LEZIONE 13. v =α 1 v α i 1 v i 1 + α i v i = =α 1 v α i 1 v i 1 + α i (λ 1 v λ i 1 v i 1 ) =
|
|
- Serafina Marinelli
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 LEZIONE Il metodo degli scarti. Sia dato uno spazio vettoriale V su k = R, C e siano v 1,..., v n V. Quanto visto nella lezione precedente ci suggerisce il seguente algoritmo per stabilire se tali vettori sono linearmente indipendenti oppure dipendenti. (1) Se v 1 = 0 V allora i vettori sono linearmente dipendenti, mentre se v 1 0 V andiamo al passo (2). (i) Se, per qualche i 2, risulta v i L(v 1,..., v i 1 ) allora i vettori sono linearmente dipendenti, mentre se v i L(v 1,..., v i 1 ) andiamo al passo (i+1). Se v 1,..., v n non sono tutti nulli, (quindi V { 0 V }), con una piccola modifica si può costruire anche un algoritmo, detto metodo degli scarti, per ricavare da tale insieme un sottoinsieme di vettori che siano anche linearmente indipendenti. (1) Se v 1 = 0 V allora si scarta v 1 e si riparte dal vettore v 2, mentre se v 1 0 V andiamo al passo (2). (i) Se, per qualche i 2, risulta v i L(v 1,..., v i 1 )allora si scarta v i e si riparte dal vettore v i+1, mentre se v i L(v 1,..., v i 1 ) andiamo al passo (i+1). Ovviamente l algoritmo di cui sopra non si può applicare se V = { 0 V }. Si noti che, se ad un certo passo, risulta v i L(v 1,..., v i 1 ), allora scartando tale vettore v i non si cambia il sottospazio, cioè L(v 1,..., v i 1 ) = L(v 1,..., v i ). Infatti, chiaramente, ogni vettore che è combinazione lineare di v 1,..., v i 1 lo è anche di v 1,..., v i, cioè L(v 1,..., v i 1 ) L(v 1,..., v i ). Viceversa sia v i = λ 1 v λ i 1 v i 1 : se v L(v 1,..., v i ), si ha v =α 1 v α i 1 v i 1 + α i v i = =α 1 v α i 1 v i 1 + α i (λ 1 v λ i 1 v i 1 ) = =(α 1 + α i λ 1 )v (α i 1 + α i λ i 1 )v i 1 L(v 1,..., v i 1 ), dunque L(v 1,..., v i 1 ) L(v 1,..., v i ). In particolare, con il metodo degli scarti, ad ogni passo i vettori considerati possono eventualmente diminuire, ma il sottospazio che essi generano rimane invariato. L utilità di tale algoritmo sarà chiara in seguito, quando parleremo di basi. 1 Typeset by AMS-TEX
2 BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE Esempio In R 4 si considerino i vettori v 1 = (1, 2, 1, 1), v 2 = (2, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 0, 0), v 4 = (1, 1, 0, 0), v 5 = (4, 4, 0, 1). Vogliamo trovare un sottoinsieme di { v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } costituito da vettori linearmente indipendenti. A tale scopo applichiamo il metodo degli scarti. Innanzi tutto v 1 0 R 4, quindi possiamo considerarlo come primo elemento del sottoinsieme cercato e passare a v 2. Si ha v 2 L(v 1 ): infatti se esistesse α k tale che v 2 = αv 1, confrontando l ultima componente dei due vettori ricaveremmo α = 0, sicché dovrebbe essere v 2 = 0 R 4. Concludiamo che v 2 può essere considerato come secondo elemento del nostro sottoinsieme e passiamo a v 3. Chiaramente v 3 L(v 1, v 2 ) (in quanto v 3 = 0v 1 + 0v 2 ), quindi lo scartiamo e passiamo a v 4. Se fosse v 4 L(v 1, v 2 ) esisterebbero α 1, α 2 k tali che v 4 = α 1 v 1 + α 2 v 2 cioè α 1 (1, 2, 1, 1) + α 2 (2, 1, 1, 0) = (α 1 + 2α 2, 2α 1 + α 2, α 1 + α 2, α 1 ) = (1, 1, 0, 0). Confrontando l ultima componente dei due vettori segue α 1 = 0, dunque, dalla penultima, α 2 = 0, sicché dovrebbe essere v 4 = 0 R 4. Quindi v 4 può essere considerato come terzo elemento del nostro sottoinsieme e passiamo a v 5. In questo caso si verifica facilmente che v 5 L(v 1, v 2, v 4 ): infatti v 1 + v 2 + v 4 = v 5. Per tale motivo il vettore v 5 è da scartare. Concludiamo che il sottoinsieme cercato è { v 1, v 2, v 4 }. Si noti che e 1 = (1, 0, 0, 0) L(v 1, v 2, v 4 ): infatti la relazione α 1 (1, 2, 1, 1) + α 2 (2, 1, 1, 0) + α 3 (1, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0) si traduce nel sistema α 1 + 2α 2 + α 3 = 1 2α 1 + α 2 + α 3 = 0 α 1 + α 2 = 0 α 1 = 0 che è incompatibile. In particolare L(v 1, v 2, v 4 ) = L(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) R 4. Verificare che se si applica l algoritmo a partire dall ultimo vettore, si ottiene un altro sottoinsieme, sempre costituito da tre vettori: non cambia invece il sottospazio generato che è sempre L(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) Basi di uno spazio vettoriale. Abbiamo introdotto in precedenza le nozioni di generatori e di lineare indipendenza. Vogliamo ora confrontare tali nozioni. A tale scopo sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano v 1,..., v n V generatori linearmente indipendenti.
