{ 1 per t = 0 u(t) = 0 per t 0. 2) Quali sono la funzione di trasferimento e la dimensione di Σ 2? 2 = (F 2 + g 2 K, g 2, H 2 )?

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1 Teoria dei Sistemi - 9 cfu - L.M. in Ingegneria dell Automazione Compito del 4/2/26 Esercizio I sistemi discreti con un ingresso e un uscita Σ = (F, g, H ) e Σ 2 = (F 2, g 2, H 2 ) sono entrambi raggiungibili e osservabili. La funzione di trasferimento di Σ è w (z) = z z L uscita forzata di Σ 2 corrispondente all ingresso { per t = u(t) = per t è y(t) = t, per t =,, 2, 3,... ) Qual è la dimensione di Σ? (giustificare la risposta) 2) Quali sono la funzione di trasferimento e la dimensione di Σ 2? 3) Al variare della matrice di retroazione K, quali sono le dimensioni massime del sottosistema non osservabile di Σ (K) = (F + g K, g, H ) e del sottosistema non osservabile di Σ (K) 2 = (F 2 + g 2 K, g 2, H 2 )? 4) Si studi la raggiungibilità del parallelo di Σ e Σ 2, della serie di Σ seguito da Σ 2 e della serie di Σ 2 seguito di Σ ) La funzione di trasferimento w (z) = z 2 z è in forma irriducibile, con denominatore di grado 2. Quindi la dimensione della sua realizzazione minima Σ è 2. 2) La funzione di trasferimento di Σ 2 è la serie formale associata alla risposta impulsiva: w 2 (z) = z + 2z 2 + 3z = [ z + z 2 + z ] + z [ z + z 2 + z ] + z 2 [ z + z 2 + z ] +... = [ + z + z ] [ z + z 2 + z ] = z [ + z + z ] [ 2 = z = z (z ) 2 z Poiche w 2 (z) in forma irriducibile ha denominatore di grado 2, la dimensione della sua realizzazione minima Σ 2 è 2. 3) Al variare di K, le funzioni di trasferimento dei sistemi retroazionati Σ (K) e Σ (K) 2 sono rispettivamente w (K) (z) = ] 2 (z λ )(z λ 2 ), w(k) 2 (z) = z (z λ 3 )(z λ 4 ) con λ e λ 2 (risp. λ 3 e λ 4 )numeri reali arbitrari, o numeri complessi formanti un arbitraria coppia coniugata. Scegliendo λ 3 =, la forma irriducibile di w (K) 2 (z) ha denominatore di grado, quindi Σ (K) 2 è realizzazione raggiungibile di dimensione 2 di una funzione di trasferimento che ammette realizzazione minima di dimensione. In tale situazione, il sottospazio non osservabile di Σ (K) 2 ha dimensione 2-

2 2 =. Ovviamente non è possibile scegliere K in modo che il sottospazio non osservabile di Σ (K) 2 abbia dimensione 2. Qualunque sia K, la forma irriducibile di w (K) (z) ha denominatore di grado 2, quindi la sua realizzazione minima ha dimensione 2 e Σ (K) è sempre osservabile. 4) F ha autovalori e, F 2 ha come autovalore doppio. Il parallelo di Σ e di Σ 2 non è raggiungibile, poiché gli spettri dei due sistemi non sono disgiunti. Poiché si ha H adj(zi F g =, det(zi F ) = (z )z, H 2 adj(zi F 2 g 2 = z, det(zi F 2 ) = (z ) 2 la coprimalità di H adj(zi F g e di det(zi F 2 ) implica che la serie di Σ seguito da Σ 2 sia raggiungibile, mentre la serie di Σ 2 seguito da Σ non è raggiungibile perché H 2 adj(zi F 2 g 2 e det(zi F ) hanno in comune il fattore z.

3 3 Esercizio 2 Si consideri il sistema Σ = (F, G, ) = ( 2 3 4,, ) ) Se ne studino la raggiungibilità e gli indici di Kronecker. 2) Si determini, se possibile, una matrice di retroazione K 3 in modo che il polinomio minimo di F + GK 3 sia (z + ) 3. 3) Si determinino, se possibile, una matrice di retroazione K 2 in modo che il polinomio minimo di F + GK 2 sia (z + ) 2 e una matrice di retroazione K in modo che il polinomio minimo di F + GK sia (z + ). 4) Se il sistema è a tempo discreto, quali dei sistemi retroazionati ottenuti ai punti (2) e (3) sono semplicemente stabili? i) Il sistema è in forma canonica di controllo multivariabile, F =, G = quindi è raggiungibile. Gli indici di Kronecker, ordinati in ordine decrescente, sono κ = 2, κ 2 = 2) La matrice F + GK 3 deve risultare ciclica. Si può risolvere il problema sfruttando il fatto che la coppia (F, g ) è raggiungibile (o che è raggiungibile la coppia (F, g 2 )) e quindi la ciclicità di F si mantiene per reazione su un ingresso. Basta determinare una matrice K R 3 tale che det(zi F g K) = (z + ) 3 e porre K K 3 =. È del tutto privo di senso applicare il lemma di Heymann per rendere il sistema raggiungibile con un solo ingresso, dato che lo è già. Semmai, e in alternativa al procedimento sopra indicato, si può trarre profitto dal fatto che il sistema è in forma canonica multivariabile e che quindi, al variare di K 3, la seconda e la terza riga di F + GK 3 possono essere modificate arbitrariamente. Basterà scegliere K 3 = 4 4, per ottenere la matrice compagna F + GK 3 =, 3 3 che ha polinomio minimo e caratteristico (z + ) 3. 3) Per il teorema di Rosenbrock, il grado del polinomio minimo di F + GK non può essere minore di κ = 2, quindi K non esiste. Esiste invece K 2, che si può ottenere facendo in modo che F + GK 2 sia una forma di Jordan in cui un miniblocco abbia polinomio minimo (e caratteristico) (z + ) 2 e l altro miniblocco polinomio z +. Basterà scegliere K 2 = 2

