STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA
|
|
- Donata Massaro
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 STIMA DELLA VARIANZA CAMPIONARIA Abbiamo visto che una stima puntuale corretta per il valore atteso µ delle variabili aleatorie X i è x n = (x x n )/n. Una stima puntuale della varianza σ 2 delle variabili aleatorie X i è la varianza campionaria s 2 n s 2 n = (x 1 x) 2 + (x 2 x) (x n x) 2 n 1 Mostriamo che anche questa stima puntuale è corretta ossia che il valore medio dello stimatore S 2 n = (X 1 X) 2 + (X 2 X) (X n X) 2 n 1 è uguale alla varianza σ 2 delle variabili aleatorie X i.
2 Si consideri un campione di numerosità n da una popolazione: n variabili aleatorie X 1,.., X n, con stessa distribuzione di cui non si conosce la varianza σ 2. Otteniamo n numeri x 1,..x n (x i è il valore osservato della variabile aleatoria X i ). Sembra naturale prendere come stima di σ 2 il numero a n = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x n µ) 2 n In effetti a n è una stima corretta se il valore atteso µ delle variabili X i è noto. Sia a n una realizzazione della variabile aleatoria A n (lo stimatore: stessa definizione di a n ma con le realizzazioni x i sostituite dalle corrispondenti variabili aleatorie X i ). Vericare che E(A n ) = σ 2 è semplice, infatti dalla equazione qui sopra, tenendo presente che le variabili X i sono identicamente distribuite, si ha che E(A n ) = E[(X 1 µ) 2 ] = σ 2
3 Tuttavia molto spesso anche il valore atteso è ignoto e quindi sembra ragionevole sostituire µ con la sua stima che è la media campionaria x n. b n = (x 1 x n ) 2 + (x 2 x n ) (x n x n ) 2 n In effetti b n NON è una stima corretta. Vericare che E(B n ) σ 2 è semplice, infatti dalla equazione qui sopra, tenendo presente che le variabili X i sono identicamente distribuite, si ha [ ( E(B n ) = E[(X 1 X n ) 2 ] = E X 1 X ) ] 1 + X X 2 n n
4 Tenendo presente che X i e X j sono indipendenti se i j si ha E(X i X j ) = E(X i )E(X j ) = µ 2 per i j (si noti che la prima uguaglianza, che non dimostriamo, è una diretta conseguenza dell indipendenza). Si ha inoltre E[Xi 2 ] = µ 2 + σ 2 per ogni i, usando questi risultati si ottiene E(B n ) = n 1 n σ2 e quindi B n non è uno stimatore corretto. Se invece di dividere per n si divide per n 1 si ottiene uno stimatore è corretto. In definitiva uno stimatore puntuale corretto della varianza σ 2 è S 2 n = (X 1 X) 2 + (X 2 X) (X n X) 2 n 1 ossia è la varianza campionaria perchè E(S 2 n) = n n 1 E(B n) = σ 2.
5 DISTRIBUZIONE DELLA VARIANZA CAMPIONARIA Abbiamo visto S 2 n è uno stimatore corretto di σ 2. Si può inoltre dimostrare (sostanzialmente un applicazione della legge dei grandi numeri) che per ogni a positivo, P( S 2 n σ 2 > a) 0 quando n. Questo significa che S 2 n σ 2 per grandi n. Se la distribuzione della popolazione è normale (se le X i sono gaussiane) si può dimostrare un risultato più preciso col seguente teorema Teorema La variabile aleatoria (n 1) S2 n σ 2 = 1 σ 2 n (x i x) 2 ha una distribuzione del chi-quadrato a n 1 gradi di libertà. Non descriveremo qui questa distribuzione (in realtà una famiglia di distribuzioni di parametro n 1). i=1
6 RIASSUMENDO Per un campione di numerosità n estratto da una popolazione con distribuzione di media µ e varianza σ si ha che E(S 2 n) = σ 2 per ogni n, S 2 n σ 2 quando n (non realizzabile in pratica), (n 1) S2 n ha una distribuzione del chi-quadrato a n 1 gradi σ 2 di libertà se le X i sono gaussiane. (n 1) S2 n ha approssimativamente una distribuzione del σ 2 chi-quadrato a n 1 gradi di libertà se le X i non sono gaussiane. Si noti che la varianza campionaria è una stima della varianza σ 2. Dato che S n σ 2 per n, la sua precisione (efficienza) aumenta al crescere di n.
