Progetto del regolatore per un levitatore magnetico. 1. Linearizzazione del modello del levitatore magnetico

Transcript

1 FONDAMENTI DI AUTOMATICA (01AYS, 03FTP) - A.A. 2003/2004 II esercitazione presso il LADISPE Progetto del regolatore per un levitatore magnetico Scopo di questa seconda esercitazione è il progetto di un regolatore per il controllo del levitatore. Poiché si dimostra che lo stato di equilibrio del sistema è instabile, non è possibile controllare la posizione della pallina in catena aperta. Risulta quindi necessario un controllo esterno in catena chiusa che stabilizzi il sistema. Come visto nella prima esercitazione, il modello del levitatore è non lineare. Per progettare il dispositivo di controllo, si effettua dapprima una linearizzazione delle equazioni del modello, per poi passare al progetto vero e proprio del regolatore. 1. Linearizzazione del modello del levitatore magnetico Si riportano per comodità le equazioni del modello introdotte nella precedente esercitazione: i = K a v u i o M.. z = Mg K mi 2 K o z 2 v z = K t z v o che descrivono rispettivamente l attuatore, l elettromagnete e il trasduttore. In figura 1.1 è rappresentato lo schema a blocchi del sistema fisico, in cui sono evidenziati solo l ingresso u (la tensione di comando v u dell attuatore) e l uscita y (la tensione di uscita v z del trasduttore). u=v u Attuatore Elettromagnete Trasduttore y=v z Figura 1.1. Schema a blocchi del levitatore magnetico Occorre ora ricavare il modello in variabili di stato. Scegliendo come variabili di stato la posizione e la velocità della pallina: { x1 (t) =z (t) = posizione della pallina x1 (t) x (t) = x 2 (t) =ż (t) =velocità della pallina x 2 (t) ed avendo adottato come variabile d ingresso: u (t) =v u (t) = tensione di comando dell attuatore e come variabile di uscita: y (t) =v z (t) = tensione fornita dal trasduttore il sistema dinamico ẋ (t) = f (x (t),u(t)) è descritto dalle seguenti equazioni non lineari: ẋ 1 (t) = x 2 (t) = f 1 (x (t),u(t)) ẋ 2 (t) = g K m K a u (t)i o 2 K o = f M x 2 2 (x (t),u(t)) 1 (t) y (t) = K t x 1 (t)v o = g (x (t),u(t)) dove K a, i o, K m, K o, K t e v o sono i parametri stimati nella precedente esercitazione. 1

2 Affinché il sistema si trovi in uno stato di equilibrio prefissato x = x1 x 2 = zeq 0 si deve applicare un ingresso di equilibrio u tale che ẋ (t) =ẋ = f (x, u) = 0, da cui risulta: Mg z 2 eq K o u = K m K a i o Come posizione di equilibrio z eq della pallina, si sceglie quella corrispondente all uscita di equilibrio ȳ = 0 (tensione nulla fornita dal trasduttore); dall equazione del trasduttore si ricava: z eq = v o K t Il sistema linearizzato nell intorno dello stato di equilibrio x può essere scritto nella forma: δẋ (t) = A δx (t)b δu (t) δy (t) = C δx (t)d δu (t) δx1 (t) in cui: δx (t) =,doveδx δx 2 (t) 1 (t) =x 1 (t) x 1 = x 1 (t) z eq è la posizione della pallina rispetto alla posizione di equilibrio x 1 = z eq, δx 2 (t) =x 2 (t) x 2 = x 2 (t) èlavelocità della pallina rispetto alla velocità di equilibrio x 2 =0;δu (t) =u (t) u è la variazione della tensione di comando rispetto al comando di equilibrio u; δy (t) = y (t) y = y (t) è la variazione dell uscita rispetto all uscita di equilibrio y = 0. Svolgendo i calcoli, si ottengono le seguenti matrici del sistema linearizzato: A = f 1 f 1 x 1 x 2 f 2 f 2 x 1 x 2 B = f 1 u f 2 u = x=x = x=x C = 0 1 a 0 0 b g x 1 g x 2 g D = u, con a = 2 K m (K a u i o ) 2 K o M zeq 3, con b = 2K m (K a u i o ) K a M z 2 eq x=x x=x =0 = K t 0 2. Analisi delle proprietà del modello linearizzato Si osserva innanzi tutto che gli autovalori della matrice A del modello linearizzato sono in λ 1,2 = ± a, per cui lo stato di equilibrio del sistema non lineare è instabile. 2

