ENDOMORFISMI. ove B := (v 1,v 2,v 3 ). (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità algebriche e geometriche.

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1 ENDOMORFISMI Esercizi Esercizio 1 Siano v 1 := T (1, 1, 1, 0), v 2 := T (0, 1, 2, 1), v 3 := T (0, 0, 1, 1) Consideriamo V := L(v 1,v 2,v 3 ) R 4 e sia f End R (V ) associato alla matrice A := MB B (f) = ove B := (v 1,v 2,v 3 ) (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità algebriche e geometriche (2) Determinare gli autospazi di f e trovare, se esiste, una base F di V formata da autovettori di f In tal caso calcolare MF F(f) (3) Calcolare la matrice P di cambio base da B ad F Svolgimento Per calcolare gli autovalori di f dobbiamo calcolare il polinomio caratteristico p f (t) dif t 0 p f (t):= 1 t 2 0 t 2 =(t 1)(t 2)2 Dunque gli autovalori sono t 1 = 1 con molteplicità algebrica m a (1,f)=1et 2 = t 3 = 2 con m a (2,f) = 2 Si noti che a tale risultato si poteva anche giungere senza il calcolo del polinomio caratteristico in quanto la matrice MB B (f) è triangolare (inferiore): dunque gli autovalori sono esattamente gli elementi diagonali e la loro molteplicità algebrica è la molteplicit`con cui compaiono sulla diagonale Per determinare gli autospazi e le relative dimensioni, che sono per definizione le molteplicità geometriche degli autovalori, dobbiamo in generale risolvere i sistemi (t i I 3 MB B(f))T (x, y, z) =0,i=1,2,3, ove I 3 è la matrice identità 3 3 Nel nostro caso x y = 0 0, 0 0 x y = z 0 0 z 0 Typeset by AMS-TEX 1

2 2 ENDOMORFISMI Il primo sistema è equivalente a { x y =0 x z=0 che ha soluzione L( T (1, 1, 1)) Dunque l autospazio E f (1) di 1 è generato da v 0 := v 1 + v 2 + v 3 = T (1, 0, 2, 2) V : concludiamo che E f (1) = L( T (1, 0, 2, 2)) V eche la molteplicità geometrica di 1 è m g (1,f)=1=m a (1,f) Il secondo sistema è equivalente a x =0, che ha soluzione L( T (0, 1, 0), T (0, 0, 1)) Dunque l autospazio E f (2) di 2 è generato da v 2,v 3 V: concludiamo che E f (2) = L( T (0, 1, 2, 1), T (0, 0, 1, 1)) V eche la molteplicità geometrica di 2 è m g (2,f)=2=m a (1,f) Concludiamo che f è diagonalizzabile Si noti che, dalla teoria generale, E f (1) E f (2) = {0} Quindi i tre vettori v 0,v 2,v 3 sono linearmente indipendenti Poiché dim(v ) = 3 segue che essi formano una base F := (v 0,v 2,v 3 ) È semplice calcolare MF F (f) perché basta tener conto dell ordine dei vettori in F: infatti f(v 0 )=v 0,f(v 2 )=2v 2,f(v 3 )=2v 3, sicché risulta Ricordo, infine, che M F F (f) =(M F B(id V )) 1 M B B (f)m F B (id V ) Per definizione la matrice P del cambio di base da B a F è la matrice avente per colonne le coordinate dei vettori di F rispetto a B, cioè P = MB F (id V )= Esercizio 2 Verificare che A := è diagonalizzabile su R e calcolare tutte le matrici diagonali simili ad A, precisando, per ciascuna di esse, una matrice P che diagonalizza Svolgimento Per verificare che A è diagonalizzabile è sufficiente calcolare gli autovalori di A ed i relativi autospazi Il polinomio caratteristico di A è p A (t) = t t t+2 =(t 2)(t +2)2,

3 ENDOMORFISMI 3 da cui si ricava che gli autovalori sono t 1 =2,m a (2,f)=1,et 2 =t 3 = 2, m a ( 2,f) = 2 (si poteva procedere anche in maniera alternativa osservano che A è triangolare) Per calcolare gli autospazi risolviamo i sistemi x y z Il primo sistema equivale a = 0 0, 0 y + z =0 y=0 z= x y z sicché E f (2) = L( T (1, 0, 0)) Il secondo sistema è equivalente a 4x + y + z =0 = sicché E f ( 2) = L( T (1, 4, 0), T (1, 0, 4)) Quindi B := ( T (1, 0, 0), T (1, 4, 0), T (1, 0, 4)) è base di R 3 di autovettori di A, perciò A è diagonalizzabile Rispetto a B la matrice diagonale simile ad A e una matrice P che diagonalizza sono rispettivamente , Ogni matrice diagonale simile ad A ha sulla diagonale gli autovalori di A Per questo motivo possiamo elencare tutte le matrici diagonli simili ad A indicando, a fianco di ciascuna di esse, una matrice che diagonalizza oltre a quelle indicate sopra: , , , Esercizio 3 Siano dati in R 3 i vettori v 1 := T (0, 1, 1), v 2 := T (2, 0, 1), v 3 := T (1, 2, 0) (1) Verificare che esiste un unico f End R (R 3 ) avente v 1,v 2,v 3 come autovettori associati, rispettivamente, agli autovalori 0, 3, 6 f è diagonalizzabile? (2) Determinare ker(f) edim(f) (3) Determinare MB B (f) ove B è la base canonica di R3

