioni torsionali di una trave Determinare la rigidezza torsionale per una trave incastrata a sezione costante. Si supponga che all estremità libera della trave sia attaccato un disco di acciaio di diametro pari a 10 cm e spessore cm, trovare la frequenza propria del sistema. Si assuma una trave circolare di alluminio di lunghezza pari a 60 cm e a sezione circolare di diametro 0 mm. Figura 6: Vibrazioni torsionali di una trave incastrata La rotazione θ provocata da un momento di estremità T è: θ = TL JG ( 19 ) Dove J è il momento di inerzia polare della sezione e G è il modulo di elasticità tangenziale, per l alluminio: G = E 1+ ν ( ) = 70000MPa ( ) = 693.1MPa ( 0 ) Il momento d inerzia polare per una sezione circolare si può ottenere come somma dei momenti rispetto agli assi x e y: J = I = π R4 4 = π R4 ( 1 ) La rigidezza torsionale sarà: T = k T θ k T = JG L ( ) Il momento di inerzia del disco in acciaio, che è un momento di inerzia di un corpo solido e non di una sezione, è: 6

7 I d = ρ π R 4 d s = 7860 kg π m m = 1, kg m m 3 ( 3 ) Per cui la frequenza propria è: f n = 1 π = 1 π JG I d L = 1 π G ρls R R d = Pa m 7860 kg 0.600m d m = Hz ( 4 ) 3 m 6. Stima di smorzamento di una struttura complessa Un telescopio a puntamento rapido avente massa sospesa pari a 000 kg deve essere progettato con l obiettivo di contenere l ampiezza delle vibrazioni libere residue dopo 0.5 s entro il 30% della vibrazione provocata dal puntamento. Si supponga quindi di spostare il telescopio dalla sua configurazione di equilibrio e di riposizionarlo: nasceranno vibrazioni libere smorzate alla frequenza propria del sistema. Si chiede di progettare il telescopio in modo che la prima frequenza propria sia sufficientemente alta da ottenere un ampiezza di vibrazione del 30 % del valore a inizio transitorio entro 0.5 s. Si può dimostrare che il sistema si comporta come se avesse un solo grado di libertà, trovare la frequenza propria minima che esso deve avere nell ipotesi che lo smorzamento adimensionale ζ possa essere assunto pari a Cosa accadrebbe per ζ pari a 0.1? La risposta nel tempo del sistema, assumendo smorzamento subcritico, è: x( t) = Xe ζt cos 1 ζ t + ϕ ( ) ( 5 ) Il valore della curva inviluppante nel tempo xmax(t) sarà: x max ( t) = Xe ζt ( 6 ) Definiamo f il rapporto tra l ampiezza dell inviluppante dopo un tempo t e il valore iniziale a fine puntamento. f = x max 0 t x max ( ) ( ) = Xe ζ t Risolvendo rispetto alla pulsazione naturale: = ln( f ) ζt Nel caso di ζ uguale a 0.01 si ha: ( 7 ) f n = ln( f ) πζt ( 8 ) 7

8 f n = ln( f ) πζt = ln( 0.3) π s = 38.3Hz ( 9 ) mentre per ζ uguale a 0.1 vale 3.83 Hz. Esiste una relazione di proporzionalità inversa tra frequenza propria e smorzamento: al crescere dello smorzamento la frequenza propria ammissibile diminuisce. f n Ζ Figura 7: Relazione tra frequenza propria e smorzamento 8

9 7. Vibrazioni forzate di un filo Un filo d acciaio di diametro 3 mm e lunghezza L pari a 10 m supporta una massa di 50 kg. La massa è soggetta ad una forza sinusoidale di frequenza f pari a 5 Hz e a ampiezza F0 pari a 00 N. Calcolare, l ampiezza delle vibrazioni forzate, la massima tensione del filo e il massimo della forza complessiva trasmessa al basamento, sia nel caso di vibrazioni forzate propriamente dette che in presenza di smorzamento adimensionale ζ pari a Figura 8: Vibrazioni di una massa appesa a un filo Calcoliamo la rigidezza e la frequenza propria del filo. k = EA L f n = 1 π = 1 π = Eπ R L k m = 1 π = Pa π m 10m EA Lm = 1 π Eπ R Lm = Pa π m 10m 50kg e la corrispondente pulsazione propria è = 8.67Hz = N m ( 30 ) 9

