Controllo Sliding Mode

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1 Capitolo 1. INTRODUZIONE 7.1 Controllo Sliding Mode Esempio. Si consideri il seguente sistema: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = a x 1 a 1 x 2 + u e si analizzi il comportamento dinamico del sistema retroazionato nel caso in cui si utilizzi il seguente controllo: u = αx 1 se x 1 s > αx 1 se x 1 s < dove s = c 1 x 1 + x 2 Utilizzare i seguenti parametri: a = 1, a 1 = 2, α = 3, c 2 = 1.5. Soluzione. Il polinomio caratteristico del sistema senza retroazione è: p(s) = s 2 + a 1 s + a. Il sistema proposta ha una struttura variabile nel senso che al variare del segno della funzione x 1 s il sistema ha comportamenti dinamici strutturalmente diversi. Il polinomio caratteristico del sistema retroazionato è: p(s) = s 2 + a 1 s + a + α sign(x 1 s) Traiettorie del sistema nel caso in cui sign(x 1 s) > (fuoco stabile): 1.5 Traiettorie quando u= alpha*x1 1.5 Variabile x Variabile x 1 In figura sono mostrate in rosso le linee lungo le quali si ha un cambiamento di segno della funzione x 1 s. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

2 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.2 Traiettorie del sistema nel caso in cui sign(x 1 s) < con α > a (sella): 1.5 Traiettorie quando u=+alpha*x1 1.5 Variabile x Variabile x 1 Utilizzando il controllo u = αx 1 sign(x 1 s) si ottengono le seguenti traiettorie: 1.5 Traiettorie quando u= alpha*x1*sgn(x1*()) 1.5 Variabile x Variabile x 1 Il sistema retroazionato risulta globalmente asintoticamente stabile. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

3 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.3 Quando le traiettorie raggiungono la linea s =, cioè x 2 = c 1 x 1, il controllo u incomincia a commutare a frequenza infinita e da quel punto in poi le traiettorie scivolano lungo la linea s =. 4 3 Variabile s Controllo u Time [s] Ricordando che x 2 = ẋ 1, la dinamica del sistema in condizioni di sliding è: s =, ẋ 1 = c 1 x 1 x 1 = e c 1t x 1 () cioè le variabili di stato tendono a zero con una velocità (cioè un tempo di assestamento) che non è pi u funzione dei parametri del sistema, ma è funzione solamente dei coefficienti (in questo caso c 1 ) della superficie di sliding s = Variabile x Variabile x Time [s] Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

4 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.4 La variabile di controllo u commuta a frequenza infinita e in ogni istante assume un valore medio pari al controllo equivalente u eq necessario per mantenere la traiettoria del sistema esattamente sulla superficie s =. Il controllo equivalente u eq si determina imponendo ṡ = : ṡ = c 1 ẋ 1 + ẋ 2 = c 1 x 2 a x 1 a 1 x 2 + u eq = da cui si ricava: u eq = c 1 x 2 + a x 1 + a 1 x 2 La tecnica di controllo Sliding Mode è caratterizzata dai seguenti aspetti: E adatta solamente nei casi un cui la variabile di controllo u possa commutare a frequenza molto elevata. È adatta per esempio nel caso del controllo di motori elettrici dove u tipicamente è una tensione. Da un punto di vista pratico la frequenza di commutazione è finita, per cui la superficie di sliding s = viene inseguita con un piccolo errore. La commutazione a frequenza finita del controllo introduce un oscillazione ad alta frequenza all interno del sistema ( chattering ) che se non viene adeguatamente filtrata dal sistema può causare vibrazioni o rumore all interno del sistema. I disturbi che agiscono sul sistema durante la fase di sliding e che non saturano il controllo vengono eliminati completamente e istantaneamente. La dinamica del sistema sulla superficie di sliding s = è funzione dei soli parametri della superficie stessa. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