7 DISTRIBUZIONE DELLE MEDIA CAMPIONARIA (VARIANZA INCOGNITA). I risultati finora ottenuti ci permettono quindi di dire quindi che X n ha media µ e varianza σ/ n. Inoltre per n sufficientemente grandi, la variabile Z n = ( X n µ)/(σ/ n) è approssimativamnte una normale standard. Abbiamo infine visto che per n grandi la variabile aleatoria S n coincide colla varianza σ. Se non si conosce la varianza σ ha quindi senso rimpiazzarla con S n e definire la variabile aleatoria T n = X n µ S n / n Teorema. Se le X i sono normali, T n è una variabile aleatoria avente la distribuzione t di Student con grado di libertà n-1.
8 Non descriveremo qui la distribuzione t di Student, Tuttavia notiamo che al crescere di n la variabile aleatoria S 2 n coincide sempre più con la varianza σ 2 e quindi la variabile T n coincide con Z n (le due variabili sono legate dalla relazione T n = Z n σ/s n ). Per questo motivo la t di Student è sempre meglio approssimata da una normale standard al crescere di n. Normale standard comparata a una t di Student con n 1 = 4.
9 RIASSUMENDO Se le variabili X i non sono gaussiane, la variabile T n è solo approssimativamente distribuita come una t di Studente di parametro n 1. Quindi per un campione di numerosità n estratto da una popolazione con distribuzione di media µ e varianza σ si ha che T n ha una distribuzione t di Student a n 1 gradi di libertà se le X i sono gaussiane, T n ha approssimativamente una distribuzione t di Student a n 1 gradi di libertà se le X i non sono gaussiane, T n ha approssimativamente una distribuzione normale standard se n è grande (anche per X i non gaussiane).
10 Abbiamo visto che la media campionaria è uno stimatore corretto del valore atteso µ e la varianza campionaria è uno stimatore corretto della varianza σ 2. Lo stimatore di un parametro non è unico: per decidere quale tra 2 stimatori corretti sia il migliore si usa il criterio di scegliere quello più efficiente ossia quello per cui la varianza è minore. Esercizio 1. Si consideri un campione x 1,...,x n di variabili aleatorie discrete X i che assumono i tre valori 0, -1, 1 con probabilità p( 1) = a 2, p(0) = 1 a, p(1) = a 2 (1) Per quali a la funzione p è una distribuzione di probabilità? Risposta: deve essere 0 p(i) 1 per ogni i = 0, 1, 1 quindi a deve essere a [0, 1]. Inoltre deve essere p( 1) +p(0)+p(1) = 1, cosa vera per ogni a.
11 (2) Calcolare valore atteso e varianza. Risposta: E(X 1 ) = ( 1) a a + 0 (1 a) = 0. var(x 1 ) = E(X 2 1 ) = ( 1) 2 a (1 a) a 2 = a (3). Si considerino i seguenti 2 stimatori di a: Γ = 1 n n X i, Λ = X n i=1 I due stimatori sono corretti? Risposta: E(Λ) = E( X n ) = 1 p( 1) + 0 p(0) + 1 p(1) = a
12 Poichè le X i. hanno stessa distribuzione: E(Γ) = 1 n n E( X i ) = 1 n i=1 n a = a i=1 Quindi sia Γ che Λ sono stimatori corretti. (4) Si calcoli la varianza dei due stimatori. Risposta: la varianza di Λ è ( var(λ) = E ( X n a) 2) = E ( X n 2) a 2 E ( X n 2) = ( 1) 2 p( 1) p(0) p(1) = a 2 + a 2 = a quindi var(λ) = a a 2 = a(1 a).
13 Poichè le variabili aleatorie sono indipendenti e con stessa distribuzione: var(γ) = var( 1 n n X i ) = 1 n n 2 var( X i ) i=1 i=1 = 1 n n 2 var( X n ) = 1 n 2 i=1 n i=1 (5) Quale è lo stimatore più efficiente? Risposta: si ha a(1 a) = 1 a(1 a) n var(γ) var(λ) = 1 < 1, per ogni n > 1 n Quindi Γ è più efficiente di Λ.
14 Esercizio 2. Si consideri un campione x 1,...,x n di variabili aleatorie discrete X i che assumono i due valori 0 e 1 con probabilità 1 p e p rispettivamente. (1) Si calcolino µ = E(X i ) e σ = var(x i ) in funzione di p. Risposta: Si deve avere µ = 0 (1 p) + 1 p = µ per cui µ = p, che implica µ [0, 1]. Inoltre σ 2 = E(X 2 i ) µ 2 = 0 2 (1 p) p p 2 = p(i p). (2) Lo stimatore di p Γ = 1 12 X 1 + 3(X 2 + X 3 ) è corretto? Risposta: Poichè le X i hanno stessa distribuzione: E(Γ) = 1 12 E(X 1)+3E(X 2 )+3E(X 3 ) = E(X 1 )[ ] = µ = p quindi Γ è distorto (il suo valore atteso non coincide con p).
