Sintesi del regolatore

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1 Capitolo 1. INTRODUZIONE 5.1 Sintesi del regolatore Si definisce regolatore il sistema composto dalla serie dello stimatore dello stato e dall elemento statico di retroazione K: v(k) u(k) x(k +1) z 1 I x(k) C (k) Sistema K ˆx(k +1) z 1 I ˆx(k) C + - Stimatore L Equazioni del sistema globale: Sistema: x(k +1)=x(k)+u(k) (k) =Cx(k) Retroazione: u(k) =v(k)+kˆx(k) Stimatore: ˆx(k +1) =ˆx(k)+u(k)+L[Cˆx(k) (k)] Eliminando u(k) si ottiene: x(k +1)=x(k)+Kˆx(k)+v(k) ˆx(k +1)=( + LC + K)ˆx(k) LCx(k)+v(k) (k) =Cx(k) Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi /2005

2 Capitolo 5. OSSERVILITÀ E RICOSTRUIILITÀ 5.2 Il sistema ottenuto, descritto dalle matrici (,, C), èdidimensione 2n: x(k +1) ˆx(k +1) (k) = K LC + LC + K }} C }} [ C 0 ] x(k) ˆx(k) x(k) ˆx(k) + }} v(k) llo scopo di evidenziare alcune proprietà strutturali del sistema, si utilizza la seguente trasformazione di coordinate: T = I 0 I I, T 1 = T La seconda parte del nuovo vettore di stato x coincide con l errore di stima e = x ˆx: x = T 1 xˆx Le nuove equazioni del sistema sono: x(k +1) e(k +1) (k) = [ C 0 ] }} C x x ˆx + K K 0 + LC }} x(k) e(k) dove = T 1 T, = T 1 e C = CT. x e x(k) e(k) + }} 0 v(k) Il sistema si trova in forma standard di raggiungibilità e i suoi autovalori sono l unione degli autovalori delle due matrici + K e + LC. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi /2005

3 Capitolo 5. OSSERVILITÀ E RICOSTRUIILITÀ 5.3 Una rappresentazione grafica del sistema trasformato è la seguente: v(k) u(k) x(k +1) z 1 I x(k) C (k) Sistema + K K e(k +1) z 1 I e(k) + LC Stimatore La parte del sistema relativa alla stima dello stato è un sistema autonomo la cui uscita libera (funzione dell errore di stima) agisce come ulteriore ingresso per la parte raggiungibile del sistema dinamico. La presenza dello stimatore non altera la relazione ingresso uscita del sistema considerato. Infatti la matrice di trasferimento dell intero sistema rimanela stessa sia retroazionando lo statox, che retroazionando la stima dello stato ˆx: H(z) = C(zI ) 1 = C(zI ) 1 = [ C 0 ] [zi ( + K)] 1 0 [zi ( + LC)] 1 = C[zI ( + K)] 1 0 Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi /2005

4 Capitolo 5. OSSERVILITÀ E RICOSTRUIILITÀ 5.4 La sintesi di: Proprietà diseparazione Il blocco di retroazione, cioè l allocazione degli autovalori del sistema ( + K). Il blocco di stima dello stato, cioè l allocazione degli autovalori del sistema ( + LC). possono essere effettuate in modo indipendente, infatti vale la proprietà di separazione : det(zi ) =det(zi )= = det [zi ( + K)] K 0 [zi ( + LC)] = det[zi ( + K)]det[zI ( + LC)] Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi /2005

5 Capitolo 5. OSSERVILITÀ E RICOSTRUIILITÀ 5.5 Sia dato un sistema dinamico S: ẋ = x + u = Cx + Du Sintesi del regolatore x Se (, ) è raggiungibile, utilizzando una retroazione statica dello stato è possibile posizionare a piacere gli autovalori del sistema retroazionato S K : u(t) =Kx(t)+v(t) K Se lo stato x non è accessibile, allora occorre introdurre nell anello di controllo un osservatore dello stato. Lo schema di controllo che tipicamente si utilizza è il seguente: v u S O s v u u S S x ẋ(t) =x(t)+u(t) (t) =Cx(t) ˆx(t) =( + LC + K)ˆx(t) L(k)+v(t) u(k) =Kˆx(k)+v(k) ˆx K Il sistema retroazionato può essere rappresentato anche nel modo seguente: v Gv (s) u G(s) G (s) G(s) =C(sI ) -1 G (s) =K(sI LC K) -1 L G v (s) =1+K(sI LC K) -1 Nel caso di sistemi SISO, le funzioni di trasferimento G(s), G (s) e G v (s) sono semplici funzioni razionali fratte: G(s) = N(s) D(s) G (s) = N (s) D (s) G v (s) = N v(s) D v (s) = C agg(si ) det(si ) = K agg(si LC K)L det(si LC K) =1+K agg(si LC K) det(si LC K) Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi /2005

6 Capitolo 5. OSSERVILITÀ E RICOSTRUIILITÀ 5.6 Si noti che le due funzioni G (s) e G v (s) sono caratterizzate dallo stesso polinomio a denominatore: D v (s) =D (s). Calcolando la funzione di trasferimento complessiva G 0 (s) si ottiene: G 0 (s) = Y(s) V(s) = = G v(s)g(s) 1+G (s)g(s) N v (s) N(s) D (s) D(s)+N (s) N(s) Imponendo che la G 0 (s) coincida con una funzione desiderata G d (s) = N d(s) D d (s) si ottiene la relazione N v (s) N(s) D (s) D(s)+N (s) N(s) = N d(s) 0 (s) D d (s) 0 (s) dove 0 (s) è la dinamica dell osservatore che non è visibile nel legame ingressouscita. Tale relazione è equivalente ad una coppia di equazioni polinomiali da risolvere nelle incognite N v (s), N (s)e D (s): N v (s) N(s) =N d (s) 0 (s) D (s) D(s)+N (s) N(s) =D d (s) 0 (s) Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi /2005