Compito di SISTEMI E MODELLI 24/01/18: PARTE 1

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1 Compito di SISTEMI E MODELLI 4//8: PARTE Non è ammesso l uso di libri, quaderni o calcolatrici programmabili. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione. Consegnare solo la bella copia. LE SOLUZIONI DELLA PARTE E QUELLE DELLA PARTE VANNO CONSEGNATE SU FOGLI PROTOCOLLO DISTINTI Ex.. [5 pti] regole Una popolazione di cellule di diverso tipo, A e B, si aggiorna ogni minuto in base alle seguenti le cellule A sono di 3 tipologie (giovani, adulte, vecchie, mentre le cellule B non hanno alcuna distinzione di età; delle cellule A di tipo adulto, una frazione a invecchia (nel corso di minuto, mentre la rimanente frazione a si sdoppia in una cellula A giovane ed in una B ( < a < ; le cellule A giovani, diventano tutte adulte nel minuto successivo; le cellule B diventano tutte A giovani, nel minuto successivo; delle cellule A vecchie, una frazione b rimane vecchia, la rimanente frazione b (nel corso di minuto muore ( < b <. Si scriva un modello di stato a tempo discreto per descrivere questo meccanismo, dove l uscita y(k rappresenta il numero totale di cellule morte dall istante iniziale t = all istante corrente t = k. Inoltre, si verifichi che se a è sufficientemente vicino ad, la popolazione di cellule è destinata all estinzione. Ex.. [4 pti] Dato il sistema dipendente dal parametro reale a a x(t + = F x(t, F = a a + a determinare Forma di Jordan F J e matrice T di cambio di base per ogni a; determinare se e per quali valori di a tutte le traiettorie del sistema sono periodiche. Ex.3. [5 pti] Dato il sistema Σ descritto da ẋ = ax + ax x 3 ẋ = ax + ax x (3x 3x x + x ed il suo linearizzato nell intorno di x eq =, sia Σ LIN, si studi la stabilità di x eq = al variare di a reale, quando possibile, ricorrendo all analisi degli autovalori (sia per Σ che per Σ LIN ; all equazione di Lyapunov (solo per Σ LIN, utilizzando Q = ai; nei casi critici (solo per Σ, alla funzione di Lyapunov V (x = x T P x, con P = nella V (x si può riconoscere la presenza del termine (x x 4. Ex.4. [4 pti] Dato il compartimentale descritto da ẋ = 3 x + u, y = [ ] si disegni il grafo corrispondente e si determini la funzione di trasferimento; si determino tutti i chiusi, in particolare il massimale ed i minimali; si determinino tutti i punti di equilibrio; sapendo che x( = [ ] T e che u(t = δ(t, si determini x(+. [ ] (Suggerimento:

2 Compito di SISTEMI E MODELLI 4//8: PARTE Non è ammessa la consultazione di libri o quaderni e l uso di calcolatrici programmabili. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione. Consegnare solo la bella copia. LE SOLUZIONI DELLA PARTE E QUELLE DELLA PARTE VANNO CONSEGNATE SU FOGLI PROTOCOLLO DISTINTI CON LA PARTE CONTENUTA IN NON PIU DI 4 FACCIATE Ex.5. [4 pti] Si consideri il generico modello lineare: ẋ(t = F (θx(t + G(θu(t y(t = H(θx(t Dati i seguenti due sistemi lineari (con stessa F, G e diversa H [ ] [ ] θ F =, G =, H θ = [ ], H = [ ] Si discuta l identificabilità a priori del primo sistema da condizioni iniziali nulle con il Delta di Dirac come ingresso. Utilizzando il metodo di Taylor, si discuta l identificabilità a priori del secondo sistema da condizioni iniziali nulle con il Delta di Dirac come ingresso. Ex.6. [5 pti] Si consideri il seguente modello y = θ e, y = θ + θ + e e 3, y 3 = θ + θ + e 4, dove le {e i } 4 i= sono variabili aleatorie Gaussiane, indipendenti con media nulla e varianza unitaria. Si calcoli l errore quadratico medio (MSE dello stimatore a massima verosimiglianza di θ = Date le misure y =, y =, y 3 =, si calcoli un intervallo di confidenza a deviazioni standard (al 95% per la stima a massima verosimiglianza di θ. ( θ θ. Ex.7. [6 pti] Si considerino n variabili aleatorie indipendenti y, y,..., y n, con densità f(y i = θ y θ i, < y i <, θ >, e nulla altrove. Ricavare l espressione dello stimatore ˆθ ML a massima verosimiglianza di θ. Si ricavi la distribuzione approssimata di ˆθ ML per grandi valori di n. A tale scopo, si utilizzi la notazione α θ = E(log y i dove E indica l aspettazione.