10 = π f n = π 8.67Hz=54.49 rad s ( 31 ) La pulsazione del forzante ω vale: ω = π f = π 5Hz=31.41 rad s ( 3 ) Il fattore di amplificazione dinamica è: G( ω ) = k X = F 0 1 ω 1 ω + 4ζ ( 33 ) Per cui il guadagno ideale e reale (ζ=0.01) valgono rispettivamente G id ( ω ) = G( ω ) = 1 1 ω = ω 1 ω + 4ζ = ( 34 ) E dunque sono pressoché coincidenti. Il modulo della risposta in condizioni ideali e reali vale: ( ) = X id = F 0 k G id ω 00N N m = m X = F 0 k G( ω ) = 00N N = m m ( 35 ) Si noti che il numero di cifre riportate è maggiore del numero di cifre significative, per le approssimazioni effettuate durante lo svolgimento. Questo modo di procedere, qui giustificato dall esigenza di mostrare la differenza tra i due casi, è in generale scorretto. La tensione massima del filo si ottiene considerando la somma della deformazione statica e della massima deformazione dinamica. Da cui: σ = Eε = E Δl l Δl = N l EA ( 36 ) 10

11 σ = Eε = E mg EA + X 50kg 9.81 m L = s π m Pa m 10m = Pa = 111.8MPa La trasmissibilità al punto di fissaggio è definita come segue: ( 37 ) t ( ω ) = T = F 0 1 ω ω 1+ 4ζ ( 38 ) ω + 4ζ dove T è il modulo della forza trasmessa. Nei due casi, ideale e reale, vale: t id ( ω ) = ( ) = t ω ( 39 ) Da cui la forza dinamica trasmessa risulta: T = F m t ( ω ) = 00N =99.57N ( 40 ) La forza totale trasmessa al telaio sarà: F t = 50kg 9.81 m s N=790.07N ( 41 ) 11

12 8. Trave incastrata con vibrodina Una trave incastrata del tutto analoga a quella dell esercizio 4 è soggetta a eccitazione periodica per mezzo di una vibrodina solidale alla massa m. Le caratteristiche della trave sono: lunghezza L pari a 60 cm, sezione quadrata cava in alluminio di lato h 0 mm e spessore s di mm. La massa supportata M vale 1. kg inclusa la vibrodina. L eccitazione è realizzata mediante il dispositivo rappresentato in figura (vibrodina): si tratta di un doppio eccentrico controrotante con massa squilibrante m pari a 0 g posta a un raggio r pari a 5 cm. Gli eccentrici sono posti in rotazione alla velocità di 1000 RPM, trovare l ampiezza e la fase delle oscillazioni forzate. Figura 9: Trave incastrata con vibrodina Calcoliamo la frequenza e la pulsazione di eccitazione: f = n RPM 60 = s = 16.67Hz ω = π f = π n RPM 60 = π rad = s s Calcoliamo la forza dinamica verticale esercitata dalla vibrodina: ( 4 ) F( t) = F 0 cos(ωt) ( 43 ) 1

