(a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza θ di θ. (b) Calcolare la funzione di score e l informazione di Fisher.

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1 Statistica Matematica, Anno Accademico 216/17, 27 Gennaio 217 ESERCIZIO 1 Siano X 1, X 2, X 3 variabili aleatorie indipendenti con legge X 1 Gamma(3,2), X 2 Gamma(5,1) e X 3 Gamma(4,3) Determinare la funzione generatrice dei momenti di X 1 + 2X 2 + X 3 ESERCIZIO 2 Considerare una popolazione con distribuzione descritta dalla funzione di densità f(x; θ) I(x > )θ 2 xe θx, con parametro θ (, ) (a) Determinare lo stimatore ˆθ di θ ottenuto con il metodo dei momenti (b) Usare il metodo delta per determinare le fluttuazioni gaussiane di ˆθ (c) Dire se lo stimatore ˆθ è corretto giustificando la risposta (d) Usare una trasformazione che stabilizza la varianza per derivare un intervallo di confidenza approssimato per il parametro θ di livello 1 α, con α (, 1), quando l ampiezza n del campione è grande ESERCIZIO 3 Considerare come nell esercizio precedente una popolazione con distribuzione descritta dalla funzione di densità f(x; θ) I(x > )θ 2 xe θx, con parametro θ (, ) (a) Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza θ di θ (b) Calcolare la funzione di score e l informazione di Fisher ESERCIZIO 4 Supponiamo di avere un campione casuale X 1, X 2,, X n con parametro θ per cui, noto θ, X i ha distribuzione uniforme su (, θ) Supponiamo che la distribuzione a priori di θ sia uniforme su (, 3) (a) Determinare la distribuzione a posteriori di θ (b) Determinare lo stimatore bayesiano di θ ESERCIZIO 5 Abbiamo un dado e vogliamo testare se è onesto (vogliamo verificare l ipotesi nulla il dado è onesto ) con ampiezza asintotica 5 Lanciamo 1 volte il dado e otteniamo le seguenti frequenze: 18 volte la faccia 1, 16 volte la faccia 2, 1 volte la faccia 3, 19 volte la faccia 4, 22 volte la faccia 5 e 15 volte la faccia 6 Illustrare come si applica il test χ 2 di Pearson indicando esplicitamente la statistica del test (indicare come si deve calcolare immaginando di disporre di una calcolatrice e si chiami poi u il valore che si otterrebbe), il p dei dati (si supponga poi di calcolarlo con una calcolatrice e si chiami w il valore che si otterrebbe) e indicando con quale criterio si accetta o rifiuta l ipotesi in termini del p dei dati 1

2 Traccia delle soluzioni ESERCIZIO 1 Sappiamo che una variabile X Gamma(α, λ) ha funzione generatrice dei momenti {( λ α Φ X (t) λ t) se t < λ, altrimenti Quindi Φ X1 (t) {( 2 2 t) 3 se t < 2, altrimenti, Φ X 2 (t) Φ X3 (t) {( 1 {( 3 3 t) 4 se t < 3, altrimenti Siccome le va X 1, X 2, X 3 sono indipendenti, abbiamo 5 1 t) se t < 1, altrimenti ϕ X1 +2X 2 +X 3 (t) E ( e ) t( X 1+2X 2 +X 3 ) ϕ X1 ( t)ϕ X2 (2t)ϕ X3 (t) {( 2 ) 3 ( 1 ) 5 ( t 1 2t 3 t) se 2 < t < 1/2 + altrimenti ESERCIZIO 2 Premessa La distribuzione f(x; θ) è Gamma (2, θ), quindi ha funzione generatrice dei momenti Φ(t) ( θ 2 θ t) for t < θ Quindi Φ (t) 2θ 2 (θ t) 3 e Φ (t) 6θ 2 (θ t) 4 Se X è va distribuzione f(x; θ), ne deriva che E(X) Φ () 2/θ e E(X 2 ) Φ () 6/θ 2 Alternativamente, uno puo calcolare E(X) e E(X 2 ) facendo dei semplici integrali Per integrazione per parti abbiamo Quindi E(X) E(X 2 ) y 2 e y dy 2 y 3 e y dy 3 θ 2 x 2 e θx dx 1 θ ye y 2, y 2 e y 6 y 2 e y dy 2/θ, θ 2 x 3 e θx dx 1 y 3 e y dy 6/θ 2 θ 2 (a) Siccome E(X) 2/θ, dobbiamo imporre che X n 2/ˆθ Quindi abbiamo ˆθ 2/ X n (b) Siccome E(X) 2/θ e V ar(x) E(X 2 ) E(X) 2 6/θ 2 4/θ 2 2/θ 2, per il CLT abbiamo n( Xn 2/θ) L N (, 2/θ 2 ) (1) 2