3 LEZIONE 13 3 Allora se v V è un qualsiasi vettore esistono scalari α 1,..., α n k tali che v = α 1 v α n v n, dunque v 1,..., v n, v sono vettori linearmente dipendenti dalla Proposizione D altro canto, per la medesima Proposizione, nessuno dei vettori v i è combinazione lineare dei rimanenti, quindi i rimanenti vettori non sono più generatori di V. In particolare, rispetto alla relazione di inclusione, gli insiemi di generatori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale finitamente generato sono i sottoinsiemi minimali di generatori ed i sottoinsiemi massimali di vettori linearmente indipendenti. Per questo motivo (e per molti altri che saranno chiari nel seguito) tali sottoinsiemi rivestono una particolare importanza e meritano un nome particolare. Definizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e siano v 1,..., v n V. L insieme ordinato B = (v 1,..., v n ) si dice base di V se: (B1) V = L(v 1,..., v n ), cioè v 1,..., v n sono generatori di V ; (B2) v 1,..., v n sono linearmente indipendenti. Chiaramente, perché si possa parlare di base secondo la definizione data, lo spazio vettoriale V deve essere finitamente generato e V { 0 V }. Un importante proprietà dei sistemi di generatori linearmente indipendenti, quindi anche delle basi, è la seguente. Proposizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C. Fissata una base B = (v 1,..., v n ) di V, per ogni v V esiste unico (α 1,..., α n ) k n tale che v = α 1 v α n v n. Dimostrazione. Poiché V = L(v 1,..., v n ) esiste una n upla (α 1,..., α n ) k n tale che v = α 1 v α n v n esiste. Per dimostrarne l unicità supponiamo che sia anche v = β 1 v β n v n per qualche altro (β 1,..., β n ) k n. Allora α 1 v α n v n = v = β 1 v β n v n, dunque (α 1 β 1 )v (α n β n )v n = 0 V : poiché v 1,..., v n sono linearmente indipendenti allora α 1 β 1 = = α n β n = 0, cioè α i = β i per ogni i = 1,..., n. Definizione Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C. Se B = (v 1,..., v n ) è una base di V definiamo componenti di v V rispetto alla base B l unico elemento [v] B = (α 1,..., α n ) k n tale che v = α 1 v α n v n. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e sia B = (v 1,..., v n ) una sua base. Chiaramente [0 V ] B = 0 k n k n. Siano poi v, v V con [v ] B = (α 1,..., α n) k n, [v ] B = (α 1,..., α n) k n :
4 BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE poiché ciò significa che risulta anche v = α 1v α nv n, v = α 1v α nv n, v + v = α 1v α nv n + α 1v α nv n = (α 1 + α 1)v (α n + α n)v n ovvero [v + v ] B = (α 1 + α 1,..., α n + α n) k n. Concludiamo che le componenti rispetto ad una base della somma di due vettori sono la somma delle componenti rispetto alla stessa base dei due vettori. In maniera simile il lettore verifichi per esercizio che se λ k e v V allora [λv] B = λ[v] B. Per capire meglio il concetto di base e componenti di un vettore rispetto ad essa prendiamo in considerazione alcuni esempi. Esempio Fissato nello spazio ordinario un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz, in V 3 (O) rimangono definiti i tre vettori ı, j, k e la terna ordinata B = ( ı, j, k) è una base di V 3 (O) in forza degli Esempi e Esempio In R 3 si considerino i vettori e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) e e 3 = (0, 0, 1). Allora C = (e 1, e 2, e 3 ) è una base di V dagli Esempi e Tale base viene detta base canonica di R 3. Se (x, y, z) R 3 chiaramente [(x, y, z)] C = (x, y, z). Invece i vettori e 1, e 2 non possono formare in nessun ordine una base di R 3, poiché, pur essendo linearmente indipendenti, non sono generatori (si veda l Esempio ): infatti L(e 1, e 2 ) = { (x, y, z) R 3 z = 0 }. Ciò significa che B = (e 1, e 2 ) è una base del sottospazio L(e 1, e 2 ) R 3. Poiché si ha (x, y, 0) = xe 1 + ye 2 allora [(x, y, 0)] B = (x, y) R 2. Ovviamente anche B = (e 2, e 1 ) è base dello stesso sottospazio ma si osservi che [(x, y, 0)] B = (y, x) R 2. Si noti che anche i vettori e 1, e 2 e e = (1, 1, 0) sono generatori dello stesso sottospazio L(e 1, e 2 ) R 3, poiché si ha (x, y, 0) = xe 1 + ye 2 + 0e = (x y)e 1 + 0e 2 + ye = 0e 1 + (y x)e 2 + xe, ma in nessun ordine possono formare una base di tale sottospazio poiché sono linearmente dipendenti: infatti e = e 1 + e 2.
