Esercizio di modellistica a tempo discreto

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1 Esercizio di modellistica a tempo discreto Si consideri un corso di laurea triennale, e si indichi con k =,, 2,... l anno accademico dall attivazione del corso. Si indichi con x i (k) il numero di studenti frequentanti l i-esimo anno di corso, i =, 2,, durante l anno accademico k. Sia y(k) il numero di laureati nell anno accademico k, e u(k) il numero di nuovi iscritti al primo anno di corso nell anno accademico successivo. Sia α i, i =, 2, la frazione di studenti che passa dall i-esimo all (i+)-esimo anno di corso, e α la frazione di laureati. Infine sia β i, i =, 2,, la frazione di abbandoni durante l i-esimo anno di corso.. Scrivere un modello del sistema, evidenziandone gli ingressi, lo stato, e le uscite. 2. Posto α = α 2 =, α = 5, β =, β 2 = 2 e β = 2 : (a) Studiare la stabilità e i modi del sistema. (b) Calcolare l evoluzione del numero di laureati con condizioni iniziali x () =, x 2 () = 2, x () =, e assumendo non ci siano nuovi iscritti. (c) Quali modi sono eccitati dalle condizioni iniziali? (d) Quali modi sono osservabili nell uscita? Soluzioni. Il flusso di studenti tra i diversi anni di corso è illustrato dal seguente grafo: u(k) α x (k) α 2 x 2 (k) y(k) = α x (k) anno 2 anno anno β x (k) β 2 x 2 (k) β x (k) dal quale si ricavano le equazioni del sistema: x (k + ) = x (k) α x (k) β x (k) + u(k) = ( α β ) frazione di studenti che rimangono al o anno di corso x (k) + u(k) x 2 (k + ) = x 2 (k) α 2 x 2 (k) β 2 x 2 (k) + α x (k) = α x (k) + ( α 2 β 2 ) frazione di studenti che rimangono al 2 o anno di corso x 2 (k)

2 x (k + ) = x (k) α x (k) β x (k) + α 2 x 2 (k) = α 2 x 2 (k) + ( α β ) frazione di studenti che rimangono al o anno di corso y(k) = α x (k) x (k) Ricapitolando: x (k + ) = ( α β )x (k) + u(k) x 2 (k + ) = α x (k) + ( α 2 β 2 )x 2 (k) x (k + ) = α 2 x 2 (k) + ( α β )x (k) y(k) = α x (k) che sono le equazioni di un sistema lineare stazionario a tempo discreto in forma di spazio di stato. L ingresso è u(k), l uscita è y(k), mentre lo stato è x(k) = [ x (k) x 2 (k) x (k) ]. Per scrivere il sistema nella forma matriciale osserviamo che: x(k + ) = x (k + ) x 2 (k + ) x (k + ) x(k + ) = A x(k) + B u(k) = y(k) = C x(k) + D u(k) ( α β )x (k) + u(k) α x (k) + ( α 2 β 2 )x 2 (k) α 2 x 2 (k) + ( α β )x (k) α β = α α 2 β 2 α 2 {{ α β A = A x(k) + B u(k) y(k) = α x (k) = [ ] x (k) α x 2 (k) + [ ] u(k) x C (k) D = C x(k) + D u(k) x (k) x 2 (k) x (k) + B u(k) 2

3 Posto α = α 2 =, α = 5, β =, β 2 = 2 e β =, le matrici A e C del sistema diventano 2 A = α β α α 2 β 2 α 2 α β C = [ α ] = [ 5 ] = Calcolo degli autovalori di A La matrice A è in forma triangolare inferiore. Dunque, i suoi autovalori coincidono con gli elementi sulla diagonale: λ = con molteplicità algebrica µ = λ 2 = con molteplicità algebrica µ 2 = 2 Stabilità Dato che λ < e λ 2 <, il sistema è asontoticamente stabile. Modi del sistema per λ : < ν µ = ν = µ = per λ 2 : A λ 2 I = 2 rango(a λ 2 I) = 2 (perché ci sono due righe lin. indip.) ν 2 = dim(ker(a λ 2 I)) = n rango(a λ 2 I) = 2 = ν 2 = < 2 = µ 2 La matrice A non è dunque diagonalizzabile, ma solo jordanizzabile. Dalla teoria si conosce l esistenza di una matrice T non singolare (che non è ancora necessario calcolare) tale che λ à = T AT = λ 2 λ 2 e quindi à k = λ k λ k 2 kλ2 k λ k 2 = ( ( k ( ( k )

