Statistica 2. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

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1 Statistica 2 Esercitazioni Dott. L 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore mercoledì ore luigi.augugliaro@unipa.it L (Dipartimento 1 / 1 di S

2 Elementi di Statistica Inferenziale Definizione: Campione casuale semplice Un campione statistico estratto dalla popolazione statistica di riferimento è definito casuale semplice quando le n variabili aleatorie X 1, X 2,..., X n che lo compongono sono identicamente distribuite e stocasticamente indipendenti. Definizione: Funzione di distribuzione di probabilità campionaria Sia X = (X 1,..., X n ) un campione casuale semplice estratto da una popolazione X con funzione di densità di probabilità f X (x; θ). Si definisce funzione di distribuzione di probabilità campionaria di X la seguente funzione f X (x; θ) = n f X (x i ; θ), dove x = (x 1,..., x n ) è una realizzazione del vettore aleatorio X e θ è il parametro della popolazione d interesse. (Dipartimento 2 / 1 di S

3 La strumentazione statistica utilizzata per studiare la popolazione di riferimento si fonda sull ipotesi che la funzione di densità di probabilità f X (x; θ) ha forma nota, ma il parametro θ non è noto. Ne consegue che, per poter studiare la popolazione, è necessario utilizzare una funzione del campione X che ci fornisce informazione in merito al vero ed incognito valore del parametro θ. Definizione: Statistica Sia X = (X 1,..., X n ) un campione casuale semplice estratto da una popolazione X con funzione di densità di probabilità f X (x; θ). Si definisce statistica una qualsiasi funzione del campione X che non dipende dal parametro θ, formalmente T = T (X 1,..., X n ). Osservazione Dalla precedente definizione segue che qualsiasi statistica è una variabile aleatoria dato che è funzione di un vettore aleatorio. (Dipartimento / 1 di S

4 Esempi di statistiche sono: i. la media aritmetica campionaria ii. la varianza campionaria corretta n X = X i ; n n S 2 = (X i X ) 2. n 1 Utilizzando la terminologia appena introdotta, il problema iniziale può essere riformulato nel seguente modo: determinare una statistica T (funzione del campione casuale semplice) attraverso la quale ottenere informazioni (fare inferenza) sul parametro θ della distribuzione di riferimento. Una statistica utilizzata in tale senso viene definita stimatore puntuale del parametro θ. Definizione: Stimatore puntuale Sia X un campione casuale semplice estratto dalla popolazione X con funzione di densità di probabilità f X (x; θ). Una qualsiasi statistica utilizzata per fare inferenza sul parametro θ è definita stimatore puntuale del parametro θ ed è denotata con il simbolo ˆθ. (Dipartimento 4 / 1 di S

5 Criterio di ottimalità degli stimatori puntuali Dalla definizione di stimatore puntuale discende che, in generale, per stimare il parametro θ possono essere definiti infiniti stimatori puntuali (funzioni del vettore aleatorio X). L osservazione precedente solleva il seguente problema di carattere generale: tra gli infiniti stimatori puntuali del parametro θ, quale stimatore è preferibile? Per poter rispondere alla precedente domanda è necessario introdurre opportuni criteri di ottimalità attraverso cui confrontare gli stimatori puntuali del parametro θ. L (Dipartimento 5 / 1 di S

6 L errore quadratico medio Una prima misura attraverso la quale valutare le proprietà di uno stimatore puntuale del parametro θ è l errore quadratico medio. Definizione: Errore quadratico medio Sia ˆθ uno stimatore puntuale del parametro θ. Si definisce errore quadratico medio dello stimatore puntuale ˆθ il valore atteso del quadrato della differenza tra lo stimatore puntuale ˆθ e il parametro θ, ovvero: EQM θ (ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ]. Osservazioni i. il nome errore quadratico medio trova giustificazione nell osservazione che la differenza ˆθ θ può essere interpretata come l errore commesso dallo stimatore puntuale ˆθ nello stimare il parametro θ; ii. a sostegno dell osservazione che EQM θ (ˆθ) costituisce una misura di bontà dello stimatore puntuale ˆθ, è sufficiente notare che l errore quadratico medio è una misura della dispersione di ˆθ da θ, così come la varianza è una misura di dispersione di una variabile aleatoria dal proprio valore atteso. Conclusioni: dato che l errore quadratico medio costituisce uno strumento attraverso il quale valutare la bontà di un generico stimatore puntuale del parametro θ, dati due stimatori puntuali ˆθ 1 e ˆθ 2, lo stimatore ˆθ 1 è preferibile a ˆθ 2 se è soddisfatta la seguente identità: per qualsiasi valore del parametro θ. EQM θ (ˆθ 1 ) < EQM θ (ˆθ 2 ), (Dipartimento 6 / 1 di S

