CONTROLLI AUTOMATICI LS Ingegneria Informatica. Analisi modale

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1 CONTROLLI AUTOMATICI LS Ingegneria Informatica Analisi modale Prof. Claudio Melchiorri DEIS-Università di Bologna Tel claudio.melchiorri@unibo.it

2 Analisi Modale Si vuole studiare l evoluzione nel tempo di un sistema dinamico. A tale scopo, si faccia riferimento a: Sistema tempo continuo () Sistema tempo discreto () L evoluzione nei due casi dipende dalle funzioni del tempo di tipo e At o A dk, le cui proprietà strutturali possono essere evidenziate tramite una opportuna trasformazione di similarità dove le matrici T sono costanti e le A, A d hanno forma più semplice (forma di Jordan: diagonali o diagonali a blocchi) rispetto a quelle originali. Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

3 Analisi Modale 3 Definizione: le funzioni del tempo che compaiono in e At o A dk, in () o () rispettivamente prendono il nome di modi del sistema. Mediante l analisi dei modi (analisi modale) si può caratterizzare la risposta libera di un sistema a partire dai suoi autovalori. Autovalori distinti In questo caso la matrice A (A d ) è in forma diagonale del tipo Caso tempo continuo Caso tempo discreto Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

4 Analisi Modale 4 I modi del sistema sono funzioni linearmente indipendenti in quanto gli autovalori λ,, λ n sono distinti. e λ t,, e λ n t λ k,, λ k n Se lo stato iniziale x appartiene all autospazio relativo ad un particolare autovalore, allora l evoluzione libera del sistema appartiene allo stesso autospazio. Ciascun modo può venire eccitato indipendemente dagli altri modi; ciascun modo complesso in generale viene eccitato assieme al suo complesso, a meno che lo stato iniziale sia a componenti complesse..5.5 x V Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

5 Analisi Modale Autovalore sul piano complesso 6 Andamento del modo λ =.5 Sistemi tempo continuo Autovalori reali semplici.5.5 λ = e λ t λ = Claudio - Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/

6 Analisi Modale Autovalore sul piano complesso 6 Andamento del modo λ =.5 Sistemi tempo discreto Autovalori reali semplici λ = λ k λ = Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

7 Analisi Modale Autovalore sul piano complesso Andamento del modo λ = Sistemi tempo discreto Autovalori reali semplici.5 λ = -.5 λ k λ = Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

8 Analisi Modale Autovalore sul piano complesso 3 6 Andamento del modo λ =.5 ± j Sistemi tempo continuo Autov. complessi semplici λ = ± j e σ t cos(ω t) λ = -.5 ± j -3 - Claudio - Melchiorri 5 Controlli Automatici LS A.A. 8/9

9 Analisi Modale Autovalore sul piano complesso.5 Andamento del modo λ = e ± j π/4 Sistemi tempo discreto Autov. complessi semplici λ =.5 e ± j π/4 e σ t cos(k ω) λ = e ± j π/ Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

10 Analisi Modale Autovalori multipli Nel caso tempo continuo si ha: I modi del sistema sono Nel caso tempo discreto si ha: I modi del sistema sono Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

11 Analisi Modale Autovalori multipli Invarianza: se lo stato iniziale x o appartiene al sottospazio generato da una catena (miniblocco) relativa ad un autovalore λ, allora la traiettoria è completamente contenuta nel medesimo sottospazio. Interdipendenza: non è possibile in alcun modo eccitare singolarmente i modi appartenenti ad un miniblocco di Jordan Sia x lo stato iniziale Sistema tempo continuo Sistema tempo discreto Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

12 Analisi Modale - Esempio Sia dato un sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità Modi m = e λ t ed m = t e λ t con λ = Modi m = e λ t ed m = t e λ t con λ = -.5 Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

13 Analisi Modale - Esempio Sia dato un sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità Modi m = λ k ed m = k λ k- con λ = Modi m = λ k ed m = k λ k- con λ =.5 Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

14 Analisi modale - Autovalori complessi coniug.. multipli 4 Sulla base della forma reale di Jordan, è possibile considerare i modi reali corrispondenti a coppie di autovalori complessi coniugati con grado di molteplicità maggiore di uno. Caso tempo discreto Caso tempo continuo Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

15 Analisi modale carattere di convergenza dei modi Dato un SL stazionario (tempo continuo o tempo discreto), il modo m(t) (reale o complesso) definito per t è: Convergente se: 5 Limitato ma non convergente, se un numero reale M > tale che Non limitato se M >, esiste t tale che Proposizione : I modi del sistema sono: Convergenti sse tutti λ(a) hanno parte reale < Limitati sse tutti λ(a) hanno parte reale e quelli a parte reale nulla sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione unitaria (radici semplici del polinomio minimo) Proposizione : I modi del sistema sono: Convergenti sse tutti λ(a) hanno modulo < Limitati sse tutti λ(a) hanno modulo e quelli a modulo = sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione unitaria (radici semplici del polinomio minimo) Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

16 Analisi modale Modi dominanti 6 L evoluzione libera del sistema lineare a partire dallo stato iniziale x() = x è data da al tendere di t (di k) all infinito, i modi del sistema tendono a zero, rimangono costanti o divergono a seconda del valore degli autovalori. Alcuni di essi, però, tendono a zero più rapidamente rispetto ad altri, per cui la loro influenza sul comportamento asintotico del sistema diventa trascurabile all aumentare del.8 tempo.6.4. Modo dominante Tempo (sec) Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/

