w 1 (z) = z2 z + 1 z 3 z 2 + z 1, w 2(z) = z2

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1 Teoria dei Sistemi - 9 cfu - L.M. in Ingegneria dell Automazione Compito del 3///7 Esercizio Si considerino le funzioni di trasferimento (a tempo discreto) w (z) = z z + z 3 z + z, w (z) = z z 3 (.) (i) Si costruiscano una realizzazione minima Σ = (F, g, H ) di w (z) ed una minima Σ = (F, g, H ) di w (z). (ii) Si stabilisca se il sistema serie di Σ seguito da Σ è raggiungibile e/o osservabile e se lo stato zero del sistema serie è semplicemente stabile. (iii) Si costruisca per il sistema Σ una retroazione K dallo stato in modo che ogni evoluzione libera dello stato di Σ si annulli in un numero finito di passi. Si determini se il sistema complessivo (cfr. figura) è semplicemente stabile, raggiungibile e/o osservabile. u(t) y(t) + Σ Σ x (t) K Σ (K) (iv) Si determinino tutti gli ingressi u(t) del sistema serie reazionato come al punto iii, che siano nulli dall istante t = 5 in poi e che diano luogo a uscite forzate y(t) di durata finita. (i) Entrambe le funzioni razionali sono irriducibili: w (z) = z z + (z )(z + ), z (z )(z + z + ) quindi le corrispondenti realizzazioni minime hanno entrambe dimensione 3. Ricorriamo a due realizzazioni, (ad esempio) in forma canonica di controllo la prima e di osservazione la seconda: Σ =,, [, Σ =,, [ (ii) Il sistema serie - è raggiungibile, dato che i polinomi H adj(zi F )g = z z + e det(zi F ) = (z )(z +z +) sono coprimi, - è osservabile, perché sono coprimi i polinomi H adj(zi F )g = z e det(zi F ) = (z )(z +z+) - è quindi realizzazione minima della funzione trasferimento prodotto espressa in forma irriducibile z (z z + ) (z ) (z + z + )(z + ). Pertanto la sua matrice di transizione di stato è ciclica e nella sua forma di Jordan l autovalore λ =, che ha molteplicità algebrica, compare in un miniblocco di dimensione. Quindi l origine non è punto di equilibrio semplicemente stabile.

2 (iii) K è un controllore dead-beat per il sistema Σ, quindi deve essere K = [. Il sistema risultante - è raggiungibile, poiché sono rimasti raggiungibili i sistemi componenti della serie e sono immutati rispetto alla situazione precedente i polinomi H adj(zi F )g = z z + e det(zi F ) = (z )(z + z + ); non è osservabile perché non sono coprimi det(zi F g K ) = z 3 e H adj(zi F )g = z ; - è semplicemente stabile perché gli autovalori della matrice di transizione di stato sono λ = con molteplicità algebrica 3, mentre gli autovalori a modulo unitario λ =, λ 3 = e j π 3, λ 4 = e j 4π 3 hanno molteplicità algebrica. (iv) La funzione di trasferimento del sistema complessivo è w(z) = z z + z 3 z (z )(z + z + ) = z z + z(z )(z + z + ) Gli ingressi nulli dall istante t = 5 in poi sono rappresentabili come U(z) = p(z), deg p(z) 4 z4 Si devono quindi cercare tutti i polinomi p(z) di grado non superiore a 4 per cui Y (z) = w(z)u(z) = w(z) p(z) z z + p(z) z 4 = z(z )(z + z + ) z 4 ha uno sviluppo in serie di potenze in z con un numero finito di termini. Sono i polinomi p(z) = α(z β)(z )(z + z + ), α, β R e p(z) = α(z )(z + z + ), α R

3 3 Esercizio Si consideri il sistema discreto x(t + ) = x(t) + u(t) = F x(t) + Gu(t) Si determinino (i) il sottospazio raggiungibile in un passo, in due passi e in tre passi; (ii) il sottospazio controllabile in un passo, in due passi e in tre passi; (iii) se il sistema non è raggiungibile, la forma standard di raggiungibilità. (i) X R = Im G = span,. X R = Im [ G F G = span,,. X3 R coincide con X R e quindi con X R. Il sistema non è raggiungibile. (ii) Il sottospazio controllabile in un passo X C = = α β x : F x X R β α = x : F x span, = : span, γ δ α, α, γ, δ R γ δ ha dimensione 3. Il sottospazio controllabile in due passi è X C = x : F x X R = e coincide ovviamente con quello controllabile in 3 passi. = x : F x span,, α α β β : span,, γ δ = R 4 (iii) Per calcolare la forma standard di raggiungibilità, si considera una matrice di cambiamento di base T le cui prime tre colonne siano una base per lo spazio raggiungibile T =