7 Benché l errore quadratico medio costituisca una valida misura mediante la quale identificare lo stimatore puntuale ottimo del parametro θ (ovvero lo stimatore puntuale con errore quadratico medio minimo rispetto a tutti i possibili stimatori puntuali, indipendentemente dal valore del parametro θ), raramente si riesce trovare uno stimatore puntuale con EQM θ (ˆθ) minimo per qualsiasi valore di θ. Questa difficoltà è dovuta al fatto che la classe di tutti i possibili stimatori puntuali del parametro θ è troppo ampia, per questo motivo si preferisce restringere la ricerca a tutti gli stimatori che soddisfano un ulteriore opportuna proprietà. Definizione: Distorsione di uno stimatore puntuale Sia ˆθ uno stimatore puntuale del parametro θ e si indichi con E(ˆθ) il suo valore atteso. Si definisce distorsione dello stimatore puntuale ˆθ la quantità D(ˆθ) = E(ˆθ) θ. (Dipartimento 7 / 1 di S

8 Terminologia: i. uno stimatore puntuale ˆθ viene definito non distorto quando D(ˆθ) = 0, ovvero quando il valore atteso di ˆθ coincide con il parametro di interesse; ii. uno stimatore puntuale ˆθ viene definito distorto quando D(ˆθ) 0. Più correttamente a) ˆθ viene definito distorto verso l alto quando D(ˆθ) > 0, ovvero quando il valore atteso dello stimatore è più grande del parametro d interesse; b) ˆθ viene definito distorto verso il basso quando D(ˆθ) < 0, ovvero quando il valore atteso dello stimatore è più piccolo del parametro d interesse; L (Dipartimento 8 / 1 di S

9 Il seguente teorema mostra come la distorsione di uno stimatore puntuale si collega all errore quadratico medio. Teorema: Decomposizione dell errore quadratico medio Sia ˆθ uno stimatore puntuale del parametro θ. Si dimostra che l errore quadratico medio di ˆθ è uguale alla varianza di ˆθ più il quadrato della distorsione, ovvero: Dimostrazione EQM θ (ˆθ) = Var(ˆθ) + [D(ˆθ)] 2 EQM θ (ˆθ) = E[(ˆθ θ) 2 ] = E{[(ˆθ E(ˆθ)) + (E(ˆθ) θ)] 2 } = = E[(ˆθ E(ˆθ)) 2 + (E(ˆθ) θ) (ˆθ E(ˆθ)) (E(ˆθ) θ)] = = E[(ˆθ E(ˆθ)) 2 ] +E[(E(ˆθ) θ) 2 ] + E[2 (ˆθ E(ˆθ)) (E(ˆθ) θ) ] = }{{}}{{}}{{} varianza di ˆθ costante costante = Var(ˆθ) + (E(ˆθ) θ) (E(ˆθ) θ) E[(ˆθ E(ˆθ))] = }{{} =D( ˆθ) = Var(ˆθ) + D(ˆθ) (E(ˆθ) θ) [E(ˆθ) E(ˆθ) ] = }{{} =0 = Var(ˆθ) + [D(ˆθ)] 2 (Dipartimento 9 / 1 di S

10 La decomposizione precedente mostra che l errore quadratico medio coincide con la varianza dello stimatore puntuale quando ˆθ è uno stimatore non distorto di θ: EQM θ (ˆθ) = Var(ˆθ) + [D(ˆθ) ] 2 = Var(ˆθ); }{{} =0 quindi, un confronto in termini di errore quadratico medio tra stimatori non distorti si semplifica in un confronto in termini di varianza. Definizione: Efficienza relativa Siano ˆθ 1 e ˆθ 2 due stimatori puntali non distorti del parametro θ. Diremo che ˆθ 1 è relativamente più efficiente di ˆθ 2 se Conclusione Var(ˆθ 1 ) < Var(ˆθ 2 ). Dalla definizione precedente si ricava che, all interno della classe degli stimatori puntuali non distorti del parametro θ, lo stimatore migliore è quello caratterizzato dalla varianza più bassa. (Dipartimento 10 / 1 di S