4 4 ENDOMORFISMI Svolgimento In sostanza si richiede che f(v 1 )=0, f(v 2 )=3v 2, f(v 3 )=6v 3 Per dimostrare l esistenza e l unicità di un tale f basta allora verificare che C := (v 1,v 2,v 3 )è una base di R 3 Si noti che v 1,v 2,v 3 sono linearmente indipendenti: infatti R 3 R 3 2R R 3 R 3 +4R Per definizione f è diagonalizzabile perché esiste una base di R 3, precisamente C := (v 1,v 2,v 3 ), costituita da autovettori di f Risulta MC C (f) = Per calcolare ker(f) si deve risolvere il sistema x y = z 0 Il suo insieme delle soluzioni è generato dal vettore v avente componenti T (1, 0, 0) rispetto alla base C, dunque ker(f) =L(v 1 ) Invece im(f) è generato dai vettori aventi come coordinate rispetto alla base C le colonne della matrice MC C (f), dunque im(f) =L(0v 1, 3v 2, 6v 3 )=L(v 2,v 3 ) Infine si ricordi che Risulta che quindi M B B (f) =(M B C(id R 3)) 1 M C C (f)m B C (id R 3) MB(id C R 3)= , 1 2/3 1/3 4/3 MC B (id R 3)=(MB(id C R 3)) 1 = 2/3 1/3 1/3, 1/3 2/3 2/3 MB B (f) = /3 1/3 4/ /3 1/3 1/3 = /3 2/3 2/3 =

5 ENDOMORFISMI 5 Esercizio 4 Sia f l endomorfismo del C spazio vettoriale C 3 associato, mediante la base canonica, alla matrice A := 0 0 i 0 i 0 0 (1) Verificare che f è diagonalizzabile e determinare una base B di C 3 composta da autovettori di f (2) Verificare che f è un isomorfismo e determinare f 1 Determinare autovalori ed autospazi di f 1 Svolgimento Procediamo come negli esercizi 1e2 t 0 i p f (t)= 0 t =(t 1)(t i)(t + i) i 0 t Poiché abbiamo tre radici ciascuna con molteplicità 1 segue che f è diagonalizzabile (ed A è diagonalizzabile) Per determinare la basa B dobbiamo andare a risolvere i sistemi i i 0 1 x y = z i i 0 2, 2 0 i 0 x y = 0 0, i 0 2 z 0 x y z = Pertanto E f (1) = L( T (0, 1, 0)), E f (2) = L( T (1, 0, 1)), E f ( 2) = L( T (1, 0, 1)), dunque B := ( T (0, 1, 0), T (1, 0, 1), T (1, 0, 1)) È noto in generale che se f: C n C m è lineare allora f è isomorfismo se e solo, fissate basi C nel dominio e D nel codominio, si ha rk(md C (f)) = n = m Nel nostro caso sia B la base canonica di C 3 Allora MB B (f) =Ache è ridotta per righe e si vede facilmente che rk(a) =3 Inoltre è noto, in generale, che (MD C (f)) 1 = MC D(f 1 ) Quindi nel nostro caso f 1 è l applicazione lineare associata, rispetto alla base canonica, alla matrice B := A 1 = 0 0 i 0 i 0 0 Gli autovalori di f 1 sono t 1 := 1, t 2 := i, t 3 := i Gli autospazi relativi sono E f 1(1) := L( T (0, 1, 0)), E f 1(1/2) := L( T (1, 0, 1)), E f 1( 1/2) = L( T (1, 0, 1)) Infatti f(v) =λv se e solo se v = f 1 (f(v)) = f 1 (λv) =λf 1 (v) cioè se e solo se f 1 (v) =λ 1 v