3 Soluzione Ex.. Indicando con x, x, x 3, x 4 le cellule B e le cellule A giovani, adulte e vecchie, rispettivamente, si ha a x(t + = a x(t a b me per tener conto delle cellule morte, che sono y(t = ( b[x 4 ( x 4 (t ], occorre una quinta variabile di stato che si aggiorni come x 5 (t + = x 5 (t + ( bx 4 (t in modo da porre y(t = x 5 (t (con x 5 ( =, da cui a a x(t + = x(t, y(t = [ ] a b b Si riconosce facilmente una struttura triangolare a blocchi, con la dinamica delle prime 3 variabili di stato regolata da a x(t + = a x(t (λ = λ 3 ( a(λ + le cui radici tendono a zero per a, quindi hanno modulo minore di, tale sistema è asintoticamente stabile, per cui x, x, x 3 tendono a zero. Ma dall equazione dinamica che regola x 4, si scopre che anch essa tende a zero. Si noti che l estinzione si può anche spiegare a livello puramente intuitivo: se a >, la duplicazione di cellule genera un numero di cellule totale inferiore (nel gruppo x, x, x 3, e queste con il tempo invecchiano e poi muoiono (in effetti, se a = ±i gli autovalori sono, e c è stabilità solo semplice, se a > tutti gli autovalori hanno modulo minore di. Soluzione Ex.. L unico autovalore è λ = a, ed e, e 3 sono comunque autovettori. Se a = anche e lo è, mentre se a scegliamo come autovettore generalizzato e e costruiamo la catena tramite (F aie = (a+e 3, quindi a a T =, F J = a a + a mentre se a = la matrice è già in Forma di Jordan, vale F = I, e quindi T = I. Per avere traiettorie periodiche tutti i modi elementari devono essere periodici, il che può accadere solo se a =. Ma se a = oltre al modo costante è presente anche un modo divergente t, mentre se a = l unico modo è ( t, periodico di periodo, per cui tutte le traiettorie sono periodiche (di periodo, x(, x( ripetuti periodicamente se e solo se a =. [ ] Soluzione Ex.3. Si ha facilmente F = a per Σ LIN. Gli autovalori sono a( ± i e quindi hanno parte reale negativa per a < (stabilità asintotica per entrambi i sistemi e positiva per a > (instabilità per entrambi i sistemi. a = è il caso critico, e F = dimostra la stabilità semplice ma non asintotica di Σ LIN, mentre nulla si può dire per Σ. Risolvendo l equazione di Lyapunov con Q = ai si trova che P = I è l unica soluzione se a, mentre P qualsiasi è soluzione per a =. Se a <, P >, Q > implicano la stabilità asintotica, se a >, P >, Q < implica l instabilità (per chi ricorda che V >, V > la implica. Se a =, scegliendo P = I (una qualsiasi soluzione definita positiva, da P >, Q = segue la stabilità solo semplice (e non asintotica per Krasowskii: l insieme N consiste di tutto lo spazio di stato. Ma si può vedere anche senza invocare Krasowskii: l asintotica stabilità è esclusa dal fatto che Lyapunov non abbia soluzione unica in P. Infine, per a =, scrivendo esplicitamente V (x = x x x + x > e calcolando V (x = x 4 (x x 4 <, si conclude per la stabilità asintotica. 3

4 Soluzione Ex.4. y = x 5. Il grafo è in figura, e W (s = in quanto l ingresso influisce solo sui nodi (,, 3, mentre u" " " " " 3" 4" " " " 5" o" y" Il chiuso massimale è (,, 3, 5, quelli minimali (, 3 e (5, un altro chiuso è (, 3, 5. I punti di equilibrio sono combinazioni lineari non-negative dei due punti di equilibrio relativi ai minimali, cioè [ ] T e [ ] T. L effetto dell ingresso è quello di rendere x( + = [ ] T. Poichè x (t + x (t + x 3 (t rimane costante e contribuisce al chiuso minimale (, 3 (x si svuota, ed anche x 5 (t rimane costante e contribuisce al chiuso minimale (5, si ha facilmente x(+ = [ ] T. Soluzione Ex.5. La prima FDT vale W (s = s θ + s θ = s (θ + θ s (θ + θ s + θ θ per cui il sommario esaustivo consiste di θ +θ e di θ θ. L identificabilità è solo LOCALE, in quanto si può risalire alla coppia di valori (θ, θ a parte il loro ordine (sono le due soluzioni dell equazione s (θ + θ s + θ θ =. Per il secondo sistema ricorriamo a Taylor, notando che l effetto di u(t = δ(t conduce da x( = a x( + = G. Quindi y( + = H x( + =, ẏ( + = H ẋ( + = H F x( + = H F G = θ, ÿ( + = H ẍ( + = H F x( + = H F G = θ,... In sostanza, y (n ( + = θ n, per n, e già la seconda permette di risalire univocamente al valore di θ, mentre θ non appare mai, in nessuna derivata. Quindi θ è identificabile, ma θ no. Il sistema non è quindi identificabile. Soluzione Ex.6. con Il modello puó essere scritto come Φ = z = Φθ + e, e N(, Σ, Σ = 4 Utilizzando il teorema di Gauss-Markov, la matrice di autocovarianza dell errore risulta ( (Φ T Σ Φ.4.6 =..6.4 Quindi l MSE dello stimatore a massima verosimiglianza (ML di θ risulta 3.8. Per quanto riguarda il secondo punto, sfruttando ancora Gauss-Markov, la stima ML risulta ( ( ˆθ ML = (Φ T Σ Φ Φ T Σ = (Φ T Σ Φ.5.6 =..4. Sappiamo dal primo punto risolto che la varianza di ˆθ ML è η =.4. L intervallo risulta quindi Soluzione Ex.7 La verosimiglianza risulta [.6.4,.6 +.4] [.5, 3.7]. L(y, y,..., y n ; θ = 4 n i= θ y θ i,

5 da cui Si ha l θ = log L(y, y,..., y n ; θ = n log(θ (θ l θ θ = n θ θ log y i. i= log y i. Uguagliando a zero tale espressione, e considerando che θ > e < y i < i, si ottiene lo stimatore a massima verosimiglianza n ˆθ = n i= log(y i A conferma di ciò, si noti che L( + = L(+ =. Riguardo al punto due, per valori grandi di n, possiamo approssimare V ar(ˆθ con l inversa della matrice di Fisher I(θ. Si ha ( ( l θ n ( ( θ I(θ = E θ = E θ log y i = n θ α α θ θ = n θ. i= Quindi, sfruttando l asintotica normalità ed efficienza dello stimatore a massima verosimiglianza, e indicando con θ il vero valore di θ, si ottiene per grandi valori di n l approssimazione ( θ ˆθ N θ, n( θ α. θ i= 5