5 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.5 Sliding Mode: equazione differenziale di ordine n Si consideri un eq. differenziale non lineare di ordine n con un solo ingresso: x (n) = f(x) + b(x)u dove x è l uscita di interesse, x = [x, ẋ,... x (n 1) ] T è il vettore di stato e u è l ingresso di controllo. Problema di controllo: si vuole che lo stato x insegua uno specifico stato tempo-variante x d = [x d ẋ d... x (n 1) d ] T in presenza di disturbi parametrici sulle funzioni f(x) e b(x). Affinché l inseguimento si possa effettuare usando un controllo u di ampiezza finita, lo stato iniziale x d () deve essere tale che x d () = x(). (1) Sia x = x x d l errore di inseguimento. Sia S una superficie tempo-variante nello spazio degli stati definita dall equazione scalare s(x, t) = dove s(x, t) = d n 1 dt + λ e λ > costante. Ad esempio per n = 2 si ha s = x + λ x. Data la condizione iniziale (2) il problema di inseguimento x x d è equivalente a quello di rimanere sulla superficie S per ogni t >. Infatti s rappresenta un equazione differenziale lineare la cui unica soluzione è x =. Quindi il problema di inseguimento del vettore n-dimensionale x d può essere ridotto a quello di far tenere a zero la quantità scalare s (superficie di sliding). Il problema di far tenere a zero lo scalare s può essere risolto scegliendo il controllo u in modo tale che all esterno di S valga la relazione: 1 d 2dt s2 η s sṡ η s ṡ sgn(s) η (2) con η >. Tale condizione si chiama sliding condition. x Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

6 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.6 Il significato di questa relazione è che la distanza dalla superficie decresce lungo tutte le traiettorie del sistema, quindi costringe le traiettorie ad andare verso la superficie S. In particolare, una volta sulla superficie, le traiettorie del sistema rimangono su di essa e il comportamento dinamico del sistema è descritto dalla seguente relazione: d n 1 dt + λ x = Costruzione della dinamica equivalente La dinamica del sistema in sliding mode soddisfa sia la relazione s = che la relazione: ṡ = Risolvendo tale equazione rispetto ad u si ottiene il controllo equivalente u eq cioè il controllo tempo-continuo che mantiene le traiettorie esattamente sulla superficie di sliding s =. Esempio: Si consideri il sistema del secondo ordine ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = f(x) + g(x)u dove f(x), g(x) sono funzioni non lineari non necessariamente continue e g(x) >. Si ha che x 1 è stabile se ẋ 1 = ax 1, con a >. Si definisce s = x 2 + ax 1 Quindi ẋ 1 = x 2 = ax 1 + s è stabile se s =. Si calcola ora ṡ: ṡ = x 2 + ax 1 = f(x) + g(x)u + ax 2 Per valutare la stabilità si consideri la candidata funzione di Lyapunov V = 1 2 s2. La sua derivata temporale è V = sṡ = s [f(x) + g(x)u + ax 2 ] }{{} α che risulta definita negativa se α < per s > α = per s = α > per s < Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

7 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.7 Pertanto la stabilità è assicurata se u < β(x) per s > u = β(x) per s = u > β(x) per s < dove β(x) = f(x)+ax 2 g(x) indica il controllo equivalente. Questa condizione è verificata (per esempio) se si usa la seguente legge di controllo: u = K sgn(s) dove K > in ogni istante deve essere più grande di β(x): K > β(x). Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