4 4 Essa ha per inversa e la forrma standard cercata è T = T F T = = T G = = = F

5 5 Esercizio 3. Si consideri il sistema discreto [ x(t + ) = e l indice quadratico x(t) + [ u(t) = F x(t) + gu(t) y(t) = [ x(t) (3.) J(u, x ) = + t= ( 4u (t) + 9y (t) ), (3.3) (i) Il controllo ottimo u ot ( ) che minimizza l indice quadratico è stabilizzante? Perché? (ii) Si scriva l equazione algebrica di Riccati associata al problema di controllo ottimo e si stabilisca quante sono le sue soluzioni semidefinite positive. (iii) Si calcolino la soluzione ottimizzante M dell equazione algebrica di Riccati, la corrispondente matrice di reatroazione K e si verifichi sullo spettro di F + gk quanto affermato al punto (i); (iv) Per quali stati iniziali x il valore minimo dell indice min u J(u, x ) ha valore 3? Quali sono gli stati x di norma euclidea minima per cui min u J(u, x ) = 3? Quanto vale tale norma? Si [ noti che nel[ problema di controllo ottimo in considerazione l indice ha matrici R = 4 e Q = C T C = 3 9 [ 3 =. La coppia (F, g) è raggiungibile, quindi stabilizzabile, quindi il controllo ottimo esiste per ogni stato iniziale x. La coppia (F, C) è in forma standard di osservabilità (quindi non è osservabile) e il sottosistema non osservabile ha autovalore, quindi la coppia (F, C) è rivelabile. (i) La risposta è positiva, dato che (F, C) è rivelabile. (ii) L equazione algebrica di Riccati (EAR) è M = Q + F T MF F T Mg (R + g T Mg) g T MF Poichè - la soluzione ottimizzante M è in questo caso anche stabilizzante, - esiste al più una sola soluzione stabilizzante M S, - tutte le soluzioni s.d.p. di EAR sono comprese fra la soluzione ottimizzante M e la stabilizzante M S, possiamo concludere che M = M S è l unica soluzione s.d.p. di EAR. (iii) L equazione alle differenze di Riccati M( t ) = Q + F T M( t)f F T M( t)g(r + g T M( t)g) gm( t)f [ [ [ 9 = + M( t) [ [ M( t) (4 + [ M( t) se inizializzata da M() = [ ) [ M( t) [, ha per ogni t > una soluzione con struttura M( t) = [ m ( t), [,

6 6 come si vede immediatamente per induzione rispetto a t. Quindi anche M = lim t M( t) ha diversa da zero solo la componente di posizione (, ). Essendo M una soluzione [ semidefinita positiva m dell equazione algebrica di Riccati del punto (ii), ponendo in EAR M = M = si perviene all equazione [ [ [ [ [ m 9 m = + [ [ [ [ [ [ [ m m (4 + [ ) m [ Da essa si ricava m = 9 + m e infine m 9m 36 =, che ha per soluzioni m = 9 ± 5. m 4 + m La condizione che M sia semidefinita positiva impone di scegliere la soluzione positiva, pervenendo a [ M =. La matrice K è allora da cui K = (R + g T M g) g T M F = (4 + ) [ = 6 [ = [ 3 4 F + gk = [ + che ha entrambi gli autovalori a modulo minore di. [ [ 3 4 = 4 (iv) Il valore minimo dell indice vale 3 in corrispondenza agli stati iniziali x = la condizione quindi agli stati iniziali 3 = [ α β x = 7 4 [ [ α = α β [ ±, β R. β Fra gli stati indicati sopra, quelli a norma euclidea minima sono ovviamente di norma /. [ [, [ e (3.4) [ α che soddisfano β [, entrambi

7 7 Esercizio 4. Si consideri il sistema ẋ(t) = x(t) + u(t) = F x(t) + Gu(t) (i) Si determini qual è il numero minimo di uscite affinché lo stato risulti osservabile e si scelga H in modo che ciò avvenga. (ii) Si determini una matrice di reazione K tale che lo stato del sistema (F + GK, G, H) risulti osservabile con una sola uscita e per una scelta opportuna della matrice riga H. Si scelga H R 4 in modo che (F + GK, G, H) risulti osservabile. (iii) Se (F + GK, G, H) è il sistema di cui al punto precedente, si costruisca, se possibile, uno stimatore di ordine intero tale che le componenti dell errore di stima siano sempre esprimibili come combinazione lineare dei modi (e t cos t) e (e t sin t). (i) La matrice F è simile alla forma canonica di Jordan che ha tre miniblocchi relativi all autovalore. Affinché lo stato possa essere osservabile, sono necessarie almeno tre uscite (criterio di osservabilità relativo alla forma di Jordan). Come matrice H si può scegliere, ad esempio, H = (ii) Affinché tale H esista occorre che F + GK sia una matrice ciclica. Poiché (F, G) è raggiungibile, esiste una matrice K per cui F + GK risulta ciclica. Per calcolarla si può utilizzare il procedimento del lemma di Heymann oppure sfruttare il fatto che il sistema è dato in forna canonica di controllo multivariabile. Con il lemma di Heymann, dalla matrice di raggiungibilità di (F, G), R = [ g g g 3 F g F g F g 3... si ottiene la matrice e si costruiscono Q = [ g g F g g 3 = S = [ e e 3 = M = SQ = := K

8 8 Il sistema reazionato con K ha la matrice F + GK = ciclica, con vettore ciclico g. Una scelta di H in corrispondenza a cui (F + GK, H) è osservabile, è H = [. Sfruttando la forma canonica, è immediato calcolare K in modo da avere e quindi H = [ F + GK = (iii) Uno stimatore con le caratteristiche richieste non esiste. Infatti, per ogni scelta di L =, l 3 l 4 la matrice (F + GK) + L H è ciclica e l errore di stima è soluzione dell equazione omogenea ė(t) = (F + GK + L H)e(t), la cui soluzione generale contiene 4 modi linearmente indipendenti. l l