5 LEZIONE 13 5 Esempio Più in generale sia k = R, C. Allora l insieme ordinato C = (e 1,..., e n ) di vettori di k n è una base, detta base canonica di k n. Poiché, scelto x = (x 1,..., x n ) k n, si ha x 1 (1, 0, 0, 0,..., 0, 0)+ x 2 (0, 1, 0, 0,..., 0, 0)+ x 3 (0, 0, 1, 0,..., 0, 0)+. x n (0, 0, 0, 0,..., 0, 1) = risulta x = x 1 e x n e n, quindi (x 1, x 2, x 3, x 4,..., x n 1, x n ) [(x 1,..., x n )] C = (x 1,..., x n ) k n. Esempio In C 2,2 si considerino i vettori E 1,1 = 1 0, E 0 0 1,2 = 0 1, E 0 0 2,1 = 0 0, E 1 0 2,2 = Allora l insieme ordinato B = (E 1,1, E 1,2, E 2,1, E 2,2 ) è base di k 2,2 (si vedano gli Esempi e ). Se a1,1 a A = 1,2 a 2,1 a 2,2 risulta [A] B = (a 1,1, a 1,2, a 2,1, a 2,2 ) C 4, cioè la base B permette di stirare gli elementi di C 2,2 trasformandoli in elementi di C 4. Più in generale in k m,n l insieme ordinato B = (E i,j 1 i m, 1 j n) costituisce una base e se A = (a i,j ) 1 i m si ha [A] B = t (a i,j 1 i m, 1 j n). 1 j n In particolare, il metodo degli scarti, ci permette di dimostrare la seguente Proposizione Sia V { 0 V } uno spazio vettoriale su k = R, C e siano v 1,..., v n V. i) Se v 1,..., v n sono generatori (quindi V è finitamente generato) allora esiste una base B di V i cui elementi sono vettori dell insieme { v 1,..., v n }: in particolare esistono basi di V.
6 BASI DI UNO SPAZIO VETTORIALE ii) Se V è finitamente generato e v 1,..., v n sono linearmente indipendenti allora esiste una base B di V i cui primi n vettori sono v 1,..., v n. Dimostrazione. L affermazione i) è conseguenza immediata del metodo degli scarti partendo da un insieme di generatori che possiamo supporre non nulli poiché V { 0 V }. Si consideri ii). Sappiamo che esiste un sistema di generatori di V (V è finitamente generato), diciamo V = L(u 1,..., u m ). Chiaramente V = L(u 1,..., u m ) L(v 1,..., v n, u 1,..., u m ) V quindi anche v 1,..., v n, u 1,..., u m sono generatori di V : se applichiamo il metodo degli scarti all insieme (ordinato) di generatori v 1,..., v n, u 1,..., u m nessuno dei primi n vettori può essere scartato (perché nessuno di loro dipende da quelli che lo precedono essendo i vettori v 1,..., v n linearmente indipendenti). Quindi l insieme che si ottiene dopo aver applicato il metodo degli scarti a v 1,..., v n, u 1,..., u m contiene tutti i vettori v 1,..., v n e, per quanto osservato al paragrafo precedente, è ancora un sistema di generatori di V = L(v 1,..., v n, u 1,..., u m ): fissato un ordine otteniamo allora una base contenente i vettori dati. Molto spesso si riassume l affermazione i) dicendo che da ogni insieme di generatori si può estrarre una base, l affermazione ii) dicendo che ogni insieme di vettori linearmente indipendenti può essere completato a base. Esempio In R 4 si considerino i vettori v 1 = (1, 2, 1, 1), v 2 = (2, 1, 1, 0), v 3 = (0, 0, 0, 0), v 4 = (1, 1, 0, 0), v 5 = (4, 4, 0, 1). Vogliamo trovare un sottoinsieme di { v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 } costituito da vettori linearmente indipendenti. Applicando il metodo degli scarti abbiamo costruito nell Esempio la base B = (v 1, v 2, v 4 ) di L(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5 ) R 4. In particolare i vettori v 1, v 2, v 4 sono linearmente indipendenti in R 4, dunque è possibile completarli a base. Si consideri la base canonica C = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) di R 4 e si applichi il metodo degli scarti all insieme ordinato v 1, v 2, v 4, e 1, e 2, e 3, e 4 : verifichiamo che e 1 L(v 1, v 2, v 4 ). Infatti abbiamo visto nell esempio che l equazione vettoriale α 1 (1, 2, 1, 1) + α 2 (2, 1, 1, 0) + α 3 (1, 1, 0, 0) = (1, 0, 0, 0) non ha soluzione. Concludiamo che esiste una base di R 4 i cui primi elementi sono v 1, v 2, v 4, e 1. Osserviamo poi che e 2, e 3, e 4 L(v 1, v 2, v 4, e 1 ): infatti e 2 = 0(1, 2, 1, 1) + 0(2, 1, 1, 0) + (1, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0), e 3 = 0(1, 2, 1, 1) + (2, 1, 1, 0) (1, 1, 0, 0) (1, 0, 0, 0), e 4 = (1, 2, 1, 1) + (2, 1, 1, 0) 3(1, 1, 0, 0) + 0(1, 0, 0, 0), quindi B = (v 1, v 2, v 4, e 1 ) è base di R 4 ed è diversa dalla base canonica C = (e 1, e 2, e 3, e 4 ).