8 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.8 Controllo Sliding Mode: caso generale Consideriamo il seguente sistema incerto: ẋ = Ã(x, t)x + B(x, t)u + ϕ(x, t) + ψ, (3) dove x R n è lo stato, u R m è il controllo, Ã(x, t) e B(x, t) sono le matrici tempo-varianti del sistema, ϕ(x, t) e ψ sono i disturbi parametrici ed esterni. E sempre possibile scomporre le matrici Ã(x, t) e B(x, t) nel seguente modo: Ã(x, t) = A + Ā(x, t) B(x, t) = B + B(x, (4) t), dove le matrici costanti A e B descrivono la parte nota del sistema e le matrici tempo varianti Ā(x, t) e B(x, t) ne descrivono la parte incerta. Utilizzando (4), il sistema (3) può essere riscritto nella forma: ẋ = Ax + Bu + D(x, t) (5) dove D(x, t) = Ā(x, t)x + B(x, t)u + ϕ(x, t) + ψ è il disturbo globale che agisce sul sistema. H1. Si suppone che il disturbo D(x, t) agisca solamente nel sottospazio generato dalle colonne di B: R(D(x, t)) R(B) ( matching condition ). Se l ipotesi H1 è soddisfatta, è sempre possibile determinare due funzioni ϕ(x, t) e ψ tali che D(x, t) = B[ϕ(x, t) + ψ] (6) dove Ā(x, t)x + B(x, t)u + ϕ(x, t) = Bϕ(x, t) ψ = Bψ. Il sistema (3) assume quindi la forma: ẋ = Ax + B[u + ϕ(x, t) + ψ]. (7) Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

9 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.9 La dinamica desiderata del sistema controllato viene assegnata imponendo una relazione lineare tra le variabili di stato del sistema: σ = Cx =, C R (m n). Se il controllo u è tale da garantire σ =, la dinamica residua del sistema evolve nel sottospazio N(C). Scegliendo opportunamente la matrice C è possibile assegnare una dinamica arbitraria al sistema controllato. H2. Si suppone che la coppia di matrici (A,B) sia controllabile e che rank(b) = rank(cb) = m. (8) L ipotesi di controllabilità della coppia (A,B) garantisce che il sistema possa essere controllato in modo arbitrario, tramite l ingresso u. Richiedere che rank(b) = rank(cb), equivale a richiedere che l azione di controllo abbia sempre una componente perpendicolare alle superfici di sliding. Essendo rank(b) = m, è sempre possibile supporre che le matrici del sistema (7) abbiano la seguente forma: A = Ā 11 Ā 12 Ā 21 Ā 22, B = O (n m) m I m. (9) Poichè la coppia (A,B) è controllabile, anche la coppia (Ā11,Ā12) risulta controllabile. Definendo dalla (9) segue che x = x 1 x 2, x 1 R n m, x 2 R m ẋ 1 = Ā11x 1 + Ā12x 2 ẋ 2 = Ā21x 1 + Ā22x 2 + u + ϕ(x, t) + ψ. (1) Senza perdere di generalità, è sempre possibile esprimere la superficie di sliding σ = nella seguente forma: σ = Cx = [C 1 I m ]x = C 1 x 1 + x 2 =, (11) Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

10 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.1 dove C 1 R m (n m). Quando il controllo riesce ad imporre σ =, allora dalla (11) segue che x 2 = C 1 x 1, e quindi sostituendo questa nella prima equazione di (1), si ottiene ẋ 1 = (Ā11 Ā12C 1 )x 1 = A x x 1. (12) Poichè la coppia (Ā11,Ā12) è controllabile, mediante una opportuna scelta di C 1 è possibile assegnare arbitrariamente lo spettro della matrice A 11. Assegnato uno spettro a piacere alla matrice A 11 speca 11 = { λ 1,..., λ n m }, λ 1,..., λ n m >, indichiamo con λ il valore < λ < max i λ i i = 1,..., n m. Se l ingresso di controllo u viene scelto in modo da garantire che lo stato x del sistema raggiunga, in un tempo finito o asintoticamente, la superficie σ =, allora il comportamento dinamico del sistema complessivo sarà definito dalle soluzioni dell equazione (12) e si avrà x x 1, x 1 c e λ t. Allo scopo di ottenere una forma di stato più adatta per il progetto del controllore, consideriamo un cambiamento di coordinate tale che le componenti del vettore σ diventino variabili di stato per il sistema (1). Sia z il nuovo vettore di stato e scegliamo la matrice di trasformazione T nel seguente modo: T = I n m C 1 z 1 z 2 = T m (n m) I m x 1 x 2, T 1 = I n m C 1 m (n m) I m, T R n n, det T = 1. In base a questa scelta si ha che z 1 = x 1 e σ = z 2 = C 1 x 1 + x 2. Utilizzando la trasformazione T si ottiene ż 1 = TAT 1 z + TB(u + ϕ), Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

