3) Stimatore dello stato di ordine ridotto :

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1 Capitolo. TEORIA DEI SISTEMI 5. 3) Stimatore dello stato di ordine ridotto : Gli stimatori asintotici dello stato di ordine intero forniscono una informazione ridondante, in quanto non tengono conto che alcune variabili di stato possono essere ottenute direttamente dalla misura delle uscite. Gli stimatori di ordine ridotto costituiscono uno schema modificato dello stimatore in catena chiusa in cui si stimano solo le componenti del vettore di stato che non sono immediatamente accessibili. Procedimento di calcolo di per uno stimatore di ordine ridotto: - Si suppone che tutte le p righe della matrice C siano linearmente indipendenti. - Si costruisce una matrice di trasformazione P le cui ultime p righe coincidano con la matrice C: P = V x = P x C e dove V è una sottomatrice di ordine (n p) n che ha il solo vincolo di rendere invertibile la matrice P. - Il cambiamento di base permette di far coincidere le p uscite del sistema con le ultime p componenti del nuovo vettore di stato x: x = P x = V x = Vx w C Cx y - Rispetto alla nuova base le matrici che descrivono il sistema diventano: P AP = A, P B = B, CP = C - Le nuove equazioni di stato del sistema sono: x(k +) = = [ I p ] w(k +) y(k +) w(k) - Svolgendo i calcoli si ottiene: A, A,2 A 2, A 2,2 w(k) + B B 2 w(k +) = A, w(k)+a,2 +B u(k) y(k +) = A 2, w(k)+a 2,2 +B 2 u(k) u(k)

2 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ Premoltiplicando la seconda equazione per una matrice L di dimensioni (n p) p e sommandola alla precedente si ottiene: w(k +)+Ly(k +) = (A, +LA 2, )w(k)+ +(A,2 +LA 2,2 )+(B +LB 2 )u(k) - Sommando e sottraendo a secondo membro il termine (A, +LA 2, )Ly si ha: v(k +) {}}{ w(k +)+Ly(k +) = (A, +LA 2, )[ v(k) {}}{ w(k)+l]+ +(A,2 +LA 2,2 A, L LA 2, L)+(B +LB 2 )u(k) - Ponendo v(k) = w(k)+l, l ultima relazione diventa l equazione di stato di un sistema con vettore di stato v(k) di dimensione n p: v(k +) = (A, +LA 2, )v(k)+ +(A,2 +LA 2,2 A, L LA 2, L)+ +(B +LB 2 )u(k) - Per tale sistema si costruisce uno stimatore a catena aperta di ordine n p. La dinamica dell errore di stima e(k) per tale sistema è fissata dagli autovalori della matrice (A, +LA 2, ): e(k +) = v(k +) ˆv(k +) = (A, +LA 2, )e(k) Lo stimatore asintotico di ordine ridotto ha quindi la seguente struttura: ˆx = P ˆv(k) L dove ˆv(k) si determina come uscita del seguente sistema dinamico: ˆv(k +) = (A, +LA 2, )ˆv(k)+ +(A,2 +LA 2,2 A, L LA 2, L)+ +(B +LB 2 )u(k) Gli autovalori dello stimatore di ordine ridotto possono essere fissati ad arbitrio con una scelta opportuna di L se e solo se la coppia (A,C) è osservabile, cioè se e solo se la coppia (A,,A 2, ) è osservabile.

3 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.3 La stima dello stato x(k) si ottiene da v(k): v(k) = w(k)+l ŵ(k) = ˆv(k) L ˆx(k) = Rappresentazione grafica di uno stimatore di ordine ridotto: ŵ(k) u(k) x(k + ) x(k) B z I n A C B +LB 2 A,2 +LA 2,2 A, L LA 2, L ˆv(k + ) z I n ˆv(k) L Stimatore A, +LA 2, ŵ(k) P ˆx(k)

4 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.4 Esempio. Dato il seguente sistema lineare stazionario continuo 2 ẋ(t) = 2 x(t)+.5.5 y(t) = [ ] x(t).5 u(t) determinare, se è possibile, il vettore L di un osservatore asintotico di ordine pieno ed il vettore L 2 di un osservatore asintotico di ordine ridotto che posizionino in il maggior numero possibile di autovalori. (Sol. - Osservatore di ordine pieno). La matrice di osservabilità è : O = 4 deto = 8 Il sistema è completamente osservabile per cui è possibile costruire sia un osservatore di ordine pieno che di ordine ridotto. La struttura dell osservatore di ordine pieno è la seguente: ˆx(t) = (A+L C)ˆx+Bu(t) L y(t) Il vettore L può essere calcolato, per esempio, utilizzando la formula: L = p(a)(o ) q = (A+I) 3 (O ) q = = essendo p(λ) = (λ+) 3 il polinomio caratteristico desiderato. (Sol2. - Osservatore di ordine ridotto). Una matrice di trasformazione P che porti il vettore C ad assumere la forma C = [ ] è la seguente: P = V C P = Il sistema trasformato [ x(t) = Ā x(t)+bu(t), y(t) = Cx(t)] assume la forma x(t)= y(t)= [ x(t)+ ] x(t).5 u(t)