17 Analisi modale Modi dominanti Consideriamo per semplicità il caso di autovalori reali distinti 7 Definizione: Siano λ i gli autovalori della matrice A. L autovalore λ è l autovalore dominante della matrice A se vale la seguente relazione: Caso tempo continuo Caso tempo discreto Proprietà. Al tendere di t (di k) all infinito, l evoluzione libera x(t) [x(k)] di un sistema lineare tempo continuo [tempo discreto] tende ad appiattirsi lungo il sottospazio corrispondente all autovalore dominante, cioè l autovalore λ a parte reale [modulo] maggiore. Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

18 Analisi modale Modi dominanti 8 Siano v i gli autovettori associati agli autovalori λ i. Dato che gli autovettori v i costituiscono una base dello spazio degli stati, una qualsiasi condizione iniziale x può essere espressa come somma delle sue componenti lungo i v i dove le componenti x,i si possono esprimere come x,i = v i *T x cioè come prodotto scalare tra x e le righe v * i di T - Le evoluzioni libere x(t) e x(k) corrispondenti alla condizione iniziale x sono Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

19 Analisi modale Modi dominanti Le evoluzioni libere x(t) e x(k) corrispondenti alla condizione iniziale x sono 9 Indipendentemente dalla condizione iniziale x, se x, l evoluzione del sistema tende verso l autospazio corrispondente al polo (modo) dominante Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/

20 Analisi modale Modi dominanti Nel caso di autovalori complessi coniugati, la coppia di autovalori λ, =σ ± j ω è detta dominante se (tempo continuo) Se v è l autovettore complesso corrispondente a λ e v R, v I le sue componenti reali ed immaginarie, si può dimostrare che cioè l evoluzione libera del sistema tende verso il sottospazio generato dai vettori v R e v I. Considerazioni simili valgono anche nel caso di sistemi tempo-discreti con autovalori complessi coniugati dominanti. Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

21 Analisi modale - Esempio Determinare il sottospazio corrispondente al modo dominante del sistema dinamico LS tempo continuo Polinomio caratteristico di A: Vi sono quindi tre autovalori coincidenti: λ =. Il corrispondente autovettore v si ottiene risolvendo il sistema Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

22 Analisi modale - Esempio Gli autovettori generalizzati v e v 3 si ricavano da Utilizzando la matrice di trasformazione si ottiene Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

23 Analisi modale - Esempio Se x 3 si ha che 3 La direzione lungo la quale si appiattisce la traiettoria x(t) è quindi Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

24 Invarianti 4 In termini matematici, un invariante è un aspetto, una proprietà, o una caratteristica che non cambia se soggetta ad una trasformazione. Esempi: Parte reale e valore assoluto di un numero complesso con la operazione di coniugazione; Il grado di un polinomio con una trasformazione lineari delle variabili; Gli autovalori o i valori singolari di una matrice con una trasformazione di similitudine; La norma Euclidea (lunghezza di vettori) con una trasformazione ortonormale (rotazione); L angolo tra due vettori con una trasformazione ortonormale (rotazione); Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

25 Invarianti 5 e 3 Dati: R 3 : spazio vettoriale {e, e, e 3 }: base principale (colonne della matrice I) V: sottospazio { v, v }: base del sottospazio V V = [v. v ]: matrice di base del sottospazio V v v e V e Data una matrice A n x n, lo spazio V si dice invariante in A se è AV V Proprietà: La somma di due invarianti è un invariante L intersezione di due invarianti è un invariante V è invariante in A se Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

26 Invarianti 6 Esempio: Siano date e 3 V è invariante in A se v v È immediato verificare in questo caso che questa proprietà vale. e e V Esempio: Siano date V è invariante in A se In questo caso questa proprietà non vale. Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

27 Alcune proprietà geometriche 7 Cambiamenti di base e 3 Al posto della base e, e, e 3 si assume una nuova base h, h, h 3 con T = [h, h, h 3 ] non singolare. e v v V e Si indica con x il vettore delle componenti di un punto p nella base principale, con z le componenti nella nuova. Si ha x = T z, z = T - x h 3 e 3 h p Nella nuova base, ad una matrice A n x n corrisponde la matrice A A = T - A T Infatti e h e Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

28 Alcune proprietà geometriche 8 T A = T A T - T - A = T - AT Data una matrice A, sia dato un invariante V rispetto ad A con dimensione k < n, ed una sua matrice di base V, n x k. Assumendo T = [V, V ] non singolare, la matrice A = T - A T ha la struttura Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

29 Alcune proprietà geometriche 9 Esempi: il vettore p nella base principale {e, e, e 3 } ha componenti Sia p = [3,, 5] T ; h 3 e 3 h p e la matrice che definisce la nuova base. Allora: p = T - p = [-.6548, 3.789, 4.88] T con e h h 3 h e 3 p 3 e h e Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

30 Alcune proprietà geometriche Esempio: data la matrice A e l invariante descritto da V 3 Si ottiene k = n - k = Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

31 Alcune proprietà geometriche Esempio: data la matrice A e l invariante descritto da V 3 Si ottiene k = n - k = Claudio Melchiorri Controlli Automatici LS A.A. 8/9

32 CONTROLLI AUTOMATICI LS Analisi modale FINE Prof. Claudio Melchiorri DEIS-Università di Bologna Tel claudio.melchiorri@unibo.it