iii) Si studi la raggiungibilità e l osservabilità dei seguenti sistemi:

Transcript

1 Teoria dei Sistemi - 9 cfu - L.M. in Ingegneria dell Automazione Compito del /9/7 Esercizio Sia (F, g, H) un sistema discreto, raggiungibile e osservabile, con un ingresso e un uscita, e sia n(z) R(z) la sua funzione di trasferimento in forma irriducibile. d(z) i) Si verifichi se il sistema f di figura è raggiungibile e osservabile e se ne determini la funzione di trasferimento in forma irriducibile. f ii) si determini, se possibile, quali devono essere gli zeri di n(z) e d(z) affinchè, per qualche stato iniziale non nullo, f raggiunga in evoluzione libera lo stato zero in un numero finito di passi. iii) Si studi la raggiungibilità e l osservabilità dei seguenti sistemi: Soluzione (i) Poiché è realizzazione minima, la funzione razionale Hadj(zI F )g/ det(zi F ) è irriducibile. Dall eguaglianza delle due frazioni, entrambe irriducibili, Hadj(zI F )g det(zi F ) n(z) d(z) segue, a meno di una costante moltiplicativa non nulla, d(z) det(zi F ) e n(z) Hadj(zI F )g e nel seguito identificheremo d(z) con det(zi F ) e n(z) con Hadj(zI F )g. Tenuto conto delle condizioni di raggiungibilità e di osservabilità di una connessione in retroazione, possiamo concludere che il sistema f (F f, g f, H f ) di figura è raggiungibile ed osservabile. Infatti Hadj(zI F )g, pensato come numeratore della f.d.t. del sistema in catena diretta, è primo con det(zi F ), pensato come denominatore della f.d.t. del sistema in catena di retroazione. La funzione di trasferimento del sistema f è suscettibile delle due rappresentazioni W f (z) n(z)d(z) d (z) n (z) H f adj(zi F f )g f det(zi F f )

2 La prima è irriducibile, dal momento che gli zeri di n(z) e di d(z) sono distinti e non coincidono con alcuno zero di d (z) n (z), la seconda è irriducibile perché il denominatore ha il medesimo grado del denominatore della prima. (ii) Se x è uno stato iniziale che soddisfa la condizione ipotizzata, deve risultare F k f x per qualche k >, quindi F f ha almeno un autovalore nullo. Il polinomio caratteristico di F f è dato da d (z) n (z), quindi per ogni z R, e in particolare per z, risulta d (z) n (z) > (dato che d ed n sono primi fra loro), quindi f non può avere autovalori nulli (né, più in generale, autovalori reali) qualunque siano i polinomi coprimi d(z) e n(z). Il problema posto non ha soluzione. (iii-) Il primo dei sistemi può essere visto come la connessione in retroazione del sistema f, posto in catena diretta, e del sistema, posto in catena di retroazione. f In tale connessione il polinomio H f adj(zi F f )g f del sistema f è il prodotto n(z)d(z) e quindi ha fattori in comune con il polinomio det(zi F ) d(z), relativo al sistema della catena di reazione. Perciò il sistema complessivo non è né raggiungibile né osservabile. In alternativa, il sistema globale può essere visto come la connessione in retroazione di nella catena diretta, il parallelo di due sistemi eguali a nella catena di retroazione. Ovviamente il sistema parallelo non è né raggiungibile, né osservabile, quindi non lo è il sistema globale. (iii-) Il secondo dei sistemi è la serie di f e di. Il polinomio H f adj(zi F f )g f n(z)d(z) in f ha fattori comuni con il polinomio det(zi F ) d(z) in, quindi la serie non è raggiungibile. D altra parte, il polinomio det(zi F f ) d (z)n (z) in f non ha fattori in comune con il polinomio Hadj(zI F )g n(z) in. Quindi la serie è osservabile.

3 Esercizio Si consideri il sistema continuo ẋ(t) x(t) u(t) F x(t) Gu(t) (.) i) si determinino gli indici di Kronecker di raggiungibilità; ii) si costruisca una matrice di retroazione M tale che F GM sia raggiungibile con il primo ingresso; iii) esiste un controllore K tale che la dimensione dello spazio dei punti di equilibrio del sistema ẋ (F GK)x (.) abbia dimensione? oppure dimensione 4? (si giustifichino le risposte); iv) esiste un controllore K tale che (F GK) 4? risposte); e (F GK)? (si giustifichino le Soluzione i) Si noti che G e e 5 e 6, F G e e e, F G e e e implicano la raggiungibilità del sistema. Gli indici di Kronecker si desumono dallo schema e valgono quindi κ, κ, κ. e 4 e 5 e 6 e e 5 e ii) Possiamo ricorrere al lemma di Heymann. Abbiamo la catena di vettori indipendenti con i quali costruiamo la matrice g e 4, F g e, F g e, g e 5, g e 6, F g e Q g F g F g g g F g e 4 e e e 5 e 6 e e quindi Q, S, M SQ