5 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.5 cioè x(t)= A A 2 A 2 A 22 x(t)+ B B 2 u(t) y(t)= [ O ] x(t) La matrice L 2 deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A + L 2 A 2 siano posizionati entrambi in - L 2 = l l 2, A +L 2 A 2 = 2l 2 2l 2 Il polinomio caratteristico della matrice A + L 2 A 2 viene posto uguale al polinomio desiderato p(s) = (s+) 2 : (s) = s(s++2l 2 ) 2 4l = s 2 +(+2l 2 )s 2 4l = s 2 +2s+ = p(s) La soluzione cercata è quindi la seguente: L 2 =.75.5 La stessa soluzione si ottiene applicando la formula di Ackerman: L 2 = (A +I 2 ) 2 = 2 A 2 A 2 A L osservatore di ordine ridotto è quindi il seguente ˆx = P ˆv(t) L 2y(t) y(t) dove ˆv(t) = [A +L 2 A 2 ]ˆv(t)+[A 2 +L 2 A 22 A L 2 L 2 A 2 L 2 ]y(t)+[b +L 2 B 2 ]u(t) e cioè ˆv(t) = ˆv(t)+.5 y(t)+.5 u(t)

6 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.6 Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare stazionario tempo-continuo [ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t), y(t) = Cx(t)] ẋ(t) = y(t) = [ ] x(t) x(t)+ u(t) dove x(t) = x (t) x 2 (t) x 3 (t) Determinare, se è possibile, la matrice L di un osservatore asintotico dello stato di ordine ridotto che posizioni in 2 il maggior numero possibile di autovalori dell osservatore. Soluzione. Il sistema dato non è completamente osservabile: O = 2 2, deto = Esisterà un osservatore dello stato solo se la parte non osservabile è stabile. Il progetto di un osservatore di ordine ridotto parte dal calcolo una matrice di trasformazione P che porti la matrice C ad assumere la forma C = [ ] P = V C Il sistema trasformato che si ottiene assume la forma x(t)= y(t)= [ ] x(t) x(t)+ u(t) P = x(t)= A A 2 A 2 A 22 y(t)= [ O I ] x(t) x(t)+ B B 2 u(t) La parte non osservabile non è sicuramente quella legata alla terza componente x 3 del vettore di stato perchè coincidendo con l uscita è sicuramente osservabile. La parte non osservabile è sicuramente interna al sotto sistema (A, A 2 ). Se infatti si calcola la matrice di osservabilità di questa sottoparte, si trova una matrice singolare: O = A 2 A 2 A Il sottosistema (A, A 2 ) può essere portato in forma standard di osservabilità utilizzando la seguente trasformazione x = P 2 x : P 2 = P 2 x (t)= 2 ȳ(t)= [ 2 ] x (t) x (t)+ ū(t)

7 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.7 La parte non osservabile è stabile (è caratterizzata dall autovalore λ = ) per cui è possibileprocedereallasintesidell osservatorediordineridotto. Ilcoefficientel cheposizionein 2 l autovalore della matrice ā +l c (dove ā = e c = 2) si calcola immediatamente: ā +l c = 2, +2l = 2, l =.5 La matrice L dell osservatore di ordine ridotto che posiziona in l unico autovalore della matrice A +LA 2 che è possibile spostare si calcola nel modo seguente: L = P 2 l α l 2 α.5+α α dove α è un grado di libertà che è possibile scegliere a piacere. Posto α =, un possibile osservatore di ordine ridotto è quindi il seguente dove ˆx(t) = P ˆv(t) Ly(t) y(t) P = ˆv(t).5 y(t) y(t) ˆv(t) = [A +LA 2 ]ˆv(t)+[A 2 +LA 22 A L LA 2 L]y(t)+[B +LB 2 ]u(t) e cioè ˆv(t) = ˆv(t) y(t)+.5 u(t) Esempio. Si consideri il seguente sistema lineare, stazionario discreto [x(k + ) = Ax(k)+bu(k), = Cx(k)] x(k +) = = 2 x(k)+ x(k) = c c 2 u(k) x(k) dove x(k) = = x (k) x 2 (k) x 3 (k) y (k) y 2 (k) dove x(k) è il vettore di stato, il vettore di uscita e u(k) il segnale d ingresso. a) Utilizzando l ingresso u(k) e la sola seconda uscita y 2 (k), si costruisca, se possibile, uno stimatore dello stato di ordine ridotto di tipo dead-beat. b) Si risolva lo stesso problema del punto precedente (stimatore dead-beat di ordine ridotto) utilizzando l ingresso u(k) ed entrambe le uscite del sistema.

8 Capitolo 5. OSSERVABILITÀ E RICOSTRUIBILITÀ 5.8 Soluzione. a) La matrice di osservabilità del sistema rispetto alla seconda uscita è O = 3 Il sistema è completamente osservabile per cui è possibile costruire un osservatore di ordine ridotto. D altra parte il sistema è già nella forma più idonea per la sintesi dell osservatore di ordine ridotto A = A A 2 A 2 A 22 2 La matrice L deve essere scelta in modo che gli autovalori della matrice A +LA 2 siano entrambi nulli L = l A l +LA 2 = 2 Il polinomio caratteristico della matrice A +LA 2 è +l 2+l 2 (z) = z(z 2 l 2 )+ l = z 2 (2+l 2 )z + l 2 L osservatore di ordine ridotto è quindi il seguente L =, ˆx(k) = dove 2 ˆv(k) L ˆv(k +) = [A +LA 2 ]ˆv(k)+[A 2 +LA 22 A L LA 2 L]+[B +LB 2 ]u(k) e cioè v(k +) = v(k) u(k) b) Anche nel caso in cui si utilizzino entrambe le uscite, il sistema è già nella forma opportuna per la sintesi dell osservatore di ordine ridotto A = A A 2 A 2 A 22 2 La matrice L viene scelta in modo che l unico autovalore della matrice A +LA 2 sia nullo L = [ l l 2 ] La soluzione cercata è quindi A +LA 2 = [ ] + [ ] l l 2 = [ ] l L = [ l 2 ] l 2 R Posto l 2 =, l osservatore di ordine ridotto è quindi il seguente: ˆx = v(k) v(k +) = [ ]