11 Esercizio. Sia X = (X 1, X 2,..., X 6 ) un vettore aleatorio a componenti indipendenti ed identicamente distribuiti estratto da una popolazione distribuita secondo una Poisson di parametro λ e siano T 1 = 2X 1 X + 4X 5 ; T 2 = 2X 2 + 6X 4 + 4X 6 12 due stimatori puntuali del parametro λ. Il candidato scelga lo stimatore migliore. Soluzione. Per poter scegliere tra i due stimatori puntuali del parametro λ è necessario calcolare EQM(T 1 ) e EQM(T 2 ); lo stimatore puntuale migliore sarà quello con errore quadratico medio più piccolo. Applicando la decomposizione dell errore quadratico medio si ricava che EQM(T 1 ) = Var(T 1 ) + [D(T 1 )] 2, quindi è necessario calcolare distorsione e varianza dello stimatore T 1. ( ) 2X1 X + 4X 5 E(T 1 ) = E = 2E(X 1) E(X ) + 4E(X 5 ). Data l ipotesi di identica distribuzione si ricava che E(T 1 ) = 2E(X ) E(X ) + 4E(X ) ovvero T 1 è uno stimatore non distorto del parametro λ. = 2λ λ + 4λ = λ = λ, (Dipartimento 11 / 1 di S

12 Data l ipotesi di stocastica indipendenza dei componenti del vettore aleatorio X, si ricava che ( ) 2X1 X + 4X 5 Var(T 1 ) = Var = 4Var(X 1) + 9Var(X ) + 16Var(X 5 ). 9 Data l ipotesi di identica distribuzione quindi Var(T 1 ) = 4Var(X ) + 9Var(X ) + 16Var(X ) 9 EQM(T 1 ) = 29 9 λ. = 4λ + 9λ + 16λ 9 = 29 9 λ, Consideriamo lo stimatore T 2. Applicando la decomposizione dell errore quadratico medio si ricava che EQM(T 2 ) = Var(T 2 ) + [D(T 2 )] 2, quindi è necessario calcolare distorsione e varianza dello stimatore T 2. ( ) 2X2 + 6X 4 + 4X 6 E(T 2 ) = E = 2E(X 2) + 6E(X 4 ) + 4E(X 6 ) Data l ipotesi di identica distribuzione si ricava che E(T 2 ) = 2E(X ) + 6E(X ) + 4E(X ) 12 ovvero T 2 è uno stimatore non distorto del parametro λ. = 2λ + 6λ + 4λ 12 = λ = λ, L (Dipartimento 12 / 1 di S

13 Data l ipotesi di stocastica indipendenza dei componenti del vettore aleatorio X, si ricava che ( ) 2X2 + 6X 4 + 4X 6 Var(T 2 ) = Var = 4Var(X 1) + 6Var(X 4 ) + 16Var(X 6 ) Data l ipotesi di identica distribuzione quindi Var(T 2 ) = 4Var(X ) + 6Var(X ) + 16Var(X ) 144 = 4λ + 6λ + 16λ 144 = λ, EQM(T 2 ) = λ. Se consideriamo il rapporto tra i due errori quadratici medi (varianze) si ricava che ovvero Var(T 1 ) Var(T 2 ) = (29/9) λ (56/144) λ = , Var(T 1 ) Var(T 2 ) > 1. Dato che Var(T 1 ) > Var(T 2 ), lo stimatore T 2 è relativamente più efficiente dello stimatore T 1. L (Dipartimento 1 / 1 di S

14 Esercizio. Sia X = (X 1, X 2, X, X 4 ) un campione casuale semplice estratto da una popolazione X distribuita secondo una Gamma di parametri r = e λ incognito, e siano due stimatore del valore atteso di X. T 1 = X 1 + X 2 + X T 2 = X 4, Soluzione. Per poter scegliere tra i due stimatori puntuali del valore atteso di X, ovvero E(X ) = r/λ = /λ è necessario calcolare EQM(T 1 ) e EQM(T 2 ); lo stimatore puntuale migliore sarà quello con errore quadratico medio più piccolo. Applicando la decomposizione dell errore quadratico medio si ricava che EQM(T 1 ) = Var(T 1 ) + [D(T 1 )] 2, quindi è necessario calcolare distorsione e varianza dello stimatore T 1. ( ) X1 + X 2 + X E(T 1 ) = E = E(X 1) + E(X 2 ) + E(X ). Data l ipotesi di identica distribuzione si ricava che E(T 1 ) = E(X ) + E(X ) + E(X ) ovvero T 1 è uno stimatore non distorto del valore atteso di X. = E(X ) = λ, (Dipartimento 14 / 1 di S