4 4 Si ottiene subito F GM ed è immediato che la coppia (F GM, g ) ha matrice di raggiungibilità di rango pieno. R e 4 e e e e 5 e e 5 e e 6 e e 5 e e 6 e iii) La dimensione dello spazio dei punti di equilibrio del sistema (.), ovvero il nucleo di F GK, coincide con il numero dei miniblocchi nilpotenti nella forma di Jordan di F GK oppure con il numero massimo di matrici compagne che e possibile avere nella forma canonica razionale di F GK (ciascuna delle quali può avere deficienza di rango unitaria, ma non più che unitaria), oppure con il numero massimo dei polinomi invarianti di F GK). Per il teorema di Rosenbrock, esistono matrici di retroazione K tali che F GK abbia indice di ciclicità pari a tre, ma non più di tre (infatti il rango di G fornisce il valore massimo che l indice di ciclicità può assumere al variare di K). Quindi è possibile che F GK nella sua forma di Jordan abbia tre miniblocchi nilpotenti, ma non più di tre, ovvero il nucleo di F GK può avere dimensione, ma non più di tre. iv) Al variare di K, il polinomio minimo di F GK può essere un arbitrario polinomio di grado maggiore o eguale a, ma non un polinomio con grado minore di (essendo il più grande degli indici di Kronecker). Quindi si può trovare K tale da aversi (F GK) 4, ma non (F GK), dato che in quest ultimo caso il polinomio minimo di F GK avrebbe grado non superiore a.

5 5 Esercizio Si consideri il sistema discreto x(t ) x(t) u(t), y(t) x(t) i) Per ogni stato iniziale x() x R, si determini l energia t y (t) dell uscita in evoluzione libera. ii) Quali sono la massima e la minima energia dell uscita in evoluzione libera, quando lo stato iniziale x che induce l uscita ha norma unitaria? iii) Esiste un segnale di ingresso u( ) che controlla in un tempo finito il sistema dallo stato iniziale x() allo stato finale x f ed è dotato di un energia non superiore a 6? Soluzione. Il sistema è raggiungibile, osservabile e asintoticamente stabile. (i) Basta determinare il gramiano di osservabilità su orizzonte infinito, ovvero l (unica) soluzione simmetrica dell equazione F T XF X H T H Posto si risolve ottenendo il gramiano X V che è evidentemente definito positivo. L energia dell uscita libera indotta da qualsiasi stato iniziale x è data da y( ) x T V x. ii) Il gramiano V ha autovalori (reali e positivi!!) λ 7 e λ ortogonale M tale per cui λ V M M T λ ed esiste una matrice Un vettore x R ha norma x se e solo se M T x. I valori massimo e minimo che x T V x x T λ M M T x λ z T λ z λ può assumere, al variare di z sui vettori a norma unitaria, sono pari rispettivamente a λ 7 e a λ. iii) Il gramiano di raggiungibilità su orizzonte infinito è l (unica) soluzione simmetrica dell equazione F XF T X gg T Ponendo anche qui X,

6 6 si risolve l equazione e si ottiene la soluzione X W Essa è evidentemente definita positiva ed ha per inversa W 4 L estremo inferiore dell energia richiesta per pilotare il sistema dallo stato zero nello stato x f è dato da x T f W x f 4 Quindi la risposta al quesito è positiva < 6.

7 7 Esercizio 4. Si considerino il sistema x(t ) x(t) u(t) F x(t) gu(t) e l indice quadratico i) Se J(u, x ) ( u (t) x T (t)qx(t) ), Q Q T s.d.p. t Q C T C, C, esistono stati iniziali non nulli cui corrisponde un controllo ottimo u ot ( ) identicamente nullo? In caso affermativo, si determinino tutti gli stati iniziali cui corrisponde controllo ottimo identicamente nullo e qual è il valore corrispondente dell indice quadratico. ii) Se Q C T C, la matrice di retroazione K che induce il controllo ottimo u ot K x stabilizza il sistema? iii) Quante soluzioni M simmetriche semidefinite positive dell equazione algebrica di Riccati M Q F T MF F T Mg(R g T Mg) g T MF determinano una retroazione K (R g T Mg) g T MF stabilizzante? si giustifichi la risposta Soluzione (i) La coppia (F, C) non è osservabile, poiché O ha rango (la somma delle colonne ènulla). Il sottospazio non osservabile è costituito dal nucleo di O, ovvero dai vettori proporzionali a, che rappresentano la totalità degli stati iniziali a partire dai quali il controllo ottimo è l ingresso nullo. (ii) La matrice F ha polinomio caratteristico z (z )(z z ), le cui radici hanno tutte modulo unitario. In particolare, l autovalore del sistema non osservabile ha modulo, la coppia F, C) non è rivelabile e il controllo ottimo non stabilizza il sistema. (iii) Poiché la matrice PBH zi F C non ha rango pieno sulla circonferenza unitaria, l equazione algebrica di Riccati non fornisce nessun controllo stabilizzante (nemmeno subottimo). N.B. Se si intende determinare l autovalore del sottosistema non osservabile, è facile constatare che esso vale. Infatti la matrice PBH z zi F z C z ha rango minore di per z.