LEZIONE 12. v = α 1 v α n v n =
LEZIONE 12 12.1. Combinazioni lineari. Definizione 12.1.1. Sia V uno spazio vettoriale su k = R, C e v 1,..., v n V vettori fissati. Un vettore v V si dice combinazione lineare di v 1,..., v n se esistono
DettagliLEZIONE 11. s V : V V V (v 1, v 2 ) v 1 + v 2 = s V (v 1, v 2 ), p V : k V V. per cui valgono:
LEZIONE 11 11.1. Spazi vettoriali ed esempi. La nozione di spazio vettoriale generalizza quanto visto nelle lezioni precedenti: l insieme k m,n delle matrici m n a coefficienti in k = R, C, l insieme V
DettagliSpazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari
Spazi Vettoriali ed Applicazioni Lineari 1. Sottospazi Definizione. Sia V uno spazio vettoriale sul corpo C. Un sottoinsieme non vuoto W di V è un sottospazio vettoriale di V se è chiuso rispetto alla
DettagliNOTE DI ALGEBRA LINEARE v = a 1 v a n v n, w = b 1 v b n v n
NOTE DI ALGEBRA LINEARE 2- MM 9 NOVEMBRE 2 Combinazioni lineari e generatori Sia K un campo e V uno spazio vettoriale su K Siano v,, v n vettori in V Definizione Un vettore v V si dice combinazione lineare
DettagliLEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g
LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere
DettagliSPAZI VETTORIALI. Esercizi Esercizio 1. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi:
SPAZI VETTORIALI Esercizi Esercizio. Sia V := R 3. Stabilire quale dei seguenti sottoinsiemi di V sono suoi sottospazi: V := { (a, a, a) V a R }, V 2 := { (a, b, a) V a, b R }, V 3 := { (a, 2a, a + b)
DettagliLEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),
LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con
DettagliLEZIONE 15. Esempio L applicazione f: R 3 R 2. è lineare. Infatti si ha che se α R, (x, y, z) R 3 risulta
LEZIONE 15 15.1. Applicazioni lineari ed esempi. Definizione 15.1.1. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Un applicazione f: V W si dice k lineare se: (AL1) per ogni v 1, v 2 V si ha f(v 1 + v 2 )
DettagliLEZIONE 5. AX = 0 m,1.
LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare,
Dettagli1 Indipendenza lineare e scrittura unica
Geometria Lingotto. LeLing7: Indipendenza lineare, basi e dimensione. Ārgomenti svolti: Indipendenza lineare e scrittura unica. Basi e dimensione. Coordinate. Ēsercizi consigliati: Geoling. Indipendenza
DettagliDefinizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im
APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo
DettagliLEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.
LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b
DettagliLEZIONE 9. Figura 9.1.1
LEZIONE 9 9.1. Equazioni cartesiane di piani. Abbiamo visto come rappresentare parametricamente un piano. Un altro interessante metodo di rappresentazione di un piano nello spazio è tramite la sua equazione
DettagliElementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali
Elementi di Algebra Lineare Spazi Vettoriali Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 37 index Spazi vettoriali
DettagliDIAGONALIZZAZIONE. M(f) =
DIAGONALIZZAZIONE Esercizi Esercizio 1. Sia f End(R 3 ) associato alla matrice M(f) = 0 1 2 0. 2 (1) Determinare gli autovalori di f e le relative molteplicità. (2) Determinare gli autospazi di f e trovare,
DettagliParte 4. Spazi vettoriali
Parte 4. Spazi vettoriali A. Savo Appunti del Corso di Geometria 23-4 Indice delle sezioni Spazi vettoriali, 2 Prime proprietà, 3 3 Dipendenza e indipendenza lineare, 4 4 Generatori, 6 5 Basi, 8 6 Sottospazi,
DettagliMatematica per Analisi dei Dati,
Matematica per Analisi dei Dati, 09.03.09 1. Sia n in intero positivo fissato, e sia V un sottospazio di R n. Il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in V viene detto dimensione di V, e viene
DettagliSpazi vettoriali euclidei.