15 (3) Si determini una costante c tale che posto Λ = cγ, Λ è uno stimatore corretto di p. Risposta: siccome E(Γ) = 73p/12), per c = si ha che quindi E(Λ) = E(Γ) = p Λ = 1 73 X (X 2 + X 3 ) è uno stimatore corretto di p. (4) Si compari lo stimatore corretto di µ (e quindi di p = µ) X 3 = (X 1 + X 2 + X 3 )/3 con Λ e si dica quale è quello piú efficiente
16 Risposta: per le proprietà della varianza var(λ) = ( ) 1 2 var(x 1 ) + 73 ( ) 36 2 var(x 2 ) + 73 ( ) 36 2 var(x 3 ) 73 inoltre tenendo presente che le variabili X i sono identicamente distribuite con varianza σ 2 var(λ) = σ 2 [ ( 1 73) ( ) ] 36 2 = 0.49 σ 2 73 Si ha invece var( X 3 ) = σ 2 /3 = 0, 33 σ 2 e quindi var( X 3 ) var(λ) = 0, 33 0, 49 < 1 Quindi X 3 è più efficiente di Λ.
Teorema del limite centrale TCL
Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni
DettagliSTATISTICHE, DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE E INFERENZA
Metodi statistici e probabilistici per l ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Civile A.A. 2009-10 Facoltà di Ingegneria, Università di Padova Docente: Dott. L. Corain 1 STATISTICHE, DISTRIBUZIONI CAMPIONARIE
DettagliCampionamento e stima di parametri
Sia X una variabile aleatoria associata a un dato esperimento. Ripetiamo l esperimento n volte, ottenendo una famiglia di valori sperimentali della v.a. X : X = (X 1, X 2,..., X n ) ogni X i é una v.a.
DettagliDistribuzioni campionarie. Antonello Maruotti
Distribuzioni campionarie Antonello Maruotti Outline 1 Introduzione 2 Concetti base Si riprendano le considerazioni fatte nella parte di statistica descrittiva. Si vuole studiare una popolazione con riferimento
DettagliStatistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /2e S. Borra, A. Di Ciaccio - McGraw Hill
Statistica - metodologie per le scienze economiche e sociali /e S. Borra A. Di Ciaccio - McGraw Hill s. 9. Soluzione degli esercizi del capitolo 9 In base agli arrotondamenti effettuati nei calcoli si
DettagliEsercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Intervalli di confidenza Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 10 Dicembre 2014 Stefania Spina Esercitazioni di statistica 1/43 Stefania Spina
DettagliAlcune nozioni introduttive alla statistica
Capitolo 1 Alcune nozioni introduttive alla statistica 1.1 Valore atteso e varianza di variabili casuali Definizione 1. Se X è una variabile casuale discreta con distribuzione p(x), ossia P(X = x i ) =
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 5
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. Approssimazione normale della Poisson (TLC) In un determinato tratto di strada il numero di incidenti
DettagliSTATISTICA INDUTTIVA: STIMA DI PARAMETRI STIMA PUNTUALE
S.S.I.S TOSCANA F.I.M. -II anno STATISTICA INDUTTIVA: STIMA DI PARAMETRI STIMA PUNTUALE PROBLEMA 1 Vogliamo valutare la percentuale p di donne fumatrici tra le donne in età fertile. Procediamo all estrazione
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica La distribuzione delle statistiche campionarie Teorema del limite centrale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio (Scozzafava) Una ferrovia metropolitana
DettagliTeorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazion
Teorema del limite centrale TCL Questo importante teorema della statistica inferenziale si applica a qualsiasi variabile aleatoria che sia combinazione lineare di N variabili aleatorie le cui funzioni
DettagliTecniche di sondaggio
SMID a.a. 2005/2006 Corso di Statistica per la Ricerca Sperimentale Tecniche di sondaggio 24/1/2006 Nomenclatura Indicheremo con P una popolazione, con N la sua numerosità, con k la sua etichetta e con
DettagliCorso di Statistica - Prof. Fabio Zucca IV Appello - 5 febbraio Esercizio 1
Corso di Statistica - Prof. Fabio Zucca IV Appello - 5 febbraio 2015 Nome e cognome: Matricola: c I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. 8994
DettagliCarta di credito standard. Carta di credito business. Esercitazione 12 maggio 2016
Esercitazione 12 maggio 2016 ESERCIZIO 1 Si supponga che in un sondaggio di opinione su un campione di clienti, che utilizzano una carta di credito di tipo standard (Std) o di tipo business (Bsn), si siano
DettagliCampionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione
Campionamento La statistica media campionaria e la sua distribuzione 1 Definisco il problema da studiare: es. tempo di percorrenza tra abitazione e università Carattere: tempo ossia v.s. continua Popolazione:
DettagliDistribuzioni di Probabilità
Distribuzioni di Probabilità Distribuzioni discrete Distribuzione uniforme discreta Distribuzione di Poisson Distribuzioni continue Distribuzione Uniforme Distribuzione Gamma Distribuzione Esponenziale
DettagliTest delle ipotesi. Le differenze che vengono riscontrate possono essere ovviamente ricondotte a due possibilità:
Test delle ipotesi Test delle ipotesi Nel cercare di costruire un legame tra dati osservati e ipotesi teoriche sulle caratteristiche dell intera popolazione si deve, in genere, prendere una decisione per
DettagliX = X 1 + X 2 +... + X n. dove. 1 se alla i-esima prova si ha un successo 0 se alla i-esima prova si ha un insuccesso. X i =
PIU DI UNA VARIABILE CASUALE Supponiamo di avere n variabili casuali, X 1, X 2,..., X n. Le n variabili casuali si dicono indipendenti se e solo se P(X 1 x 1 X 2 x 2... X n x n ) = = P(X 1 x 1 ) P(X 2
DettagliContenuto del capitolo
Capitolo 8 Stima 1 Contenuto del capitolo Proprietà degli stimatori Correttezza: E(Stimatore) = parametro da stimare Efficienza Consistenza Intervalli di confidenza Per la media - per una proporzione Come
DettagliE naturale chiedersi alcune cose sulla media campionaria x n
Supponiamo che un fabbricante stia introducendo un nuovo tipo di batteria per un automobile elettrica. La durata osservata x i delle i-esima batteria è la realizzazione (valore assunto) di una variabile
DettagliStatistica 2. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo
Statistica 2 Esercitazioni Dott. L 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it
DettagliESAME. 9 Gennaio 2017 COMPITO A
ESAME 9 Gennaio 2017 COMPITO A Cognome Nome Numero di matricola 1) Approssimare tutti i calcoli alla quarta cifra decimale. 2) Ai fini della valutazione si terrà conto solo ed esclusivamente di quanto
DettagliLA MEDIA CAMPIONARIA 14-1
LA MEDIA CAMPIONARIA Prendiamo un urna e inseriamo 10 palline numerate da 0 a 9 (questa è la nostra popolazione ). La media dei 10 valori è 4.5 (questa è la media vera µ). La varianza dei 10 valori è 8.25
DettagliScritto del
Dip. di Ingegneria, Univ. Roma Tre Prof. E. Scoppola, Dott.M. Quattropani Probabilità e Statistica, 2017-18, I semestre 26 Giugno 2018 Scritto del 26-6 -18 Cognome Nome Matricola Esercizio 1. Un urna contiene
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizio 1 (stima puntuale) In un processo di controllo di qualità, siamo interessati al numero mensile di guasti
DettagliCapitolo 11 Test chi-quadro
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 11 Test chi-quadro Insegnamento: Statistica Corsi di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioni di Statistica Stima Puntuale Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma.it Esercizio In ciascuno dei casi seguenti determinare quale tra i due stimatori S e T per il parametro θ è distorto
DettagliESAME. 9 Gennaio 2017 COMPITO B
ESAME 9 Gennaio 2017 COMPITO B Cognome Nome Numero di matricola 1) Approssimare tutti i calcoli alla quarta cifra decimale. 2) Ai fini della valutazione si terrà conto solo ed esclusivamente di quanto
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2017/2018 ST410 Statistica 1
Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2017/2018 ST410 Statistica 1 Lezione 1 - Mercoledì 27 Settembre 2017 Introduzione al corso. Richiami di probabilità: spazi di probabilità, variabili aleatorie,
Dettaglilezione 4 AA Paolo Brunori
AA 2016-2017 Paolo Brunori dove eravamo arrivati - abbiamo individuato la regressione lineare semplice (OLS) come modo immediato per sintetizzare una relazione fra una variabile dipendente (Y) e una indipendente
DettagliSTATISTICA A K (60 ore)
STATISTICA A K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it STIMA PUNTUALE (p. 55) Il parametro è stimato con un unico valore Esempio: stima della share di un programma TV = % di spettatori
DettagliGli intervalli di confidenza. Intervallo di confidenza per la media (σ 2 nota) nel caso di popolazione Gaussiana
Statistica Lez. 1 Gli intervalli di confidenza Intervallo di confidenza per la media (σ nota) nel caso di popolazione Gaussiana Sia X una v.c Gaussiana di media µ e varianza σ. Se X 1, X,..., X n è un
DettagliII Esonero - Testo B