3 Per stabilizzare il sistema non lineare nell intorno dello stato di equilibrio, si può utilizzare il metodo di posizionamento dei poli applicato al sistema linearizzato: qualora infatti la coppia (A, B) sia raggiungibile, utilizzando una legge di controllo del tipo: δu (t) = K δx (t) feedback α r (t) feedforward gli autovalori di A BK risultano posizionabili ad arbitrio. In questo caso: R = B AB = 0 b b 0 rango (R) = 2 (A, B) è raggiungibile e quindi mediante il metodo di posizionamento dei poli si può stabilizzare il sistema. Si osservi che tale metodo richiede però una retroazione completa dello stato, ossia della posizione e della velocità della pallina rispetto all equilibrio. Qualora sia invece disponibile solo l uscita del sistema, come nel caso in esame, per stabilizzare il sistema non lineare nell intorno dello stato di equilibrio si può utilizzare il metodo del posizionamento dei poli con osservatore applicato al sistema linearizzato. Infatti, se la coppia (A, B) è raggiungibile e la coppia (A, C) è osservabile, utilizzando una legge di controllo del tipo: δu (t) = K δˆx (t) feedback α r (t) feedforward dove δˆx (t) è lo stato stimato da un osservatore, descritto dalle equazioni: δ ˆx (t) = Aδˆx (t)bδu(t)lδy (t) δŷ (t) = = (A BK LC) δˆx (t)αbr (t)lδy (t) (1.1) δŷ (t) = Cδˆx (t) risulta possibile stabilizzare il sistema nell intorno dello stato di equilibrio. In questo caso: C Kt 0 O = = rango (O) = 2 (A, C) è osservabile CA 0 K t e quindi mediante il regolatore si può stabilizzare il sistema. Si osservi che tale metodo richiede una retroazione dell uscita, ossia della sola posizione della pallina rispetto all equilibrio. 3. Stabilizzazione del sistema ed acquisizione dei dati Nella presente sezione viene descritto come stabilizzare il levitatore magnetico mediante calcolatore e come acquisire misure delle variabili associate al levitatore stesso. In particolare, viene descritto come applicare i metodi teorici presentati nella precedente sezione utilizzando i toolbox Control e Realtime di MATLAB. Affinché il calcolatore possa interagire con il levitatore magnetico e quindi si possa implementare il sistema di controllo, si eseguano le seguenti operazioni: tramite cavo coassiale, si colleghi l uscita Position sense del levitatore magnetico con l ingresso Input 2 del modulo di interfaccia con il calcolatore; tramite cavo coassiale, si colleghi l ingresso Command in del levitatore magnetico con l uscita Out2 del modulo di interfaccia con il calcolatore. 3

4 u u(t) u(t) Attuatore Elettromagnete Trasduttore y(t)= y(t) PC r(t) Figura 1.2. Sistema fisico e struttura di controllo in retroazione In questo modo si ottiene la struttura di controllo in retroazione levitatore-calcolatore rappresentata in figura Descrizione dei comandi MATLAB da utilizzare K=place(A,B,lambda) oppure K=acker(A,B,lambda) Tali comandi calcolano la matrice K di retroazione dello stato in modo che la matrice A-BK abbia come autovalori le componenti del vettore lambda rtconric(t,α,a,b,c,d,k,l) Tale comando realizza un controllo con retroazione degli stati e stimatore asintotico dello stato; gli argomenti della funzione sono i seguenti: - T: tempo di campionamento, in secondi; - α: guadagno sul segnale di riferimento r (t); - A, B, C, D: matrici del modello lineare a tempo continuo dell impianto da stabilizzare; - K: vettore riga dei guadagni sugli stati retroazionati (max 7 stati); - L: vettore colonna dei pesi sull errore di stima; p=rtacq; Tale comando permette di visualizzare i segnali acquisiti dai canali selezionati nell apposita finestra di interfaccia e di memorizzarne i valori nella matrice p (di dimensioni opportune). Nella medesima finestra è possibile impostare il tempo di campionamento T (espresso in secondi), il numero di campioni da acquisire ed i limiti degli assi della finestra grafica in cui sono visualizzati i segnali. rtfine Tale funzione arresta tutti i processi realtime in corso. 4

