La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni

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1 La definizione di Ultrafiltro e la regolarità per partizioni Lorenzo Lami Definizione 1 (Filtro). Dato un insieme X, si dice filtro su X una collezione F di sottoinsiemi di X tali che: X F; / F; A F, B A B F; A F, B F A B F. Definizione 2 (Ultrafiltro). Un filtro F su X si dice ultrafiltro se non è contenuto propriamente in alcun filtro su X. Proposizione 3. Data S una famiglia di sottoinsiemi di X con la proprietà dell intersezione finita, cioè tale che n 1 A 1,, A n S n A i i=1 Allora esiste ed è unico il più piccolo filtro che la contiene, detto filtro generato da S. Lemma 4. Ogni filtro può essere esteso ad un ultrafiltro. Teorema 5. Dato un filtro F su X, le seguenti affermazioni sono equivalenti: (1) F è un ultrafiltro. (2) A X accade che A F oppure A c F. (3) Se A F e A = B 1 B n, allora i {1,..., n} tale che B i F. 1

2 Dimostrazione. (1) (2) Supponiamo per assurdo che esista A F tale che A, A c / F; cerchiamo di estendere F. Verifichiamo che F {A} gode della proprietà dell intersezione finita: dati B 1,..., B n F si ha che B 1 B n A = B A per un opportuno B F perché F è chiuso per intersezione. Se esistesse B F tale che A B =, allora dal fatto che B A c seguirebbe A c F, assurdo contro l ipotesi. Infine F {A} gode della proprietà dell intersezione finita, quindi genera un filtro G che estende propriamente F, assurdo contro la massimalità di F. (2) (3) Dato A F e A = B 1 B n+1, supponiamo per assurdo che i B i / F. Applicando la proprietà (2) otterrei che B c 1,..., B c n F, da cui segue B c 1 B c n F; ma ( B c 1 B c n) A = A c A = F, (3) (1) Se per assurdo F non fosse massimale, allora esisterebbe un filtro G tale che G F, in particolare esisterebbe un opportuno insieme A X tale che A G ma A / F. Ma per la proprietà (3) per X = A A c ne seguirebbe che A c F, da cui A c G e quindi A A c = G, Osservazione 6. In linea di principio non c è alcun motivo di imporre, nella proprietà (3), che l unione debba essere disgiunta né che la lunghezza dell unione debba essere fissata (è implicito n 1). Tuttavia, dal fatto che due insiemi disgiunti non possono appartenere al medesimo filtro, ne segue che nella proprietà (3) se l unione è disgiunta la tesi può essere rafforzata asserendo che esista un unico insieme della partizione appartenente al filtro. Osservazione 7. Per controllare che un dato filtro sia effetivamente un ultrafiltro basta verificare che se A F e A = B C, allora B F oppure C F. Questa condizione è infatti implicata banalmente dalla proprietà (3) ed implica la proprietà (2) prendendo A = X. L idea intuitiva che un ultrafiltro specifichi in un dato insieme quali sottoinsiemi siano grandi e quali piccoli può essere resa precisa nel modo seguente: 2

3 Definizione 8. Una misura binaria finitamente additiva µ su di un insieme X è una funzione che soddisfa le seguenti condizioni: µ : (X) {0, 1} µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B) µ(x) = 1 µ( ) = 0 Proposizione 9. U è un ultrafiltro su un insieme X se e solo se esiste µ misura binaria finitamente additiva su X tale che A U µ(a) = 1. Dimostrazione. Data una misura binaria finitamente additiva µ, consideriamo la collezione U µ = {A A X, µ(a) = 1}. Dimostriamo che U µ è un filtro. Innanzitutto per definizione di µ si ha che X U µ sia che / U µ ; inoltre se A U µ e B A dall additività di µ ne consegue che µ(b) = µ(a) + µ(b A) µ(a) = 1, cioè che U µ è chiuso per sovrainsiemi. Analogamente, sfruttando l additività si ottiene che se A, B U µ allora µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B); grazie alla chiusura per sovrainsiemi abbiamo µ(a B) = 1, quindi l uguaglianza precedente si può riscrivere come µ(a B) = = 1. Verificato che U µ è un filtro, dimostriamo che è un ultrafiltro sfruttando la caratterizzazione (2): dato A X, abbiamo che 1 = µ(x) = µ(a A c ) = µ(a) + µ(a c ) + µ( ) = µ(a) + µ(a c ) Dal momento che µ assume valori solo 0 e 1, esattamente uno dei due insiemi A, A c appartiene a U µ, come richiesto. Viceversa, dato un ultrafiltro U definiamo: { 1 se A U µ U (A) = 0 se A / U Verifichiamo che µ U è una misura binaria finitamente additiva: dalla definizione di filtro segue che µ U (X) = 1 e µ U ( ) = 0; per verificare l additività invece basta controllare che l uguaglianza µ U (A B) = µ U (A) + µ U (B) µ U (A B) sia verificata per tutti i (quattro) casi possibili a seconda che A e B appartengano o meno ad U. Tenendo presente la proprietà A B U 3