4 I modi del sistema sono Calcolo della risposta (, ( e k (. Non essendoci nuovi iscritti, risulta u(k) = k, e quindi la dinamica del sistema si riduce a quella di un sistema autonomo (cioè senza ingressi): x(k + ) = A x(k) y(k) = C x(k) L evoluzione del numero di laureati coincide dunque con la risposta libera in y(k) del sistema, data dall espressione y(k) = C A k x. La condizione iniziale x si ricava dai dati dell esercizio, essendo x () x = x() = x 2 () = 2. x () Ricordando che A k = T Ãk T, abbiamo: Occorre calcolare la matrice non singolare T. y(k) = (C T)Ãk (T x z ) = (C T)Ãk z Autovettore v relativo a λ Dobbiamo determinare una soluzione non nulla v del sistema omogeneo (A λ I)v =. Essendo 2 A λ I = 2 si ha 2 v = v = v 2 2 v = Posto arbitrariamente v =, risulta v 2 =. Quindi, v = v = v 2 = v

5 Autovettore v 2 relativo a λ 2 Dobbiamo determinare una soluzione non nulla v del sistema omogeneo (A λ 2 I)v =. Essendo si ha A λ 2 I = 2 = sempre verificata v + 2 v 2 = v = v 2 = v 2 = v 2 = Posto arbitrariamente v = (il sistema è in tre incognite, anche se v non compare nelle equazioni), abbiamo Autovettore generalizzato v relativo a λ 2 v 2 = Dobbiamo determinare una soluzione v del sistema non omogeneo (A λ 2 I)v = v 2. Si ha = sempre verificata v + 2 v 2 = v = v 2 = 2 27 v 2 = v 2 = Posto arbitrariamente v = (il sistema è in tre incognite, anche se v non compare nelle equazioni), abbiamo La matrice T si costruisce nel seguente modo: v = T = [ v v 2 v ] =

6 Per evitare di invertire T, il vettore z = T x si ricava risolvendo il sistema lineare T z = x. Si ha 2 27 z = z = z + z = 2 z = z + z 2 = z 2 = z = 5 Quindi, Ritornando al calcolo di y(k): z = 5 y(k) = (C T)Ãk z = [ ] 5 = [ 5 = 5 ] ( 75 ( ) k 5 ( ( ( ( 5 Sono stati indicati con alcuni elementi non necessari per il calcolo, viste le strutture di C e z. Modi eccitati da x Dall espressione dell evoluzione libera dello stato si ottiene x(k) = A k x = T Ãk T x = T Ãk z = [ ] λ k z v v 2 v λ k 2 kλ2 k z 2 λ k 2 z = z λ k v + (z 2 λ k 2 + z kλ2 k ) v 2 + z λ k 2 v Nel caso della x considerata, risulta z =, z 2 = 5 e z =. Dunque x(k) = z λ k v + z 2 λ k 2 v 2 = ( 5 ( I modi ( k ( ) e sono eccitati da x. Il modo k ( k ) non è eccitato da x.

7 Modi osservabili nell uscita Dall espressione dell uscita si ottiene y(k) = C x(k) = C [z λ k v + (z 2 λ k 2 + z kλ k 2 ) v 2 + z λ k 2 v ] = z λ k C v + (z 2 λ k 2 + z kλ k 2 )C v 2 + z λ k 2 C v Nel caso del sistema considerato risulta C v = 5, C v 2 = 5 e C v =. Dunque y(k) = z λ k C v + (z 2 λ k 2 + z kλ2 k )C v [ 2 = 5 ( ( ( ) ] k z + z 2 + z k e tutti i modi del sistema sono osservabili nell uscita al variare dei coefficienti z, z 2 e z. Nota. Nel caso della condizione iniziale x considerata, risulta z =, ed il modo k ( non compare nell espressione dell uscita. Tuttavia, il modo compare nell espressione dell uscita se si sceglie una differente condizione iniziale x per la quale risulti z, ed è quindi osservabile. 7