3 Sia f(u) 2/u Allora f (u) 2/u 2 e f (2/θ) θ 2 /2 Per il metodo delta applicato a (1) concludiamo che n(ˆθ θ) n(f( Xn ) f(2/θ)) L N (, (2/θ 2 )f (2/θ) 2 ) N (, θ 2 /2) (2) Quindi ˆθ ha fluttuazione gaussiane attorno a θ descritte dalla convergenza in legge n(ˆθ θ) L N (, θ 2 /2) (c) Primo metodo Sia Φ(t) la funzione generatrice dei momenti di X i Allora Φ(t) (θ/(θ t)) 2 per t < θ, altrimenti + Ho quindi Φ Xn (t) Φ(t/n) n (θn/(θn t)) 2n per t < θn, altrimenti + Quindi Xn Gamma(2n, θn) e E(ˆθ) E(2/ X n ) 2 2θnΓ(2n 1) (θn) 2n x 2n 2 e θnx dx (θn) 2n 1 Γ(2n 1) x2n 2 e θnx dx 2θnΓ(2n 1) Siccome Γ(m) (m 1)! per m intero ho 2θnΓ(2n 1) 2θn/(2n 1) (l ultima identità si puo derivare subito anche per integrazione per parti), quindi lo stimatore ˆθ non è corretto (è distorto) Secondo metodo La funzion (, ) x 1/x (, + ) è strettamente convessa Siccome le variabili X i non sono deterministiche, per la disuguaglianza di Jensen E(ˆθ) 2E(1/ X n ) > 2/E( X n ) 2/E(X i ) θ quindi lo stimatore ˆθ non è corretto (è distorto) (d) Se g è derivabile, per il punto (b) e il metodo delta ho n(g(ˆθ) g(θ)) N (, g (θ) 2 θ 2 /2) Se g(u) 2 ln u ho g (u) 2/u e quindi g (θ) 2 θ 2 /2 1 In particolare vale 2n(ln ˆθ ln θ) L N (, 1) (3) Dato α (, 1) e Z N (, 1) ho P ( Z > z α/2 ) 2P (Z > z α/2 ) α Quindi da (3) abbiamo lim P ( 2n(ln ˆθ ln θ) > z α/2 ) α (4) n Si noti che 2n(ln ˆθ ln θ) z α/2 se e solo se ln ˆθ ln θ z α/2 2n se e solo se [ ln θ ln ˆθ z α/2, ln ˆθ + z ] α/2 2n 2n L se e solo se z θ I n (α) dove I n (α) [ˆθe α/2 / 2n, ˆθe z α/2/ 2n] Possiamo quindi riscrivere (4) come lim n P (θ I n (α)) 1 α, e percio I n (α) è intervallo approssimato di livello 1 α 3

4 ESERCIZIO 3 (a) Ci limitiamo a x i > dato che la distribuzione ha supporto in (, + ) La funzione di verosimiglianza è data da L n (x 1, x 2,, x n ; θ) θ 2n (x 1 x 2 x n )e θn X n e la funzione di log verosimiglianza è data da l n (θ) : l n (x 1, x 2,, x n ; θ) 2n ln θ + ln(x 1 x 2 x n ) θn X n Abbiamo l n(θ) 2n/θ n X n che ha massimo in θ 2/ X n Quindi θ 2/ X n (b) La funzione di score s(x; θ) è s(x; θ) θ ln f(x; θ) 2/θ x Siccome θ s(x; θ) 2/θ 2, l informazione di Fisher per n 1 è I(θ) è I(θ) E( θ s(x; θ)) 2/θ 2, e per n è I n (θ) 2n/θ 2 ESERCIZIO 4 Notiamo che le X i hanno valore in (, θ), quindi sono positive e minori di 3 Percio nella formula p(θ x 1, x 2,, x n ) per la distribuzione a posteriori di θ ci limiteremo a x 1, x 2,, x n in (, 3) Sia p(θ) I( < θ < 3)/3 la distribuzione a priori di θ (a) Siano x 1, x 2,, x n in (,3) Abbiamo p(θ x 1, x 2,, x n ) Abbiamo p(x 1, x 2,, x n θ)p(θ) p(x1, x 2,, x n θ )p(θ )dθ θ n I(θ > max x i )I( < θ < 3) (θ ) n I(θ > max x i )I( < θ < 3)dθ 3 θ n I(max x i < θ < 3) (θ ) n I(max x i < θ < 3)dθ c(x 1,, x n ) : (θ ) n dθ 3 n+1 (max x i ) n+1 max x i n + 1 Quindi la distribuzione a posteriori di θ è (b) Lo stimatore bayesiano di θ è E(θ X 1, X 2,, X n ) p(θ x 1, x 2,, x n ) θ n I(max x i < θ < 3) c(x 1,, x n ) 3 max X i θ 1 n dθ c(x 1,, x n ) n 1 n 2 32 n (max X i ) 2 n 3 1 n (max X i ) 1 n ESERCIZIO 5 La statistica del test è data da T P 6 j1 vale u 6 1 [ ( )2 + ( )2 + (1 1 6 )2 (N j 1/6) 2 1/6 Nel suddetto caso il suo valore u + ( )2 + ( )2 + (15 1 ] 6 )2 4

5 Il p dei dati è dato da w : P (χ 2 5 > u) Allora rifiuto l ipotesi che il dado è onesto se e solo se 5 > w Per curiosità: u 6 6 [ ] Quindi w P (χ 2 5 > 5) , 4159 Ne deriva che accettiamo l ipotesi che il dado sia onesto 5