Dip. di Ingegneria, Univ. Roma Tre Prof. E. Scoppola, Dott.M. Quattropani Probabilità e Statistica, 2017-18, I semestre 29 Gennaio 2018 II Esonero - Testo B Cognome Nome Matricola Esercizio 1. (20%) Si
DettagliDistribuzioni campionarie
Le distribuzioni campionarie sono quelle che derivano dalla presenza di campioni i.i.d. a distribuzione normale. Definizione. Se X è una v.a. avente distribuzione N(0, ), allora Y = X ha distribuzione
DettagliTeoremi limite. Enrico Ferrero. 27 febbraio 2007
Teoremi limite Enrico Ferrero 27 febbraio 2007 LA DISEGUAGLIANZA DI CHEBYCHEV Sia X una variabile aleatoria avente valore medio µ e varianza σ 2. Sia poi K un arbitrario numero positivo. È possibile dimostrare
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2014/2015 ST410 Statistica 1
Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2014/2015 ST410 Statistica 1 Lezione 1 - Martedì 23 Settembre 2014 Introduzione al corso. Richiami di probabilità: spazi di probabilità, variabili aleatorie,
DettagliIl Teorema del limite Centrale (TLC)
(TLC) Teorema. Sia X 1,..., X n un campione i.i.d. per una v.a. X, avente E(X ) = µ e Var(X ) = σ 2 entrambi finiti. Allora Z n = X µ σ 2 n n Y N(0, 1) Si noti che nel calcolare Z n ho standardizzato X.
DettagliEsercizi di Probabilità
Esercizi di Probabilità Annalisa Cerquetti - Sandra Fortini Vai all indice Istituto di Metodi Quantitativi, Viale Isonzo, 25, 2033 Milano, Italy. E-mail: annalisa.cerquetti@unibocconi.it,sandra.fortini@unibocconi.it
DettagliEsercizi di Probabilità e Statistica
Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 6 giugno 26 Statistica Esercizio Sia {X n } n una famiglia di v.a. di media µ e varianza σ 2. Verificare che X = n n X i σ 2 = n (X i µ) 2 S 2 = n
DettagliUNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 2014/2015 II Esonero - 15 Gennaio 2015
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica ST410 - Statistica 1 - A.A. 014/015 II Esonero - 15 Gennaio 015 1 3 4 5 6 Tot. Avvertenza: Svolgere ogni esercizio nello spazio assegnato,
DettagliUniversità degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1
Università degli Studi Roma Tre Anno Accademico 2016/2017 ST410 Statistica 1 Lezione 1 - Mercoledì 28 Settembre 2016 Introduzione al corso. Richiami di probabilità: spazi di probabilità, variabili aleatorie,
DettagliStatistica Applicata all edilizia: Stime e stimatori
Statistica Applicata all edilizia E-mail: orietta.nicolis@unibg.it 15 marzo 2011 Statistica Applicata all edilizia: Indice 1 2 Statistica Applicata all edilizia: Uno dei problemi principali della statistica
DettagliCorso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino)
Corso di Laurea Triennale in Matematica Calcolo delle Probabilità I (docenti G. Nappo, F. Spizzichino Prova di Mercoledì giugno 4 (tempo a disposizione: ore. Scrivere su ogni foglio NOME e COGNOME. Le
DettagliRichiami di inferenza statistica. Strumenti quantitativi per la gestione. Emanuele Taufer
Richiami di inferenza statistica Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Inferenza statistica Inferenza statistica: insieme di tecniche che si utilizzano per ottenere informazioni su una
DettagliRichiami di inferenza statistica Strumenti quantitativi per la gestione
Richiami di inferenza statistica Strumenti quantitativi per la gestione Emanuele Taufer Inferenza statistica Parametri e statistiche Esempi Tecniche di inferenza Stima Precisione delle stime Intervalli
DettagliCP110 Probabilità: Esame 13 settembre Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2011-12, II semestre 13 settembre, 2012 CP110 Probabilità: Esame 13 settembre 2012 Testo e soluzione 1. (6 pts) Una scatola contiene 10 palline, 8 bianche
DettagliLA LUNGHEZZA DEI GENI UMANI (Es4.1)
STATISTICA INFERENZIALE: le caratteristiche della popolazione complessiva sono indotte da quelle osservate su un campione estratto dalla popolazione stessa(esempio exit poll) PROBLEMA: dato un campione
DettagliTutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica 30 maggio 2016
Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica 30 maggio 2016 Esercizi possibili di probabilità e statistica Notazioni: U(a, b) è la distribuzione di probabilità uniforma nell intervallo (a,
DettagliTest di ipotesi. Test
Test di ipotesi Test E una metodologia statistica che consente di prendere una decisione. Esempio: Un supermercato riceve dal proprio fornitore l assicurazione che non più del 5% delle mele di tipo A dell
