TEORIA DEI SISTEMI SOLUZIONE Esercitazione 12 Esercizio 1 Si consideri un sistema SISO LTI descritto dalle seguenti matrici di stato

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1 TEORIA DEI SISTEMI SOLUZIONE Esercitazione 2 Esercizio Si consideri un sistema SISO LTI descritto dalle seguenti matrici di stato 2 A = 3 3 B = e D = C = [ ] si progetti un controllore basato sul modello in cui l osservatore é progettato in modo che i poli di A + LC siano in {,, } e la retroazione dello stato stimato é progettata in modo che i poli di A + BF siano in { 2, 2, 2}. si calcoli la funzione di trasferimento complessiva SOLUZIONE Il sistema é completamente raggiungibile e osservabile, poiché R = ha rango(r) = 3 = n e Θ = che presenta anch essa rango pieno. Si vuole progettare un controllore basato sul modello. Si deve percio progettare l osservatore (in modo da assegnare i poli in {,, }) e la retroazione (in modo da assegnare i poli in { 2, 2, 2}). Tale progetto é possibile perché il sistema é completamente osservabile e raggiungibile. Progetto retroazione F Il polinomio caratteristico del sistema ad anello aperto é: p(s) = s 3 8s 2 +2s 8 = (s 2)(s 3)(s 3) le cui radici sono in {2, 2, 3}). Il polinomio caratteristico desiderato é p d (s) = s 3 + 6s 2 + 2s + 8 = (s + 2)(s + 2)(s + 2) le cui radici sono in { 2, 2, 2}).

2 Metodo : Si riporta il sistema in forma canonica di raggiungibilitá: Ã = B = Quindi la matrice di retroazione per il sistema Σ = {Ã, B,, } é F = [ ] = [ ]. Quindi calcoliamoci la matrice T = R R. R = La cui inversa é ( R) = Quindi otteniamo T e la sua inversa T = T. E finalmente F = F T = [ ]. Quindi la matrice A + BF é data da: A + BF = Metodo 2 Si utilizza la formula di Akermann: Quindi F = e R p d (A) Ove: e = [ ], (R) = e p d (A) = = A 3 + 6A 2 + 2A + 8I che moltiplicati tra loro danno 2

3 F = [ ], analogamente al metodo. Quindi la matrice A + BF é data da: Progetto osservatore L A + BF = Il polinomio caratteristico da assegnare allo stimatore é p o (s) = s 3 + 3s 2 + 3s + = (s + )(s + )(s + ) le cui radici sono in {,, }). Usiamo la formula di Akerman L = p o (A)(Θ) e n ove: e n = Θ = e p o (A) = e quindi si ottiene L = e quindi la matrice della dinamica dello stimatore é: Compensatore basato sul modello A + LC = Il sistema complessivo retroazionato avrá variabili di stato [ ] z = x x e quindi avremo: 3

4 ż = A T OT z + B T OT v e y = C T OT z e le sue matrici saranno B T OT = [B ] e C T OT = [C ]. A T OT = [ A + BF BF A + LC Da cui si puó ricavare la funzione di trasferimento complessiva che é data da W (s) = che presenta la dinamica dell osservatore a fattore (s) = p o (s) = s 3 + 3s 2 + 3s +. Quindi, ridotta ai minimi termini, la funzione di trasferimento diventa: W (s) = s2 5s+7 s 3 +6s 2 +2s+8 = C(sI (A + BF )) B. Esercizio 2 Sia dato un sistema LTI TC le cui matrici sono A = 2 3 B = C = Si stabilizzi il sistema, se possibile e si calcoli la funzione di trasferimento complessiva. SOLUZIONE ] s 5 2s 4 5s 3 +7s 2 +6s+7 s 6 +9s 5 +33s 4 +63s 3 +66s 2 +36s+8 Poich è la matrice C = I, si puó progettare una retroazione dallo stato, essendo lo stato completamente accessibile (C = I, y = x). Il sistema LTI TC, non é completamente raggiungibile, e presenta due autovalori raggiungibili λ = e λ 2 = 2 e un autovalore irraggiungibile in λ 3 = 3. Poiché tale autovalore é stabile, il sistema é stabilizzabile. Il polinomio desiderato non puó essere scelto ad arbitrio, ma il polo in 3 che non puó essere spostato deve essere nell insieme degli autovalori. Sia P d (s) = (s + 4)(s + 4)(s + 3) = (s + 3)(s 2 + 8s + 6) = s 3 + s 2 + 4s Quindi, se indichiamo con F = [f f 2 f 3 ] la matrice dei guadagni di retroazione, abbiamo che + f f 2 f 3 A + BF = f 2 + f 2 f 3 3 Il suo polinomio caratteristico é perció 4

5 p(s) = det(si (A + BF )) = (s + 3)((s ( + f )(s (2 + f 2 ) f f 2 )) che uguagliato al polinomio desiderato fornisce due equazioni in due incognite la cui soluzione é: F = [25 36 f 3 ]. Possiamo scegliere qualunque valore di f 3, in quanto non influenza il polinomio complessivo. Prendiamo per semplicitá f 3 =. Quindi A + BF = La matrice di trasferimento complessiva sará con W (s) = s 2 s 2 +8s+6 e W 2(s) = s s 2 +8s+6 W (s) = W (s) W 2 (s) 5