Spazi vettoriali euclidei Prodotto scalare, lunghezza e ortogonalità in R n Consideriamo lo spazio vettoriale R n = { =,,, n R}, n con la somma fra vettori e il prodotto di un vettore per uno scalare definiti
DettagliLEZIONE 8. k e w = wx ı + w y j + w z. k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero
LEZINE 8 8.1. Prodotto scalare. Dati i vettori geometrici v = v x ı + v y j + v z k e w = wx ı + j + k di R 3 definiamo prodotto scalare di v e w il numero v, w = ( v x v y v z ) w x = v x + v y + v z.
Dettaglix1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 nelle tre incognite x 1, x 2, x 3. Possiamo risolvere l equazione ricavando l incognita x 1 x 1 = 2x 2 3x 3 2r 1 3r 2 x 2 x 3
Matematica II -..9 Spazio delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.. Consideriamo l equazione lineare omogenea nelle tre incognite x, x, x 3. x + x + 3x 3 = Possiamo risolvere l equazione ricavando
DettagliLEZIONE 30. Se x = 1 si dice che x è un versore. Se poi y = (y 1,..., y n ) R n poniamo. Ricordiamo che vale la cosiddetta disuguaglianza triangolare
LEZIONE 30 30.1. Insiemi aperti e chiusi in R n. Nel corso di Analisi sono state introdotte alcune nozioni di topologia di R, come la nozione di aperto, di chiuso, di punto d accumulazione. Lo scopo di
DettagliCapitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI
Capitolo IV SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI È ben noto che in VO 3 si possono considerare strutture più ricche di quella di spazio vettoriale; si pensi in particolare all operazioni di prodotto scalare di vettori.
DettagliSistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14
Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari 2 / 14 Studieremo sistemi lineari costituiti da m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): cioè a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n
DettagliLEZIONE 5. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 5 5.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano A 2 e nello spazio A 3 affini (cioè in cui valgono
DettagliParte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale
Parte 8. Prodotto scalare, teorema spettrale A. Savo Appunti del Corso di Geometria 3-4 Indice delle sezioni Prodotto scalare in R n, Basi ortonormali, 4 3 Algoritmo di Gram-Schmidt, 7 4 Matrici ortogonali,
DettagliComplemento ortogonale e proiezioni
Complemento ortogonale e proiezioni Dicembre 9 Complemento ortogonale di un sottospazio Sie E un sottospazio di R n Definiamo il complemento ortogonale di E come l insieme dei vettori di R n ortogonali
Dettagli0.1 Spazi Euclidei in generale
0.1. SPAZI EUCLIDEI IN GENERALE 1 0.1 Spazi Euclidei in generale Sia V uno spazio vettoriale definito su R. Diremo, estendendo una definizione data in precedenza, che V è uno spazio vettoriale euclideo
DettagliLEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m
LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta
DettagliLEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3
LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.
DettagliLEZIONE 8. Figura 8.1.1
LEZIONE 8 8.1. Equazioni parametriche di rette. In questo paragrafo iniziamo ad applicare quanto spiegato sui vettori geometrici per dare una descrizione delle rette nel piano e nello spazio. Sia r S 3
DettagliAppunti su Indipendenza Lineare di Vettori
Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo
DettagliEsercizi svolti. delle matrici
Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
Dettaglii) la somma e il prodotto godano delle proprietà associativa, commutativa e distributiva;
1 Spazi vettoriali 11 Definizioni ed assiomi Definizione 11 Un campo è un insieme K dotato di una operazione somma K K K, (x, y) x + y e di una operazione prodotto K K K, (x, y) xy tali che i) la somma
DettagliGeometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61
Geometria e Topologia I (U1-4) 2006-mag-10 61 (15.9) Teorema. Consideriamo il piano affine. Se A A 2 (K) è un punto e r una retta che non passa per A, allora esiste unica la retta per A che non interseca
DettagliSOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n
SPAZI E SOTTOSPAZI 1 SOTTOSPAZI E OPERAZIONI IN SPAZI DIVERSI DA R n Spazi di matrici. Spazi di polinomi. Generatori, dipendenza e indipendenza lineare, basi e dimensione. Intersezione e somma di sottospazi,
DettagliLEZIONE 9. k, tenendo conto delle formule che permettono di calcolare il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale, otteniamo
LEZIONE 9 9.1. Prodotto misto. Siano dati i tre vettori geometrici u, v, w V 3 (O) definiamo prodotto misto di u, v e w il numero u, v w. Fissiamo un sistema di riferimento O ı j k in S 3. Se u = u x ı
DettagliSPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE A =
SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE Esercizi Esercizio. Nello spazio euclideo standard (R 2,, ) sia data la matrice 2 3 A = 3 2 () Determinare una base rispetto alla quale A sia la matrice di un endomorfismo