11 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.11 cioè ż 1 = A 11 z 1 + A 12 z 2 (13) ż 2 = A 21 z 1 + A 22 z 2 + u + ϕ(x, t) + ψ. Gli autovalori della matrice A 11 possono essere assegnati arbitrariamente mediante una opportuna scelta della matrice C. Poichè il comportamento dinamico del sottosistema ż 1 = A 11 z 1 (14) può essere arbitrariamente assegnato mediante la trasformazione T, lo scopo del controllo è quello di imporre z 2 = nel sistema controllato anche in presenza dei disturbi esterni. Questo problema puo essere risolto utilizzando un controllore a Struttura Variabile. Lo stato z del sistema (13) raggiungerà la superficie di sliding mode z 2 = con un decadimento esponenziale di grado λ del vettore di stato z 2, se risultano soddisfatte le seguenti condizioni Sgn(z 2 )(ż 2 + λz 1 ) z2 <, (15) dove Sgn(z 2 ) = diag[sgnz 21,..., sgn z 2m ] e λ = diag[λ 1,..., λ m ] con λ i λ per i = 1,..., m. Tipicamente, quando si utilizza un regolatore a struttura variabile si suppone anche che il disturbo esterno soddisfi alle seguenti ipotesi: H3. Si suppone che la funzione non nota ϕ(x, t) = [ϕ 1,..., ϕ m ] T soddisfi le seguenti condizioni: ϕ i (x, t) < φ i (x), φ i () =, φi () <, i = 1,..., m, (16) dove Φ = diag[φ 1 (x),..., φ m (x)] è una funzione nota. H4. Si suppone che la funzione ψ = [ψ 1,..., ψ m ] T soddisfi le seguenti condizioni: ψ i < i, i = 1,..., m, (17) dove = diag[ 1,..., m ] è un vettore costante noto. L ipotesi H3 implica che il disturbo parametrico ϕ(x, t) è nullo (φ i () = ) per x =, ed è continuo ( φ i () < ) in un intorno di tale punto, per cui quando x, anche il disturbo ϕ(x, t). Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27

12 Capitolo 7. ESEMPI ED ESERCIZI 7.12 L ingresso di controllo: u = A 21 z 1 A 22 z 2 }{{} λz 2 }{{} (Φ + ) sgnz 2 }{{} u 1 u 2 u 3, (18) dove sgnz 2 = [sgn z 21,..., sgn z 2m ] T, soddisfa le condizioni (15). Perciò, in un tempo finito t >, si ha l insorgere di uno sliding mode sulla superficie z 2 =, e il comportamento dinamico del sistema controllato (13)-(18) diventa quello descritto dall equazione (14). In (18), l ingresso di controllo u è composto di tre termini distinti corrispondenti a tre azioni di controllo diverse: u 1 compensa la reazione indesiderata A 21 z 1 + A 22 z 2 della parte nota del sistema (13); u 2 fornisce un azione proporzionale che assicura un decadimento esponenziale λ del vettore di stato z 2,; u 3 è l azione di controllo discontinua che istantaneamente compensa il disturbo esterno. Quando lo sliding mode viene raggiunto, u 2 è zero, u 1 tende esponenzialmente a zero, e l ingresso di controllo u tende a coincidere con u 3. Zanasi Roberto - Teoria dei Sistemi A.A. 26/27