4 4 per ottenere che ha polinomio minimo (z + ) 2. F + GK 2 = 2 4) Sia F + GK 3 che F + GK 2 comprendono un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di, relativo all autovalore. Quindi in entrambi i casi il sistema retroazionato non è semplicemente stabile

5 5 Esercizio 3 Si consideri il sistema continuo Σ di equazioni ẋ(t) = x(t) + u(t) = F x(t) + gu(t) y(t) = [ ] x(t) = Hx (t) ) Quali sono gli stati iniziali cui corrisponde un evoluzione libera costante x l (t) = x(), t? 2) Si determini una matrice di retroazione K tale che, qualunque sia lo stato iniziale del sistema, l ingresso u = Kx induca un evoluzione di stato x(t) le cui componenti siano combinazione lineare di e t, sin t, cos t. 3) Per lo stato di Σ si costruisca uno stimatore di ordine ridotto il cui errore di stima tenda a zero come e 2t. ) Posto x() = [ α β γ ] T, da si ricava x l (t) = e F t x() = t e t t e t α β γ x() = x() t = t e quindi β = γ =, mentre α è arbitrario. In alternativa, basta osservare che lo stato iniziale deve essere un autovettore relativo all autovalore di F, perché allora risulta ẋ = F x =. 2) Gli autovalori della matrice F + gk devono essere, ±j e il suo polinomio caratteristico sarà di conseguenza (s + )(s 2 + ). Il sistema Σ è parallelo del sistema (in forma canonica di controllo) Σ = (,, [ ]) = (F, g, H ) e del sistema Σ 2 = ([ ], [ ], []) = (F 2, g 2, H 2 ) che ha autovalore : basterà allora retroazionare soltanto Σ, portandone gli autovalori in ±j. Ciò equivale a ricorrere a matrici di retroazione del tipo K = [ k k 2 ] ed è immediato ottenere k =, k 2 = 3) Ponendo e quindi T = V = H T =

6 6 si ricava A = T F T = 2 = A A 2, B = A 2 A 22 x = T x = e le equazioni del sistema nella nuova base sono w y 2 = [ b b 2 ], C = [ ] ẇ = A w + b u ẏ = A 2 w + A 22 y + b 2 u Si pone v = w + Ly, ricavandone l equazione di aggiornamento e lo stimatore in catena aperta v = (A + LA 2 )v + (LA 22 A L LA 2 L)y + (b + Lb 2 )u ˆ v = (A + LA 2 )ˆv + (LA 22 A L LA 2 L)y + (b + Lb 2 )u Si impone infine che A + LA 2 abbia entrambi gli autovalori in 2, ovvero che [ l l 2l + ] [ 2 ] = + l 2 l 2 2l 2 abbia polinomio caratteristico s 2 + 4s + 4, ottenendo l = 4, l 2 = 4 Si conclude con lo schema delle dispense.

7 7 Esercizio 4. Si considerino il sistema e l indice quadratico x(t + ) = [ ] x(t) + u(t) = F x(t) + gu(t) y(t) = [ h h 2 ] x(t) = Hx(t) (4.) J(u, x ) = + t= ( u 2 (t) + y 2 (t) ) (4.2) ) Si determini per quali valori della matrice di uscita H la matrice di retroazione K che risolve il problema di minimizzare J(u, x ) non stabilizza il sistema. 2) Esistono valori della matrice H tali che l equazione algebrica di Riccati non ammetta soluzioni M s stabilizzanti? In caso affermativo, quali sono tali valori di H? 3) Si scelga la matrice H in modo che F + gk sia asintoticamente stabile e si determini per quali stati iniziali x R 2 l ingresso di controllo u(t) = K x(t) porta lo stato a zero in un numero finito di passi. ) Il sistema è in forma canonica di controllo e F ha autovalori λ = e λ 2 =. Il controllo ottimo non è stabilizzante quando (F, H) non è rivelabile. Poiché entrambi gli autovalori di F hanno modulo eguale a, occorre e basta rendere non osservabile la coppia, i.e. scegliere H in modo da soddisfare la condizione H h h = det = det 2 = h 2 h 2 2 = (h HF h 2 h h 2 )(h + h 2 ) Il controllo ottimo non è stabilizzante se h = h 2 oppure se h = h 2 2) L equazione algebrica di Riccati non ammette soluzioni s.d.p. stabilizzanti se la matrice PBH zi F H ha rango minore di 2 per qualche z a modulo unitario, ossia se il sottosistema non osservabile della coppia (F, H) ha autovalori a modulo unitario. Nel caso che stiamo considerando, ogniqualvolta la coppia (F, H) è non osservabile il suo sottosistema non osservabile ha autovalori a modulo unitario. Pertanto non esistono soluzioni s.d.p stabilizzanti dell equazione algebrica di Riccati se e solo se (F, H) non è osservabile, ossia se h = ±h 2. 3) Una scelta di H che determina un controllo ottimo stabilizzante è, ad esempio, H = [ ]. Poiché le matrici F e F + gk sono legate dalla relazione F + gk = [I + gr g T M ] F, la non singolarità della matrice F implica quella di F + gk (indipendentemente dalla scelta di H). Pertanto, per ogni t >, x(t) = (F + gk ) t x() è diverso da zero a meno che non sia x() =. Nessuno stato iniziale non nullo viene portato a zero dal controllo ottimo in un tempo finito.