15 Data l ipotesi di stocastica indipendenza dei componenti del vettore aleatorio X, si ricava che ( ) X1 + X 2 + X Var(T 1 ) = Var = Var(X 1) + Var(X 2 ) + Var(X ). 9 Data l ipotesi di identica distribuzione Var(T 1 ) = Var(X 1) + Var(X 2 ) + Var(X ) 9 = 9 Var(X ) = 1 λ 2 = 1 λ 2, = Var(X ) + Var(X ) + Var(X ) 9 = quindi EQM(T 1 ) = 1 λ 2. L (Dipartimento 15 / 1 di S

16 Consideriamo lo stimatore T 2. Applicando la decomposizione dell errore quadratico medio si ricava che EQM(T 2 ) = Var(T 2 ) + [D(T 2 )] 2, quindi è necessario calcolare distorsione e varianza dello stimatore T 2. ( ) X4 E(T 2 ) = E = E(X 4). Data ipotesi di identica distribuzione si ricava che E(T 2 ) = E(X 4) = E(X ) = 1 λ = λ, ovvero T 2 è uno stimatore distorto del valore atteso di X : D(T 2 ) = E(T 2 ) E(X ) = λ λ =. λ L (Dipartimento 16 / 1 di S

17 Data l ipotesi di stocastica indipendenza dei componenti del vettore aleatorio X, si ricava che ( ) X4 Var(T 2 ) = Var = Var(X 4) Data l ipotesi di identica distribuzione quindi Ricordando che si deduce che Var(T 2 ) = Var(X 4) = 1 Var(X ) = 1 λ 2 = 1 λ 2 ( EQM(T 2 ) = 1 ) 2 λ 2 +. λ EQM(T 1 ) = 1 λ 2, EQM(T 1 ) < EQM(T 2 ) quindi lo stimatore T 1 è preferibile allo stimatore T 2. L (Dipartimento 17 / 1 di S

18 Il metodo della massima verosimiglianza Negli appunti precedente abbiamo visto i principali criteri che consentono di confrontare due o più stimatori puntuali del parametro θ. Occorre affrontare il problema di come definire un metodo che consenta di costruire stimatori puntuali del parametro θ. Fra i diversi metodi proposti in letteratura, nel seguito focalizzeremo la nostra attenzione sul metodo della massima verosimiglianza, proposto dallo statistico Sir. Ronald Fisher tra il 1912 e il Alla base del metodo vi è il concetto di funzione di verosimiglianza. Definizione: funzione di verosimiglianza Sia X = (X 1,..., X n) un vettore aleatorio estratto da una popolazione con funzione di densità f X (x; θ) e si indichi con x = (x 1,..., x n) una sua realizzazione campionaria. Si definisce funzione di verosimiglianza del parametro θ, denotata con L(θ; x), la funzione di densità di probabilità del vettore aleatorio x vista come funzione del parametro θ. Formalmente L(θ; x) = f X (x; θ). Se il vettore aleatorio X è a componenti indipendenti ed identicamente distribuiti, la funzione di verosimiglianza può essere semplificata nel seguente modo: L(θ; x) = n f X (x i ; θ). (Dipartimento 18 / 1 di S

19 Interpretazione Data la realizzazione campionaria x, la funzione di verosimiglianza, valutata in θ, misura quanto è plausibile che il vettore x sia stato generato da una densità con parametro θ. Per chiarire l interpretazione dei valori forniti dalla funzione di verosimiglianza, consideriamo il seguente esempio. Sia x = (, 2,, 2, 1) la realizzazione di un vettore aleatorio a componendi indipendenti ed identicamente distribuiti estratto da una popolazione X distribuita secondo una Poisson di parametro λ. Data l ipotesi di indipendenza ed identica distribuzione, si ricava che L(λ; x) = = 5 5 λ x i e λ p(x i ; λ) = x i! λ 11 e 5λ! 2!! 2! 1! = λ11 e 5λ. 144 = λ n x i e 5λ 5 x i! L espressione precedente mostra che, data la realizzazione campionaria x, la funzione di verosimiglianza è una funzione del solo parametro λ. = (Dipartimento 19 / 1 di S