DettagliStatistica Metodologica
Statistica Metodologica Esercizi di Probabilita e Inferenza Silvia Figini e-mail: silvia.figini@unipv.it Problema 1 Sia X una variabile aleatoria Bernoulliana con parametro p = 0.7. 1. Determinare la media
DettagliLa distribuzione normale
La v.a. normale standardizzata La distribuzione normale standardizzata La distribuzione normale è difficilmente trattabile dal punto di vista calcolatorio, a causa dei suoi due parametri, µ e σ 2. Il ricorso
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 8 Abbiamo visto: Metodi per la determinazione di uno stimatore Metodo di massima verosimiglianza
DettagliEsercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo
Esercitazione 4 Distribuzioni campionarie e introduzione ai metodi Monte Carlo 1. Gli studi di simulazione possono permetterci di apprezzare alcune delle proprietà di distribuzioni campionarie ricavate
DettagliESERCIZIO 1 Si considerino n v.c. Xi (i = 1,, n) tra loro indipendenti e somiglianti con media 10 e varianza 4. Si determini:
ESERCIZIO 1 Si considerino n v.c. Xi (i = 1,, n) tra loro indipendenti e somiglianti con media 10 e varianza 4. Si determini: VALORE ATTESO Variabile casuale SOMMA delle n variabili Variabile casuale MEDIA
DettagliMatematica con elementi di Informatica
Statistica descrittiva ed inferenziale Matematica con elementi di Informatica Tiziano Vargiolu Dipartimento di Matematica vargiolu@math.unipd.it Corso di Laurea Magistrale in Chimica e Tecnologie Farmaceutiche
DettagliCapitolo 7. Distribuzioni campionarie. Statistica. Levine, Krehbiel, Berenson
Levine, Krehbiel, Berenson Statistica Capitolo 7 Distribuzioni campionarie Insegnamento: Statistica Applicata Corsi di Laurea in "Scienze e tecnologie Alimentari" Unità Integrata Organizzativa Agraria,
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale a) L Intervallo di Confidenza b) La distribuzione t di Student c) La differenza delle medie d) L intervallo di confidenza della differenza Prof Paolo Chiodini Dalla Popolazione
DettagliTest di ipotesi su due campioni
2/0/20 Test di ipotesi su due campioni Confronto tra due popolazioni Popolazioni effettive: unità statistiche realmente esistenti. Esempio: Confronto tra forze lavoro di due regioni. Popolazioni ipotetiche:
DettagliCP110 Probabilità: Esame 2 settembre Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2010-11, II semestre 2 settembre, 2011 CP110 Probabilità: Esame 2 settembre 2011 Testo e soluzione 1. (5 pts) Nel gioco dello Yahtzee si lanciano cinque
DettagliIl campionamento e l inferenza. Il campionamento e l inferenza
Il campionamento e l inferenza Popolazione Campione Dai dati osservati mediante scelta campionaria si giunge ad affermazioni che riguardano la popolazione da cui essi sono stati prescelti Il campionamento
DettagliStima puntuale di parametri
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica Stima puntuale di parametri Ines Campa Probabilità e Statistica -
DettagliEsercitazione # 6. a) Fissato il livello di significatività al 5% si tragga una conclusione circa l opportunità di avviare la campagna comparativa.
Statistica Matematica A Esercitazione # 6 DUE MEDIE CON VARIANZE NOTE: Esercizio # Le ditte A e B producono sfere luminose. Una volta attivata la reazione chimica che rende luminosa una di queste sfere,
DettagliContenuti: Capitolo 14 del libro di testo
Test d Ipotesi / TIPICI PROBLEMI DI VERIFICA DI IPOTESI SONO Test per la media Test per una proporzione Test per la varianza Test per due campioni indipendenti Test di indipendenza Contenuti Capitolo 4
DettagliCostruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini e Leonardo Bertini. Lezione 7: Basi di statistica
Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini e Leonardo Bertini Lezione 7: Basi di statistica Campione e Popolazione Estrazione da una popolazione (virtualmente
DettagliIl test (o i test) del Chi-quadrato ( 2 )
Il test (o i test) del Chi-quadrato ( ) I dati: numerosità di osservazioni che cadono all interno di determinate categorie Prima di tutto, è un test per confrontare proporzioni Esempio: confronto tra numero
DettagliProbabilità e Statistica
Probabilità e Statistica Stima puntuale di parametri Marco Pietro Longhi C.d.L.: Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni, Ingegneria Informatica a.s. 018/019 Marco Pietro Longhi Prob. e Stat.