6 6 ENDOMORFISMI Esercizio 5 Determinare f End R (R 2 ) con autovalori 0, 2 e tale che f( T (1, 0)) = T (2, 4) Svolgimento f ha due autovettori linearmente indipendenti, diciamo v 1 con autovalore 0 e v 2 con autovalore 2 Inoltre esistono costanti univocamente determinate α, β R tale che αv 1 + βv 2 = T (1, 0) Sia w 1 := αv 1 = T (a, b) ew 2 := βv 2 = T (c, d) Allora T (2, 4) = f( T (1, 0)) = f(αv 1 + βv 2 )=f(αv 1 )+f(βv 2 )=0+2βv 2 =2w 2, dunque, eguagliando le componenti,si ottiene il sistema a + c =1 b+d=0 2c=2 2d=4 da cui si ricava w 1 = T (0, 2), w 2 = T (1, 2) Calcoliamo MB B (f) ove B è la base canonica di R 2 Si ha e 1 := T (1, 0), sicché f(e 1 )= T (2, 4), mentre e 2 = w 1 /2, sicché f(e 2 )= T (0, 0), da cui M B B (f) = Esercizio 6 Trovare f End R (R 2 ) avente T (2, 2) ed T ( 1, 3) come autovettori e tale che f( T (0, 1)) = T (2, 1) Svolgimento Si ha che T (2, 2)+2 T ( 1,3)=8 T (0, 1) Dunque, indicati con α e con β gli autovalori relativi agli autovettori T (2, 2) ed T ( 1, 3) rispettivamente, possiamo scrivere T (16, 8)=8f( T (0, 1)) = f( T (2, 2)+2 T ( 1,3)) = α T (2, 2)+2β T ( 1,3) Ciò equivale al sistema { 2α 2β =16 2α+6β=8, che ha come unica soluzione (α, β) =(7, 1) Calcoliamo MB B(f) ove B è la base canonica di R2 Si ha e 1 := 3/4 T (1, 1) 1/4 T ( 1, 3) sicché f(e 1 ) = T (5, 6), mentre e 2 = 1/4 T (1, 1)+1/4 T ( 1,3), sicché f(e 2 )= T (2, 1), da cui MB B 5 2 (f) = 6 1

7 ENDOMORFISMI 7 Quiz Quiz 1 Sia f End R (R 2 ) avente T (1, 2) ed T (1, 3) come autovettori e tale che f( T (1, 0)) = T (4, 6) Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) f non è diagonalizzabile b) f ha autovalori 1, 2 c) p(t) =t 2 +3t+2è il polinomio caratteristico di f d) f( T (1, 0)) = T ( 1, 1) Svolgimento Iniziamo a studiare f Innanzi tutto T (1, 0) = 3 T (1, 2) 2 T (1, 3): indicando con α l autovalore relativo ad T (1, 2) e con β quello relativo a T (1, 3) si ha T (4, 6) = f( T (1, 0)) = f(3 T (1, 2) 2 T (1, 3))=3α T (1, 2) 2β T (1, 3) In componenti questo significa { 3α 2β =4 α β=1 Tale sistema ha unica soluzione (α, β) =(2,1), quindi p f (t) =(t 1)(t 2) L affermazione a) è falsa Infatti f ha due autovettori linearmente indipendenti, quindi esiste una base di R 2 formata da autovettori di f L affermazione b) è vera per quanto osservato preliminarmente L affermazione d) è falsa Infatti f( T (1, 0)) = T (4, 6) per ipotesi Quiz 2 Siano V un C spazio vettoriale di dimensione n, B := (v 1,,v n ) una sua base, f End C (V ) diagonalizzabile avente l autovalore 0 con molteplicità algebrica s e l autovalore λ 0 con molteplicità algebrica n s ed A =(a i,j ):=MB B(f) Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Per ogni j, c j := a 1,j v 1 + +a n,j v n non sono autovettori associati ad f b) f 3 = λ 2 f c) MB B (f) ha almeno una colonna nulla d) Per ogni i, r i := a i,1 v 1 + +a i,n v n sono autovettori associati ad f Svolgimento Esiste una matrice P (di cambio base) tale che Quindi P AP = D := 0 0 λ λ n volte {}}{ A n =(PDP 1 ) n = (PDP 1 )(PDP 1 )(PDP 1 )= =PD n P 1 = λ n 1 PDP 1 = λ n 1 A