13 mentre la forza orizzontale è identicamente nulla perché le forze determinate dalle due masse si equilibrano. F0 può essere determinato sommando le forze d inerzia centrifughe relative alle due masse m: F 0 = mω r = 0.00kg rad s 0.050m = 1.93N ( 44 ) La rigidezza della trave, calcolata come nell esercizio 4, vale: dove il prodotto EI vale: da cui k: k = 3EI L 3 ( 45 ) EI h3 se 3 = m m Pa = 373.3Nm ( 46 ) 3 k = 3EI L 3 = 373.3Nm m 3 = N m e quindi la frequenza propria, per la massa M pari a 1. kg, sarà: ( 47 ) f n = 1 π 3EI ML = 1 3 π Pa 373.3Nm 1.kg m 3 = 10.5Hz ( 48 ) Il fattore di amplificazione vale: G id ( ω ) = 1 1 ω = con ω = π f = n n ( 49 ) Da cui, per definizione del fattore dinamico: X = F 0 k G( ω ) = 1.93N N = m m ( 50 ) Trattandosi di vibrazioni forzate, quindi con ζ nullo, al di sopra della frequenza di risonanza, lo sfasamento è π. La risposta a regime sarà quindi: x( t) = X cos( ωt π ) ( 51 ) 13

14 9. Serbatoio di acquedotto a forzante sismico Un serbatoio per acquedotto si trova in zona sismica soggetta a terremoti con Peak Ground Acceleration fino a 1 g. Il serbatoio deve avere una capacità di 000 m 3 ad un altezza L pari a 40 m; il traliccio in acciaio avere sezione circolare cava di raggio R e spessore s. Sia R pari a m e s pari a 10 cm. Si assuma come frequenza del forzante 100 Hz; si prenda ζ=0.01 come smorzamento per l acciaio. Si esegua la verifica a carico di punta con la seguente formula. Cosa accadrebbe a 10 Hz? N cr = π EI 4L ( 5 ) Figura 10: Serbatoio a forzante sismico Calcoliamo il momento di inerzia della sezione per sottrazione del momento del vuoto: I = π R4 4 π R + s ; I = 4 π R s 4 4 = π R 3 s + π Rs3 4 π R 3 s ( 53 ) Calcoliamo la rigidezza del supporto: 14

15 A = π Rs k = EA L = πers = π Pa m 0.10m N = L 40m m Da cui la pulsazione propria: ( 54 ) = πers ρvl = π Pa m 0.10m 1000 kg m 3 000m3 40m = rad s ( 55 ) Dove la massa m è espressa in funzione del volume noto e della densità dell acqua, trascurando la massa del recipiente. La frequenza propria è: f n = 1 π = 1 rad = 9.14Hz π s ( 56 ) Il forzante è a 100 Hz, ovvero 68.3 rad/s, dunque oltre la frequenza di risonanza e la risposta sarà dunque in opposizione di fase: ai massimi di oscillazione della base, corrisponderanno i minimi di oscillazione del serbatoio. La trasmissibilità a forzante sismico è definita come segue: t ( ω ) = X = Y 0 1 ω ω 1+ 4ζ ω + 4ζ = ( 57 ) Il valore ottenuto dimostra che le vibrazioni ad alta frequenza si trasmettono in modo molto limitato. Occorre ora calcolare lo spostamento massimo della base corrispondente all accelerazione di 1 g: Da cui: Y 0 = y max ω = y max ( ) = Y 0 cos( ωt) ( ) = ωy 0 sin( ωt) ( ) = ω Y 0 cos( ωt) y t y t y t m π f = s 4π s ( 58 ) = m = 0.048mm ( 59 ) L ampiezza delle oscillazioni del serbatoio, nel riferimento inerziale, sarà: X = Y 0 t ( ω ) = m = m ( 60 ) L ampiezza massima dell allungamento della colonna sarà: 15