20 Supponiamo di valutare la funzione di verosimiglianza nel punto λ =, ovvero L(; x) = 11 e Il valore precedentemente ottenuto ci dice che la plausibilità che il vettore x sia stato generato da una Poisson di parametro λ = è pari, approssimativamente, a Se invece valutiamo la funzione di verosimiglianza nel punto λ = 2 otteniamo che L(2; x) = 211 e Dall interpretazione dei valori forniti dalla funzione di verosimiglianza si ricava che è più plausibile che la realizzazione campionaria x sia stata generata da una Poisson di parametro λ = 2 che λ = (dato che L(2; x) > L(; x)). L (Dipartimento 20 / 1 di S

21 funzione di verosimiglianza L(λ, x) 0e+00 1e-04 2e-04 e-04 4e-04 5e-04 6e-04 7e Il grafico mostra l andamento della funzione di verosimiglianza per i valori del parametro λ compresi tra 0 e 6. L iterazione della logica utilizzata in precedente suggerisce che, fra tutti i possibili valori che può assumere il parametro λ, la nostra scelta ricade sul valore che rende massima la plausibilità. λ L (Dipartimento 21 / 1 di S

22 funzione di verosimiglianza L(λ, x) 0e+00 1e-04 2e-04 e-04 4e-04 5e-04 6e-04 7e λ^ Definizione: stimatore di massima verosimiglianza Sia x una realizzazione campionaria e sia L(θ; x) la funzione di verosimiglianza. Si definisce stimatore di massima verosimiglianza, denotato con ˆθ, la statistica che rende massima la funzione di verosimiglianza, ovvero: λ ˆθ = arg max L(θ; x). θ Θ (Dipartimento 22 / 1 di S

23 Nelle applicazioni, la massimizzazione della funzione di verosimiglianza può non essere un operazione semplice per questo motivo si preferisce massimizzare una trasformata biunivoca di L(θ; x). Definizione: Funzione di log-verosimiglianza Sia x una realizzazione campionaria e sia L(θ; x) la funzione di verosimiglianza. funzione di log-verosimiglianza il logaritmo della funzione di verosimiglianza: l(θ; x) = log L(θ; x). Si definisce Se il vettore aleatorio X è a componenti indipendenti ed identicamente distribuiti si ricava che l(θ; x) = log L(θ; x) = log n f X (x i ; θ) = n log f X (x i ; θ). Osservazione Data la biunivocità della funzione logaritmo, massimizzare la funzione di log-verosimiglianza è equivalente a massimizzare la funzione di verosimiglianza quindi lo stimatore di massima verosimiglianza può anche essere definito come quella statistica che massimizza la funzione di log-verosimiglianza. Formalmente ˆθ = arg max L(θ; x) = arg max l(θ; x). θ Θ θ Θ (Dipartimento 2 / 1 di S

24 funzione di verosimiglianza L(λ, x) 0e+00 e-04 6e λ^ λ funzione di log-verosimiglianza l(λ, x) λ^ λ L (Dipartimento 24 / 1 di S

25 Esercizio. Sia X = (X 1, X 2,..., X n) un vettore aleatorio a componenti indipendenti ed identicamente distribuiti estratto da una popolazione distribuita secondo una Poisson di parametro λ. Determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro del valore atteso di X. Soluzione. Dato che E(X ) = λ, il nostro obiettivo diventa determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro λ, a tal fine determiniamo la funzione di log-verosimiglianza. Data l ipotesi di indipendenza ed identica distribuzione del vettore X si ricava che l(λ; X) = n = log λ log λx i e λ X i! = n n X i nλ log X i! n (X i log λ λ log X i!) = Per massimizzare la funzione di log-verosimiglianza è necessario determinare la derivata di l(λ; X) rispetto a λ, ovvero dl(λ; X) = d(log λ n X i nλ n log X i!) n = X i n dλ dλ λ (Dipartimento 25 / 1 di S

26 Dalla definizione di stimatore di massima verosimiglianza, si ricava che ˆλ deve annullare la derivata prima di l(λ; X), ovvero dl(ˆλ; X) = 0. dλ Utilizzando il precedente risultato si ricava che ˆλ risolve la seguente equazione n X i n = 0, ˆλ da cui si ricava facilmente che n ˆλ = X i = X, n ovvero lo stimatore del valore atteso di X è la media campionaria. L (Dipartimento 26 / 1 di S