8 8 ENDOMORFISMI L affermazione a) è falsa Infatti [c j ] B èilj esimo vettore colonna di A In particolare indicando con (e 1,,e n ) la base canonica di C n,[c j ] B =A j := Ae j Risulta [f(c j )] B = AA j = A(Ae j )=A 2 e j =λae j = λ[c j ] B Concludiamo che c j è autovettore di f L affermazione b) è vera da quanto osservato preliminarmente L affermazione c) è falsa Infatti, per esempio, sia V := C 4 e sia f definito rispetto alla base canonica da A := λ 0 0 λ A è diagonalizzabile ed i suoi autovalori sono 0 e 5 entrambi con molteplicità (algebrica e geometrica) 2, Ma A non ha nessuna colonna nulla L affermazione d) è falsa Infatti basta considerare il controesempio precedente Quiz 3 Sia f End R (R 4 ) avente gli autovalori 7, 8, 9 e sia g := f 2 Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) g è un endomorfismo diagonalizzabile b) g ha l autovalore 7 c) g ha l autovalore nullo d) g non è iniettivo Svolgimento Osserviamo che se E f ( 7) := L(v 1 ), E f (8) := L(v 2 ), E f (9) := L(v 3 ) sono gli autospazi di f allora g(v 1 )=f(f(v 1 ))=49v 1,g(v 2 )=f(f(v 2 ))=64v 2, g(v 3 )=f(f(v 3 ))=81v 3 L affermazione a) è vera Infatti, per quanto osservato sopra, g ha tre autovalori distinti a due a due, quindi è diagonalizzabile L affermazione b) è falsa Infatti gli autovalori di g sono esattamente 49, 64, 81 L affermazione c) è falsa Si veda quanto detto per b) L affermazione d) è falsa Infatti ricordo che, nel nostro caso dim(ker(g)) + dim(im(g)) = 3 Fissata la base B := (v 1,v 2,v 3 )dir 3 si ha che MB B (g) = che ha rango 3, perciò dim(im(g)) = 3 e, di conseguenza, dim(ker(g))=0 Quiz 4 Dato f: R 3 R 3 T (x, y, z) T (x + y, y + z,z + x),

9 quale delle seguenti affermazioni è vera? a) T (1, 0, 0) è un autovettore di f b) T (1, 1, 0) è un autovettore di f c) 2 è un autovalore di f d) 0 è un autovalore di f ENDOMORFISMI 9 Svolgimento L affermazione a) è falsa Infatti dalla definizione di f segue che f( T (1, 0, 0)) = T (1, 0, 1) L( T (1, 0, 0)) L affermazione b) è falsa Infatti dalla definizione di f segue che f( T (1, 1, 0)) = (2, 1, 1) L( T (1, 0, 0)) L affermazione c) è vera Infatti dalla definizione di f segue che la sua matrice rispetto alla base canonica B è sicché A := t 1 p f (t) = 0 t 1 1 t 1 =(t 1)3 1 Segue che p f (2)=1 1=0 L affermazione d) è falsa Infatti nel caso precedente si osserva che p f (0) = 1 1= 2 0 Quiz 5 Sia f End R (R 2 ) e si supponga che f abbia autovalori 1 e 1 Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) Se v è autovettore non nullo associato a 1 allora v è autovettore associato a 1 b) f n = id per ogni n 2 c) f è invertibile ed f 1 = f d) f non è invertibile Svolgimento Indichiamo con E f (1) e con E f ( 1) gli autospazi di 1adi 1 rispettivamente Ricordo che E f (1) E f ( 1) = {0} Quindi, scelti v 1 E f (1) e v 2 E f ( 1) non nulli, B := (v 1,v 2 )è una base di R 2 esiha M B B(f)= 0 1 L affermazione a) è falsa Infatti E f (1) è un sottospazio di R 2, pertanto v E f (1) L affermazione b) è falsa Infatti M B B (f n )=(M B B(f)) n = n 0 1

10 10 ENDOMORFISMI Se n 2è dispari chiaramente n 0 1 L affermazione c) è vera Infatti e risulta M B B (f) = M B B (f 1 )=(M B B(f)) 1 = = M B 0 1 B(id R 2) ( ) 0 1 L affermazione d) è falsa Si veda il caso c) = M B 0 1 B(f) Quiz 6 Sia f End R (R 2 ) Quale delle seguenti affermazioni è vera? a) f ha sempre autovalori b) Se f ha un autovalore allora ne ha due distinti c) Se f ha un autovalore allora è diagonalizzabile d) nessuna delle risposte precedenti è vera Svolgimento L affermazione a) è falsa Infatti si consideri, ad esempio, l endomorfismo che rispetto alla base canonica B di R 2 ha matrice A α := ( cos α ) sin α ± sin α cos α ove α kπ Allora p Aα (t) =t 2 2 cos αt + 1, il cui discriminante è cos 2 α 1 < 0 L affermazione b) è falsa Infatti si consideri l endomorfismo che rispetto a B di R 2 ha matrice λ 1 B λ := 0 λ Allora p Bλ (t) =(t λ) 2 e, quindi, l endomorfismo ha il solo autovalore λ L affermazione c) è falsa Infatti si consideri ancora un endomorfismo che rispetto a B di R 2 ha matrice B λ Allora E f (λ) =L( T (1, 0)) che ha dimensione 1 Quindi f non è diagonalizzabile Per esclusione l affermazione d) è vera