DettagliESERCIZIO 1. a) Calcolare il rendimento atteso del portafoglio:
ESERCIZIO 1 Gastone investe i suoi risparmi in tre titoli (A: Paperone & Co; B: Rockerduck & Co; C: Bassotti & Co) quotati sul mercato di Paperopoli. La composizione percentuale del portafoglio di Gastone
DettagliI appello di calcolo delle probabilità e statistica
I appello di calcolo delle probabilità e statistica A.Barchielli, L. Ladelli, G. Posta 8 Febbraio 13 Nome: Cognome: Matricola: Docente: I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale
DettagliIntervallo di confidenza
Intervallo di confidenza Sezione di Epidemiologia e Statistica Medica, Università di Verona campione inferenza popolazione Media Riportare sempre anche Stima puntuale di µ la deviazione standard Media,
DettagliStima puntuale di parametri
Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 006/007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile
DettagliStatistica 1- parte II
Statistica 1- parte II Esercitazione 2 Dott.ssa Antonella Costanzo 18/02/2016 Esercizio 1. IC media incognita, varianza nota Una fabbrica A produce matite colorate. Una prova su 100 matite scelte a caso
Dettagli1. Quali sono i possibili campioni di numerosità 2 senza reimmissione? X 1 e X 2 sono indipendenti?
Esercizio 1 Consideriamo una popolazione X, dove X = {3,5,7}. 1. Quali sono i possibili campioni di numerosità 2 senza reimmissione? X 1 e X 2 sono indipendenti? 2. Quali sono i possibili campioni di numerosità
DettagliPROBLEMI DI PROBABILITÀ 2
PROBLEMI DI PROBABILITÀ 2. Si sceglie a caso un numero X nell intervallo (0, ). (a) Qual è la probabilità che la usa prima cifra decimale sia? (b) Qual è la probabilità che la seconda cifra decimale sia
DettagliCP110 Probabilità: Esame 30 gennaio Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 2010-11, II semestre 30 gennaio, 2012 CP110 Probabilità: Esame 30 gennaio 2012 Testo e soluzione 1. (5 pts) Un gioco consiste in n prove ripetute, tali
DettagliCORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 3
CORSO DI STATISTICA (parte 2) - ESERCITAZIONE 3 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Esercizio 1. La variabile casuale normale Da un analisi di bilancio è emerso che, durante i giorni feriali
DettagliProbabilità classica. Distribuzioni e leggi di probabilità. Probabilità frequentista. Probabilità soggettiva
Probabilità classica Distribuzioni e leggi di probabilità La probabilità di un evento casuale è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli ed il numero dei casi possibili, purchè siano tutti equiprobabili.
DettagliStatistica Inferenziale Soluzioni 3. Verifica di ipotesi
ISTITUZIONI DI STATISTICA A. A. 007/008 Marco Minozzo e Annamaria Guolo Laurea in Economia del Commercio Internazionale Laurea in Economia e Amministrazione delle Imprese Università degli Studi di Verona
DettagliUniversità di Siena. Teoria della Stima. Lucidi del corso di. Identificazione e Analisi dei Dati A.A
Università di Siena Teoria della Stima Lucidi del corso di A.A. 2002-2003 Università di Siena 1 Indice Approcci al problema della stima Stima parametrica Stima bayesiana Proprietà degli stimatori Stime
DettagliAPPUNTI DI STATISTICA INFERENZIALE. Avalle Fulvia, maggio 2014, ITSOS MARIE CURIE CLASSI 4A BIO e 4B BIO
APPUNTI DI STATISTICA INFERENZIALE Avalle Fulvia, maggio 2014, ITSOS MARIE CURIE CLASSI 4A BIO e 4B BIO PREREQUISITI VARIABILE ALEATORIA (QUANTITATIVA): è una funzione che associa un numero reale ad ogni
DettagliStatistica inferenziale
Statistica inferenziale Problema Nello studio delle distribuzioni teoriche di probabilità si suppone di conoscere i principali parametri della popolazione che esaminiamo (ad esempio la media, varianza).
DettagliSTATISTICA ESERCITAZIONE
STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 1 Giugno 2015 Esercizio 1 Una fabbrica di scatole di cartone evade il 96% degli ordini entro un mese. Estraendo 300 campioni casuali di 300 consegne, in
DettagliStatistica Inferenziale
Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Riepilogo lezione 6 Abbiamo visto: Definizione di popolazione, di campione e di spazio campionario Distribuzione
DettagliIntervallo di confidenza.