DettagliParte 10. Geometria dello spazio I
Parte 10. Geometria dello spazio I A. Savo Appunti del Corso di Geometria 2013-14 Indice delle sezioni 1 Lo spazio vettoriale V 3 O, 1 2 Dipendenza e indipendenza lineare in V 3 O, 2 3 Sistema di riferimento
DettagliLezioni di Algebra Lineare I. Le nozioni di base sugli spazi vettoriali
Lezioni di Algebra Lineare I. Le nozioni di base sugli spazi vettoriali Versione settembre 8 Contenuto. Combinazioni lineari di vettori. Sottospazi vettoriali 3. Sottospazio vettoriale generato da un insieme
DettagliAnalisi dei dati corso integrato - Algebra lineare,
Analisi dei dati corso integrato - Algebra lineare, 050308-2 1 Ortogonalita nel piano Sia fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico, con origine in O Tranne avviso contrario,
DettagliAppunti di ALGEBRA LINEARE
Appunti di ALGEBRA LINEARE Corso di Laurea in Chimica A. A. 2009/200 Capitolo SPAZI VETTORIALI In matematica si incontrano spesso insiemi di elementi su cui sono definite delle operazioni che godono di
DettagliLezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari
Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari In questa lezione ci dedicheremo a studiare a fondo quali proprietà della matrice dei coefficienti di un sistema (e della
DettagliLEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX
LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni
DettagliPagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI
Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore
DettagliParte 5. Sottospazi. A. Savo Appunti del Corso di Geometria
Parte 5. Sottospazi A. Savo Appunti del Corso di Geometria 03-4 Indice delle sezioni Sottospazi di R n, Equazioni di un sottospazio di R n, 3 3 Sottospazio intersezione, 6 4 Sottospazio somma, 8 5 Formula
Dettagli1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali?
Geometria I lezione del 30 settembre 2013 Presentazione del corso. Nozioni e notazioni: concetti primitivi di insieme, elemento ed appartenenza. Insiemi numerici: i numeri naturali ℕ, gli interi ℤ, i numeri
DettagliLEZIONE 1 C =
LEZIONE 1 11 Matrici a coefficienti in R Definizione 111 Siano m, n Z positivi Una matrice m n a coefficienti in R è un insieme di mn numeri reali disposti su m righe ed n colonne circondata da parentesi
DettagliAppunti di Geometria - 3
Appunti di Geometria - 3 Samuele Mongodi - smongodi@snsit Cambi di base nel duale Richiami Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K e sia V il suo duale Supponiamo di avere fissate due basi
DettagliRiassumiamo le proprietà dei numeri reali da noi utilizzate nel corso di Geometria.
Capitolo 2 Campi 2.1 Introduzione Studiamo ora i campi. Essi sono una generalizzazione dell insieme R dei numeri reali con le operazioni di addizione e di moltiplicazione. Nel secondo paragrafo ricordiamo
DettagliRETTE E PIANI. ove h R. Determinare i valori di h per cui (1) r h e α sono incidenti ed, in tal caso, determinare l angolo ϑ h da essi formato;
RETTE E PIANI Esercizi Esercizio 1. Nello spazio con riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si considerino la retta r h ed il piano α rispettivamente di equazioni x = 1 + t r h : y = 1 t α : x + y + z
DettagliESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI. Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda.
ESERCIZI VARI su SPAZI VETTORIALI Si giustifichi la risposta ad ogni esercizio ( o parte di esercizio ) posto in forma di domanda. Esercizio. Dimostrare che i vettori in R sono linearmente indipendenti
DettagliLEZIONE 6. Typeset by AMS-TEX
LEZINE 6 6.1. Vettori geometrici. In questo lezione inizieremo a studiare enti geometrici ben noti quali punti, segmenti (orientati), rette, piani nel piano S 2 e nello spazio S 3 ordinari (cioè in cui
DettagliMatematica per Analisi dei Dati,
Matematica per Analisi dei Dati, 230209 1 Spazio vettoriale R n Sia n un intero positivo fissato Lo spazio vettoriale R n e l insieme delle n ple ordinate di numeri reali, che rappresenteremo sempre come
DettagliTrapani. Dispensa di Geometria, x 1 x 2.x n. (x 1 y 1 ) (x n y n ) 2.
2006 Trapani Dispensa di Geometria, 1 Distanze Siano P e Q punti di R n con P di coordinate allora la distanza tra P e Q e P Q = x 1 x 2 x n (x 1 y 1 ) 2 + (x n y n ) 2 e Q di coordinate Siano Σ 1 e Σ
DettagliElementi di Algebra Lineare. Spazio Vettoriale (lineare)
Elementi di Algebra Lineare Spazio Vettoriale (lineare) Uno spazio vettoriale su un corpo F è una quadrupla (X, F, +, ) costituita da: un insieme di elementi X, detti vettori, un corpo F, i cui elementi
DettagliProdotto scalare e norma
Capitolo 7 Prodotto scalare e norma Riprendiamo ora lo studio dei vettori da un punto di vista più geometrico. È noto, per esempio dalla Fisica, che spesso è comodo visualizzare un vettore del piano o
DettagliLe matrici. Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1.