4 A U B U e la proprietà A B U A U B U, abbiamo: 1 = se A, B U 1 = se A U, B / U 1 = se B U, A / U 0 = se A, B / U Quindi µ U è una misura binaria finitamente additiva. Vi è anche un altra definizione di ultrafiltro, legata alla proprietà di regolarità per partizioni: Proposizione 10. Dato X insieme e una sua collezione di parti U (X), le seguenti affermazioni sono equivalenti: (4) U è un ultrafiltro (5) n 1 X = A 1 A n! i {1,..., n} tale che A i U. (6) X = A 1 A 2 A 3! i {1, 2, 3} tale che A i U. Dimostrazione. (4) (5) Segue dal Teorema 5 e dall Osservazione 6. (5) (6) Basta prendere n = 3. (6) (4) Se consideriamo la partizione X = X, dal fatto che esiste un unico indice tale che il relativo insieme appartiene ad U ne segue che l unica possibilità è X U, / U. Alla luce di ciò, considerando X = A A c, segue anche che U soddisfa la proprietà (2) del Teorema 5. Per dimostrare la chiusura per sovrainsiemi, prendiamo B A U e consideriamo la partizione X = A (B \A) (X \B); dal momento che A U, segue che X \ B / U che per la proprietà (2) implica B U. Vale inoltre se due insiemi F, G U allora F G : se così non fosse, da F G = seguirebbe F G c, quindi G c U grazie alla chiusura per sovrainsiemi, quindi anche G / U per la proprietà (2), 4

5 Infine, dimostriamo che U è chiuso per intersezione. Assumendo A, B U, andiamo a considerare la partizione X = (X \B) (B \A) (A B). Dal fatto che B U segue X \ B / U, per cui per ottenere la chiusura per intersezione ci resta soltanto da escludere il caso B\A U. Se fosse B \ A U, avrei due elementi di U con intersezione vuota, asssurdo. Osservazione 11. Nella Proposizione 10 non è possibile diminuire ulteriormente il numero di elementi della partizione presente nella proprietà (6). Una collezione V di parti di X tale per cui ogni partizione X = Y Z esattamente uno fra Y e Z appartiene a V può infatti non essere neanche un filtro: basta prendere X = {0, 1, 2} e V = {{0, 1, 2}, {0, 1}, {0, 2}, {1, 2}}. Definizione 12 (Regolarità debole per partizioni). Una famiglia S di parti di X si dice debolmente regolare per partizioni se X = A 1 A n i {1,..., n} tale che A i S. Definizione 13 (Regolarità per partizioni). Una famiglia S di parti di X si dice regolare per partizioni se B S B = A 1 A n i {1,..., n} tale che A i S. Proposizione 14. Dato un insieme X e una famiglia di parti S (X), vale che: S è debolmente regolare per partizioni U ultrafiltro tale che U S. Osservazione 15. La Proposizione 10 fa da ponte fra le famiglie regolari per partizioni e quelle debolmente regolari per partizioni. Infatti se per una famiglia S accade che l indice i nella Definizione 12 è sempre unico a prescindere dalla partizione scelta, quella famiglia è un ultrafiltro (ed è quindi anche regolare per partizioni). 5