16 Z = X + Y 0 = m m = m ( 61 ) in cui si nota che i termini sono sommati, invece che sottratti come in figura, perché oltre la frequenza propria i due moti avvengono in opposizione di fase. Il carico di compressione sulla sezione sarà la somma del carico statico e di quello dinamico N s = ρvg = 1000 kg m 3 000m m s = N N d = kz = N m m = N N = N s + N d = N ( 6 ) quindi l effetto dinamico non è molto rilevante a 100 Hz. Il valore critico dello sforzo normale a carico di punta è: N cr = π EI 4L = π 3 ER 3 s 4L = π Pa 3 m 0.10m 4 40 m = N ( 63 ) A 10 Hz la trasmissibilità vale t ( ω ) = X = Y 0 1 ω ω 1 + 4ζ ω + 4ζ = 5.05 per ω = 6.83 rad s ( 64 ) Da cui i carichi dinamico e totale: ( ) N d = k t ( ω ) + 1 y max 4π f = N = m ( ) 9.81 m s 1 4π 10 N = N s + N d = N s = N ( 65 ) dunque il carico dinamico non è più trascurabile, tuttavia il carico è inferiore al carico critico di punta. Il coefficiente di sicurezza è: f s = N cr N = N N = 6.85 ( 66 ) 16

17 10. Vibrazioni torsionali di un albero con due volani Un albero di rigidezza torsionale k collega tra loro due volani aventi momento di inerzia pari a I1 e I. Calcolare le frequenze proprie e i modi del sistema. Figura 11: Vibrazioni torsionali di un albero con due volani Le equazioni del moto del sistema sono: ( ) ( ) I 1 ϑ 1 = k ϑ 1 ϑ I ϑ = k ϑ ϑ 1 ( 67 ) In cui osserva che la coppia elastica esercitata dalla molla ha segno opposto alla rotazione relativa. Ponendo M = I I ; K = k k k k ; Θ = ϑ 1 ϑ ( 68 ) l equazione del moto diventa: Cerchiamo soluzioni della ( 69 ) del tipo: M Θ + KΘ = 0 ( 69 ) KΘ = Φr( t) ; Φ = φ 1 φ ( 70 ) Sostituendo nella ( 69 ) si ha: M Φ r ( t) + KΦr( t) = 0 r ( t) r( t) = M 1 KΦ = ω ( 71 ) In cui si osserva che il primo membro dipende da t, mentre il secondo no, per cui entrambi i membri possono essere posti uguale ad una costante (da determinare) - ω. Il segno necessariamente positivo di ω è coerente con la 17

18 natura di K e M, che sono matrici simmetriche e almeno semi- definite positive. Sostituendo ω nella prima delle ( 71 ) si ha: KΦ = ω M Φ ( 7 ) Dalla ( 7 ) si conclude che determinare i valori della costante ω significa trovare gli autovalori della matrice K rispetto alla matrice M. Tale problema può essere ricondotto al problema standard moltiplicando per l inversa della matrice di massa: M 1 KΦ = ω Φ ( 73 ) Quindi l equazione secolare si ottiene imponendo una delle seguenti condizioni: ( ) = 0 ( ) = 0 det KΦ ω M Φ det M 1 KΦ ω IΦ ( 74 ) dove I è la matrice identica. Nel caso in esame, si ha: k ω I 1 da cui l equazione biquadratica che ha due soluzioni in ω : k k k ω I = 0 ( 75 ) ( k ω I 1 )( k ω I ) k = 0 ( 76 ) ω 1 = 0 ω = I 1k + I k I 1 I ( 77 ) Il primo modo sarà dunque un modo rigido, mentre il secondo avrà frequenza propria: f = 1 π I 1 k + I k I 1 I ( 78 ) Per ottenere i modi, occorre sostituire le ω1, ella ( 73 ) e risolvere in Φ, ricordando che il sistema è sotto- determinato per come sono state trovate le ω1, ω. Sostituendo la ω1, si ha: φ = φ 1 ( 79 ) il che conferma che il primo modo è un modo rigido: tutte le sezioni della trave ruotano della stessa quantità. Sostituendo ω 18

19 φ = I 1 I φ 1 ( 80 ) per cui la rotazione del secondo volano è uguale e opposta a quella del primo se le due inerzie sono uguali. Poiché l andamento delle rotazioni è lineare lungo la trave, nell ipotesi I1=I si ha anche che la rotazione è zero in mezzeria della trave. 19