Le matrici Sia K un campo con elemento neutro dell addizione 0 ed elemento neutro della moltiplicazione 1. Siano m, n N\{0}. Una matrice m n a coefficienti in K è una tabella di m n elementi di K disposti
DettagliLEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1
LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,
DettagliTutoraggio di Algebra Lineare e Geometria. Correzione del tema d'esame del 28/2/2006
Tutoraggio di Algebra Lineare e Geometria Correzione del tema d'esame del 8//6 Esercizio. Si considerino in R 4 i vettori : v =, v =, v = / / a) si dica se tali vettori sono linearemente indipendenti e
DettagliCorso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali
.. Corso di Geometria Lezione II: Spazi vettoriali F. Baldassarri 8 ottobre 2013 Definizione di spazio vettoriale Uno spazio vettoriale su un campo C (ad es. Q,R,C,{0, 1}) è un insieme V dotato di due
DettagliLEZIONE 27. C = { P = (x, y) x 2 /a 2 y 2 /b 2 = 1 }. C si dice iperbole di semiassi a e b (in forma canonica). L equazione
LEZIONE 27 27.1. Ellisse, iperbole, parabola. Nelle prossime lezioni illustreremo come la teoria delle forme quadratiche e della riduzione ortogonale si applichi allo studio di alcuni oggetti geometrici
DettagliESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA
ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E COMPLEMENTI DI GEOMETRIA Foglio 4 Esempio. Sia V = P 5 (R) lo spazio dei polinomi di grado strettamente minore di 5. Si considerino i seguenti sottoinsiemi di V (i) Dimostrare
DettagliLEZIONE i i 3
LEZIONE 5 51 Determinanti In questo lezione affronteremo da un punto di vista prettamente operativo la nozione di determinante, descrivendone le proprietà ed i metodi di calcolo, senza entrare nei dettagli
DettagliSpazi affini e combinazioni affini.
Spazi affini e combinazioni affini. Morfismi affini. Giorgio Ottaviani Abstract Introduciamo il concetto di combinazione affine in uno spazio affine, e in base a questo, ne caratterizziamo i sottospazi.
DettagliLEZIONE 24. a 1,1 x 2 + a 2,2 y 2 + a 3,3 z 2 + 2a 1,2 xy + 2a 1,3 xz+ + 2a 2,3 yz + 2a 1,4 x + 2a 2,4 y + 2a 3,4 z + a 4,4 = 0 (24.1.
LEZIONE 24 24.1. Riduione delle quadriche a forma canonica. Fissiamo nello spaio un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio q(x, y, ) di grado 2 in x, y, a meno di costanti moltiplicative
DettagliSoluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente
1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F
DettagliArgomenti Capitolo 1 Richiami
Argomenti Capitolo 1 Richiami L insieme dei numeri reali R si rappresenta geometricamente con l insieme dei punti di una retta orientata su cui sia stato fissato un punto 0 e un segmento unitario. L insieme
Dettaglia + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d
SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,
DettagliRegistro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.
Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5
DettagliProdotto scalare e ortogonalità
Prodotto scalare e ortogonalità 12 Novembre 1 Il prodotto scalare 1.1 Definizione Possiamo estendere la definizione di prodotto scalare, già data per i vettori del piano, ai vettori dello spazio. Siano
DettagliProdotto interno (prodotto scalare definito positivo)
Contenuto Prodotto scalare. Lunghezza, ortogonalità. Sistemi e basi ortonormali. Somma diretta: V = U U. Proiezioni. Teorema di Pitagora, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Angoli. Federico Lastaria. Analisi
DettagliLEZIONE 10. S(C,ρ) Figura 10.1
LEZIONE 10 10.1. Sfere nello spazio. In questa lezione studieremo alcuni oggetti geometrici non lineari, circonferenze e sfere nello spazio A 3. Poiché le proprietà delle circonferenze nel piano sono del
DettagliVETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO ,
VETTORI E GEOMETRIA ANALITICA 1 VETTORI NELLO SPAZIO ORDINARIO Vettori ordinari ed operazioni. Dipendenza ed indipendenza lineare, basi. Prodotto scalare, proiezioni, angoli. Prodotto vettoriale e prodotto
DettagliESERCIZI sui VETTORI
ESERCIZI sui VETTORI 1. Calcolare la somma di v 1 (2, 3) e v 2 (1, 4). 2. Calcolare la somma di v 1 (1, 5, 4) e v 2 (6, 8, 2). 3. Calcolare il prodotto di α = 2 e v 1 (1, 4). 4. Calcolare il prodotto di
DettagliLEZIONE 7. k definiamo prodotto scalare di v e w il numero. = v x w x + v y w y + v z w z. w z
LEZINE 7 7.1. Prodotto scalare. Fissiamo un sistema di riferimento ı j k in S 3. Dati i ettori geometrici = ı + y j + k e w = w ı + j + k definiamo prodotto scalare di e w il numero, w = ( y ) w = + y
DettagliSottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.