Intervallo di confidenza annarita.vestri@uniroma1.it campione inferenza popolazione Media Riportare sempre anche la deviazione standard Stima puntuale di Media, dev.standard, numerosità Qualche semplice
DettagliCorso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 15: Metodi non parametrici
Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 15: Metodi non parametrici 1 Metodi non parametrici Statistica classica La misurazione avviene con
DettagliEsercitazione del 29 aprile 2014
Esercitazione del 9 aprile 014 Esercizio 10.13 pg. 94 Complemento: Calcolare la probabilità che un negozio apra tra le sette e venti e le nove e quaranta del mattino. Soluzione: Siccome non è nota la distribuzione
DettagliMODELLI PROBABILISTICI E STATISTICI
Prime due lettere del cognome: Nome e Cognome: MODELLI PROBABILISTICI E STATISTICI Prova di esame del 22 Luglio 2002 Consegnare solo questo foglio e assicurarsi che la logica delle risposte sia ben indicata,
DettagliI modelli probabilistici
e I modelli probabilistici Finora abbiamo visto che esistono modelli probabilistici che possiamo utilizzare per prevedere gli esiti di esperimenti aleatori. Naturalmente la previsione è di tipo probabilistico:
DettagliPresentazione dell edizione italiana
1 Indice generale Presentazione dell edizione italiana Prefazione xi xiii Capitolo 1 Una introduzione alla statistica 1 1.1 Raccolta dei dati e statistica descrittiva... 1 1.2 Inferenza statistica e modelli
DettagliStatistica Matematica 3
Statistica Matematica 3 1 Regole bayesiane formali nella stima puntuale di un parametro reale Θ D R con D intervallo (limitato o no) P probabilità su T E P(Z) = Θ θ P(dθ) finito. Allora, per l internalità,
DettagliNOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI
NOTE DALLE LEZIONI DI STATISTICA MEDICA ED ESERCIZI I METODI PER IL CONFRONTO DI MEDIE (Campioni non indipendenti) Prof.ssa G. Serio, Prof. P. Trerotoli, Cattedra di Statistica Medica, Università di Bari
DettagliSTATISTICA (modulo II - Inferenza Statistica) Soluzione Esercitazione I
Soluzione Esercitazione I Esercizio A. Si indichi con A i l evento la banca i decide di aprire uno sportello per il quale Pr(A i = 0.5 (e dunque Pr(A i = 0.5 per i =, 2, 3. Lo spazio degli eventi dato
DettagliCostruzione di macchine. Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità. Marco Beghini. Lezione 7: Basi di statistica
Costruzione di macchine Modulo di: Progettazione probabilistica e affidabilità Marco Beghini Lezione 7: Basi di statistica Campione e Popolazione Estrazione da una popolazione (virtualmente infinita) di
DettagliSTATISTICA A K (60 ore)
STATISTICA A K (60 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Esercizio: si consideri una generica popolazione X con media µ e varianza σ 2 Siano T 1 =(X 1 +X 2 +X 3 +X 4 )/4 e T 2 =(3X 1 +4X
DettagliSTATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI
STATISTICA: esercizi svolti sulle VARIABILI CASUALI VARIABILI CASUALI 2 VARIABILI CASUALI. Variabili casuali generiche. Si supponga che un dado truccato, formato da sei facce contrassegnate dai numeri
DettagliCP110 Probabilità: Esame 4 giugno Testo e soluzione
Dipartimento di Matematica, Roma Tre Pietro Caputo 202-3, II semestre 4 giugno, 203 CP0 Probabilità: Esame 4 giugno 203 Testo e soluzione . (6 pts) Un urna contiene inizialmente pallina rossa e 0 palline
DettagliPROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE
PROBABILITÀ SCHEDA N. 5 SOMMA E DIFFERENZA DI DUE VARIABILI ALEATORIE DISCRETE 1. Distribuzione congiunta Ci sono situazioni in cui un esperimento casuale non si può modellare con una sola variabile casuale,
DettagliElementi di Probabilità e Statistica - 052AA - A.A
Elementi di Probabilità e Statistica - 05AA - A.A. 014-015 Prima prova di verifica intermedia - 9 aprile 015 Problema 1. Dati due eventi A, B, su uno spazio probabilizzato (Ω, F, P), diciamo che A è in
DettagliStatistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D
Statistica inferenziale, Varese, 18 novembre 2009 Prima parte - Modalità D Cognome Nome: Part time: Numero di matricola: Diurno: ISTRUZIONI: Il punteggio relativo alla prima parte dell esame viene calcolato
DettagliProbabilità 1, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09
Probabilità, laurea triennale in Matematica I prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09. Due roulette regolari vengono azionate più volte; sia T il numero di volte che occorre azionare la prima roulette
DettagliEsercitazioni di statistica
Esercitazioni di statistica Misure di associazione: Indipendenza assoluta e in media Stefania Spina Universitá di Napoli Federico II stefania.spina@unina.it 22 ottobre 2014 Stefania Spina Esercitazioni
Dettagli