5 3.2 Stabilizzazione del sistema mediante assegnazione degli autovalori 1. Riportare in MATLAB le matrici A, B, C e D precedentemente calcolate. 2. Scegliere i due autovalori desiderati λ 1 e λ 2 per il sistema controllato in modo tale che: Re ( λ i ) 40, 80, Im ( λi ) =0, i =1, 2 3. Mediante MATLAB, calcolare il vettore riga K: K = place(a, B, λ 1, λ 2 ) 4. Mediante MATLAB, calcolare il vettore colonna L: ponendo γ =2 L = place(a,c,γ λ 1, λ 2 ) 5. Mediante MATLAB, applicare la legge di controllo derivante dalla retroazione degli stati stimati: rtconric(t,α,a, B, C, D, K, L) ponendo T= 0.001s, α = C (A BK) 1 B 1 per poter successivamente garantire in uscita, in regime permanente, una fedele riproduzione del segnale di riferimento. Dopo aver verificato la correttezza dei collegamenti, premere enter per attivare il controllo. 6. Inserire la pallina nel levitatore, eventualmente agendo sulla manopola Feedforward per portarla nella posizione di equilibrio z eq, facendo in modo che l uscita di equilibrio ȳ misurata su Position Sense sia pressoché nulla. 3.3 Analisi del comportamento del sistema complessivo al variare degli autovalori dell osservatore 1. Mediante il generatore di segnali, generare un segnale di riferimento r (t) ad onda quadra di frequenza 0.5Hz ed ampiezza 200mVPP. ATTENZIONE: l ampiezza effettiva di r (t) è il doppio del valore indicato sul display del generatore di segnali. 2. Collegare l uscita del generatore di segnali con l ingresso Input 1 del modulo di interfaccia con il calcolatore. 3. Mettere la pallina nella posizione di equilibrio, se non c è già. 4. Mediante MATLAB, acquisire gli andamenti temporali dei segnali r (t) edy (t) =v z (t): p = rtacq; abilitando nell apposita finestra l acquisizione dei dati dai canali CH1 e CH2, mantenendo il tempo di campionamento T= 0.001s, impostando a 5000 il numero di campioni da acquisire e successivamente cliccando su Acquire. ATTENZIONE: per riprodurre successivamente il grafico dei segnali acquisiti, si può usare il comando plot(t,p) con t=t:t:5000*t 5

6 5. Aumentare l ampiezza del segnale di riferimento r (t) in modo che l osservazione dei segnali risulti buona ed il controllo garantisca il buon funzionamento del sistema retroazionato. ATTENZIONE: verificare che l uscita riproduca il più fedelmente possibile il segnale di riferimento, ossia che l ampiezza di r (t) non sia tale da portare il sistema fuori linearità. 6. Prendere nota della massima ampiezza del riferimento, che verrà utilizzata nel seguito dell esperienza; osservare gli andamenti del riferimento r (t) e dell uscita y (t) =v z (t) ed in particolare la loro differenza; salvare i dati ottenuti, in modo da poterli riportare sulla relazione. 7. Ripetere, per γ =3eγ = 4, i punti 4 5 della sezione 3.2 ed i punti 4 6diquesta sezione. ATTENZIONE: prima di alterare il valore di γ, occorre bloccare il processo Realtime mediante il comando rtfine. 8. Tra i valori di γ considerati, scegliere quello che fornisce il miglior comportamento del sistema retroazionato. 3.4 Analisi del comportamento del sistema complessivo al variare degli autovalori del sistema retroazionato 1. Considerare diversi valori per gli autovalori desiderati λ 1 e λ 2, scegliendoli sempre con Re ( λ i ) 40, 80, i =1,2. 2. Ripetere i punti 3 6 della sezione 3.2 ed i punti 4 6 della sezione 3.3 con il valore di γ ottenuto al termine della precedente sezione. 3. Per ogni coppia di valori di λ 1 e λ 2 considerata, acquisire i segnali r (t) ey (t) =v z (t) campionati con tempo di campionamento T tramite il comando MATLAB p = rtacq; mantenendo le stesse impostazioni fin qui utilizzate. 6