Politecnico di Torino. Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Sottospazi. Generatori. Confrontando sottospazi: intersezione.
DettagliLa definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni
La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni Lorenzo Lami Definizione 1 (Filtro). Dato un insieme X, si dice filtro su X una collezione F di sottoinsiemi di X tali che: X F; / F; A F, B
DettagliEsame di Geometria - 9 CFU (Appello del 14 gennaio A)
Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 4 gennaio 24 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Si considerino le rette s : { x x 2 2x 3 = 2 3x x 2 =, { x + x s 2 : 2 x 3 = x 2 =.. Stabilire
Dettagli4 Autovettori e autovalori
4 Autovettori e autovalori 41 Cambiamenti di base Sia V uno spazio vettoriale tale che dim V n Si è visto in sezione 12 che uno spazio vettoriale ammette basi distinte, ma tutte con la medesima cardinalità
DettagliLa lunghezza dei vettori e legata alle operazioni sui vettori nel modo seguente: Consideriamo due vettori v, w e il vettore v + w loro somma.
Matematica II, 20.2.. Lunghezza di un vettore nel piano Consideriamo il piano vettoriale geometrico P O. Scelto un segmento come unita, possiamo parlare di lunghezza di un vettore v P O rispetto a tale
DettagliLezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli
Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da
DettagliCorso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test 1: soluzioni
Corso di Geometria Ing. Informatica e Automatica Test : soluzioni k Esercizio Data la matrice A = k dipendente dal parametro k, si consideri il k sistema lineare omogeneo AX =, con X = x x. Determinare
DettagliPer le risposte utilizza gli spazi predisposti. Quando richiesto, il procedimento va esposto brevemente, ma in maniera comprensibile.
COGNOME............................... NOME..................................... Punti ottenuti Esame di geometria Scrivi cognome e nome negli spazi predisposti in ciascuno dei tre fogli. Per ogni domanda
DettagliESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007
ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala
Dettaglimisura. Adesso, ad un arbitrario punto P dello spazio associamo una terna di numeri reali x
4. Geometria di R 3. Questo paragrafo è molto simile al paragrafo : tratta infatti delle proprietà geometriche elementari dello spazio R 3. Per assegnare delle coordinate nello spazio, fissiamo innanzitutto
DettagliCapitolo XI GEOMETRIA LINEARE AFFINE EUCLIDEA
Capitolo XI GEOMETRIA LINEARE AFFINE EUCLIDEA 1. Spazi affini euclidei Se, in luogo dello spazio affine costruito a partire dallo spazio vettoriale R n, si considera quello associato allo spazio euclideo
DettagliAnalisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette
Analisi Matematica 1 e Matematica 1 Geometria Analitica: Rette Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Contenuti Nel Piano
DettagliAppunti di Algebra Lineare. Distanze
Appunti di Algebra Lineare Distanze 1 Indice 1 Distanze nel piano 1.1 Distanza punto-punto................................... 1. Distanza punto-retta.................................... 3 1.3 Distanza
Dettagli0.1 Coordinate in uno spazio vettoriale
.1. COORDINATE IN UNO SPAZIO VETTORIALE 1.1 Coordinate in uno spazio vettoriale Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n costruito sul campo K. D ora in poi, ogni volta che sia fissata una base
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliSi consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite
3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x
DettagliREGISTRO DELLE LEZIONI
UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007
DettagliSPAZI E SOTTOSPAZI / ESERCIZI SVOLTI
M.GUIDA, S.ROLANDO, 2016 1 SPAZI E SOTTOSPAZI / ESERCIZI SVOLTI BrevielementiditeoriasuglispazivettorialiR n, R m,n, R [x], R n [x] verranno richiamati via via, a commento del testo di alcuni esercizi.
Dettaglix 1 Fig.1 Il punto P = P =
Geometria di R 2 In questo paragrafo discutiamo le proprietà geometriche elementari del piano Per avere a disposizione delle coordinate nel piano, fissiamo un punto, che chiamiamo l origine Scegliamo poi
DettagliIntersezione e somma di sottospazi vettoriali
Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria
Dettagli1 Cambiamenti di riferimento nel piano
1 Cambiamenti di riferimento nel piano Siano date due basi ortonormali ordinate di V : B = ( i, j) e B = ( i, j ) e supponiamo che i = a i + b j j = c i + d j allora per un generico vettore v V abbiamo
Dettagli1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2
Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA A del 27 giugno 2011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra
DettagliEsercizi 2. Soluzioni. 1. Siano dati i vettori 1 1, 1 R 3.
Esercizi. Soluzioni.. Siano dati i vettori,, R. (i) Far vedere che formano una base di R. (ii) Ortonormalizzarla col metodo di Gram-Schmidt. (iii) Calcolare le coordinate del vettore X = 5 Sol. (i) Usiamo
Dettagli1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n
2 Trapani Dispensa di Geometria, Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n Un sottospazio affine Σ di R n e il traslato di un sottospazio vettoriale. Cioe esiste un sottospazio vettoriale
Dettagli