A = e 1 = e 2 + e 3, e 2 = e 1 + e 3, e 3 = e 1, ; e 3 =

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1 aa -6 Soluzioni Esercizi Applicazioni lineari Sia data l applicazione lineare F : R R, F X A X, dove A i Sia {e, e, e } la base canonica di R Far vedere che i vettori e e + e, e e + e, e e, formano una base per R ii Calcolare la matrice di F rispetto alla base {e, e, e } in dominio e codominio Sol i Le coordinate dei vettori e, e, e rispetto alla base e, e, e sono e e e Per dimostrare che {e, e, e } è una base di R basta mostrare che la matrice ha rango tre, il che si verifica facilmente mediante l algoritmo di Gauss-Jordan ii Chiamiamo B {e, e, e } e consideriamo il diagramma R A, C C B,C Ã? R, C C C,B Se C B,C è la matrice del cambiamento di base dalla base B alla bace canonica C quello facile da scrivere, la matrice cercata à è data da à C C,B AC B,C C B,C AC B,C

2 Siano v, v vettori in R i Far vedere che v, v, v formano una base per R Sia A : R R l applicazione che permuta i vettori v i, v Av v, Av v, Av v ii Calcolare la matrice di A rispetto alla base v, v, v iii Calcolare la matrice di A rispetto alla base canonica di R iv Calcolare la matrice di A rispetto alla base canonica di R Sol i Basta mostrare che la matrice B ha rango tre, il che si vede facilmente utilizzando l algoritmo di Gauss-Jordan ii Si tratta della matrice à iii Consideriamo il diagramma dove B indica la base v, v, v Se B R, C C C,B A? à R, C C B,C C B,C, la matrice cercata A è data da A BÃB 7 4 è la matrice del cambiamento di base iv Si ha Ma e dunque BÃB BÃB BÃB BÃB Bà B à BÃB B B BB

3 Determinare la matrice del cambiamento di base C B,C : R R e la matrice del cambiamento di base C C,B : R R, dove C è la base canonica e B è data di volta in volta da B {, }, B {, }, B { Sol Per i cambiamenti di base C B,C si tratta delle matrici Per i cambiamenti di base C C,B si tratta delle loro inverse, vale a dire, } 4 Determinare la matrice del cambiamento di base C B,C : R R e la matrice del cambiamento di base C C,B : R R, dove C è la base canonica e B è data di volta in volta da B {,, }, B {,, }, B {,, } Sol Per i cambiamenti di base C B,C si tratta delle matrici Per i cambiamenti di base C C,B si tratta delle loro inverse, vale a dire 4 Sia V { x x R : x + x + x } x e sia A : R R l applicazione data da A x x x x i Dimostrare che Ax V per ogni x V Sia A V l applicazione A ristretta a V ii Trovare una base per V iii Calcolare la matrice rappresentativa della applicazione A V x x rispetto a questa base

4 Sol i Basta dimostrare che AB V, dove B è una qualunque base di V Dall equazione x + x + x ricaviamo che i vettori di V sono tutti e soli i vettori di R della forma x x x x x x x x da cui otteniamo che una base di V è B, Calcoliamo A + x, che appartiene a V in quanto le sue coordinate soddisfano l equazione che definisce il sottospazio V In modo analogo si osserva che A appartiene al sottospazio V ii Abbiamo già risolto questo problema al punto i iii Si ha A + A + dunque la matrice che rappresenta A V nella base B è la matrice 6 Sia V R 4 il sottospazio dato da x { x V x + x : x + x 4 x x + x x + x 4 x 4 sia F : R 4 R 4 l applicazione lineare X AX, dove A i Dimostrare che se x V, allora F x V ii Determinare una base per V e calcolare la matrice rappresentativa dell applicazione F ristretta a V F V : V V 4

5 rispetto a questa base iii Calcolare il nucleo e l immagine della applicazione F V Sol i Basta dimostrare che AB V, dove B è una qualunque base di V Dalle equazioni che definiscono V si ricava facilmente che una base di V è B, Calcoliamo F, che appartiene a V in quanto le sue coordinate soddisfano l equazione che definisce il sottospazio V Il vettore F appartiene chiaramente al sottospazio V ii Si ha F + F + dunque la matrice che rappresenta F V nella base B è la matrice iii Il generico vettore di V si scrive come α + β Il nucleo di F V è caratterizzato dall equazione α β ovvero α e β qualsiasi Ne segue che ker F V span

6 In termini delle coordinate α rispetto alla base B, l immagine di F β V span {, } span {} è data da Dunque ImF V span R4 7 Sia A la matrice n n data da A i Sia e, e,, e n la base standard di R n Far vedere che Ae, Ae i e i, per ogni i > ii Calcolare A iii Per ogni n > calcolare A n e determinarne il nucleo e l immagine Sol i E immediato dalla definizione di matrice associata ad un applicazione linerae rispetto ad una coppia di basi ii Si ha A iii Si vede facilmente che A n dunque ker A n R n e ImA n {} 8 Sia M,, R lo spazio vettoriale delle matrici reali Sia F : M,, R M,, R, M t M l applicazione che associa ad una matrice la sua trasposta i Far vedere che F è lineare ii Scegliere una base in M,, R e determinare la matrice rappresentativa di F rispetto a quella base in dominio e codominio 6

7 Sol i Per definizione di trasposta, a b Pertanto, se A a b e A c d c d a c b d In modo analogo si vede che a b a c F c d b d, allora a + a F A + A F b + b a + a c + c c + c d + d b + b d + d a c + a b F a b + F F A b d c d c d + F A λa λb λa λc F λ A F λc λd λb λd a c λ λf A b d Dunque F è un applicazione lineare ii Scegliamo come base la base canonica di M, R: E E E E Rispetto a questa base, l applicazione F è rappresentata dalla matrice 7