27 Proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza L esercizio precedente mostra che, nel caso di una distribuzione di Poisson, determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del valore atteso di X coincide con il problema di determinare lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro λ. Esistono applicazioni dove l oggetto dell inferenza non è il parametro della distribuzione della popolazione di riferimento; il seguente esempio chiarisce il problema in esame. Esempio. Sia X = (X 1,..., X n) un vettore a componenti indipendenti ed identicamente distribuiti con X Exp(λ). Oggetto dell analisi è fare inferenza sul valore atteso e sulla varianza di X, ovvero: E(X ) = 1 λ e V (X ) = 1 λ 2. Le espressioni precedenti mostrano che il nostro obiettivo non è fare inferenza sul parametro λ ma fare inferenza su due nuovi parametri, ovvero il valore atteso e la varianza di X, definiti come funzioni del parametro λ: E(X ) = g 1 (λ) = 1 λ e V (X ) = g 2 (λ) = 1 λ 2. (Dipartimento 27 / 1 di S

28 Il precedente esempio suggerisce il seguente generico problema. Sia X un vettore aleatorio estratto dalla popolazione X con funzione di densità di probabilità dipendente dal parametro θ. Oggetto dell analisi è stimare un nuovo parametro, denotato con τ, definito come funzione del parametro θ, formalmente: τ = g(θ). Quando la funzione g( ) è una funzione iniettiva, la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza consente di ricavare agevolmente lo stimatore di massima verosimiglianza del nuovo parametro τ. Proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza Sia X un vettore aleatorio estratto dalla popolazione X con funzione di densità di probabilità dipendente dal parametro θ e si denoti con ˆθ il corrispondente stimatore di massima verosimiglianza. Se g( ) è una funzione iniettiva, allora lo stimatore di massima verosimiglianza del nuovo parametro è definito nel seguente modo τ = g(θ) ˆτ = g(ˆθ). Terminologia: quando la funzione g( ) è iniettiva, la trasformazione τ = g(θ) prende il nome di riparametrizzazione. (Dipartimento 28 / 1 di S

29 Esercizio. Sia X = (X 1, X 2,..., X n) un campione casuale semplice estratto da una popolazione X distribuita secondo una Gamma di parametri r = e λ incognito. Il candidato costruisca lo stimatore di massima verosimiglianza del valore atteso e della varianza della popolazione X. Soluzione. Dato che X Γ(r =, λ) si ricava che E(X ) = r λ = λ e V (X ) = r λ 2 = λ 2, quindi, oggetto dell inferenza sono le due riparametrizzazioni E(X ) = τ 1 = g 1 (λ) = λ e V (X ) = τ 2 = g 2 (λ) = λ 2. Dato che le funzioni g 1 ( ) e g 2 ( ) sono iniettive, la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza ci consente di dire che gli stimatori di massima verosimiglianza dei parametri τ 1 e τ 2 sono ottenuti nel seguente modo Ê(X ) = ˆτ 1 = g 1 (ˆλ) = ˆλ e Var(X ) = ˆτ2 = g 2 (ˆλ) = ˆλ 2, dove ˆλ è lo stimatore di massima verosimiglianza del parametro λ. (Dipartimento 29 / 1 di S

30 Dato che X Γ(r =, λ), la funzione di densità è la seguente: f X (x; λ) = λ x 2 e λx, Γ() quindi, data l ipotesi di indipendenza ed identica distribuzione del vettore X si ricava che l(λ; X) = n log λ X 2 i e λx i Γ() = n n = n log λ + 2 log X i λ X i n log Γ(). n ( ) log λ + 2 log X i λx i log Γ() = Per massimizzare la funzione di log-verosimiglianza è necessario determinare la derivata prima di l(λ; X) rispetto a λ, ovvero ( dl(λ; X) d n log λ + 2 n log X i λ ) n X i n log Γ() = = dλ dλ = n n λ X i. L (Dipartimento 0 / 1 di S

31 Dalla definizione di stimatore di massima verosimiglianza, si ricava che ˆλ deve annullare la derivata prima di l(λ; X), ovvero dl(ˆλ; X) = 0. dλ Utilizzando il precedente risultato si ricava che ˆλ risolve la seguente equazione da cui si ricava facilmente che ˆλ = n ˆλ n n X i n X i = 0, = n X i n = X. Applicando la proprietà di invarianza degli stimatori di massima verosimiglianza si ottiene: Ê(X ) = ˆτ 1 = ˆλ = X = X, Var(X ) = ˆτ 2 = ˆλ 2 = 9 X 2 = X 2. L (Dipartimento 1 / 1 di S