MATEMATICA CORSO A II APPELLO 21 Luglio 2011

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1 MATEMATICA CORSO A II APPELLO 21 Luglio 2011 Soluzioni 1. Da un indagine statistica su un campione di 100 coppie è emersa la seguente tabella di frequenza del numero di figli: NUMERO FIGLI NUMERO COPPIE Calcola il numero medio di figli per coppia e la relativa deviazione standard. Il numero di figli totali per le 100 coppie vale = 153 quindi il numero medio di figli per coppia è 153/100 = Per calcolare la deviazione standard, radice quandrata della varianza, conviene utilizzare la formula La variabile X 2 presenta la seguente tabella ed il suo valor medio vale Quindi σx] = VarX] = EX 2 ] EX] 2 X NUMERO COPPIE = = 3.49 σx] = = persone, fra cui Paolo, Francesca e Giacomo, vengono suddivise a caso in 3 gruppi ugualmente numerosi. a) Calcola la probabilità che Paolo, Francesca e Giacomo finiscano in uno stesso gruppo. b) Calcola la probabilità che Francesca e Giacomo finiscano in uno stesso gruppo e Paolo no. a) Consideriamo un gruppo da 6. La probabilità che il primo dei tre ci finisca vale 6/18, la probabilità che il secondo ci finisca vale 5/17 e la probabilità che il terzo ci finisca vale 4/16. Poiché i possibili gruppi sono 3 la probabilità cercata vale = 5 68

2 b) Consideriamo un gruppo da 6. La probabilità che Francesca ci finisca vale 6/18, la probabilità che Giacomo ci finisca vale 5/17 e la probabilità che Paolo non ci finisca vale 12/16. Poiché i possibili gruppi sono 3 la probabilità cercata vale = Un test diagnostico per una certa malattia M fornisce un risultato positivo nell 80% dei casi in cui la malattia M è davvero presente e nel 2% dei casi in cui M non è presente (falsi positivi). È noto che la malattia M è presente nella popolazione con probabilità 0.03 (incidenza della malattia). a) Calcola la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione sia affetto da M se il test ha dato risultato positivo. b) Calcola quale sarebbe l incidenza della malattia M nella popolazione se la probabilità che un individuo risulti positivo al test fosse del 15%. a) Sappiamo che P(M) = 3/100 (incidenza della malattia nella popolazione), quindi P( M) = 97/100. Inoltre P(+ M) = 80/100 (test positivo quando la malattia è presente, quindi P( M) = 20/100) e P(+ M) = 2/100 (test positivo quando la malattia non è presente, quindi P( M) = 98/100). Dobbiamo calcolare P(M +): P(M +) = P(M +) P(+) = P(M)P(+ M) P(M)P(+ M)+P( M)P(+ M) = (3/100)(80/100) (3/100)(80/100)+(97/100)(2/100) = b) Dobbiamo calcolare P(M) (che indicherò con x) sapendo che P(+) = 15/100: da cui 4. Studia la funzione P(+) = P(M)P(+ M)+P( M)P(+ M) = x (x) = e disegnane il grafico. 80x+2(x) = 15 78x = 13 x = f(x) = ex +1 e x 2 L espressione della funzione è data dal rapporto tra due funzioni definite e continue su tutto R (funzioni esponenziali) quindi è definita se e solo se il denominatore è diverso da 0: e x 2 0 x ln2 La funzione a numeratore è sempre positiva (f(x) non ha zeri), quindi il segno dell intera funzione coincide con quello del denominatore: f(x) > 0 e x 2 > 0 x > ln2 2

3 f(x) < 0 e x 2 < 0 x < ln2 Calcoliamo i limiti: lim = x ln2 f(x) lim lim f(x) = 1/2 lim x = + x ln2 +f(x) f(x) = 1 x + La funzione presenta un asintoto verticale, x = 1, e due asintoti orizzontali, y = 1/2 a e y = 1 a +. La derivata prima vale f (x) = 3ex (e x 2) 2 ed è negativa per ogni x del dominio: la funzione è quindi descrescente a tratti. Il grafico della funzione è il seguente. 5. Analizzando la capacità vitale media di 49 uomini sani, vieni a scoprire che essa è compresa tra 4.62 e 4.94 litri con probabilità Sai che la capacità vitale nella popolazione sottostante è distribuita secondo una gaussiana. a) Quanto valgono la media e la deviazione standard di questa distribuzione? b) Quale campo di variazione comprende il 90% degli uomini sani? a) Indichiamo con Y = (X X 49 )/49 la capacità vitale media del campione di 49 uomini, sappiamo che EY] = EX i ] σy] = σx i] 49 P(4.62 < Y < 4.94) = 0.95 Inoltre si sa che, in una gaussiana standard, P( a < Z < a) = 0.95 se e solo se a = Quindi, indicando con µ e σ la media e la deviazione standard della distribuzione della popolazione, si ha 4.62 µ σ/7 = µ σ/7 = 1.96

4 In realtà per calcolare µ non è necessario risolvere il sistema, ma basta notare che, avendo scelto un intervallo simmetrico rispetto alla media, la media cercata sarà la media aritmetica dei due valori 4.62 e 4.94, ovvero µ = La deviazione standard vale allora σ = /1.96 = b) Si sa che, in una gaussiana standard, P( a < Z < a) = 0.90 se e solo se a = 1.65, quindi (nel caso del campione degli uomini sani) da cui c /7 = 1.65 d /7 = 1.65 c = (0.57/7) = d = (0.57/7) = BIO-L] Sia L(t) la lunghezza di un certo pesce al tempo t e supponiamo che il pesce cresca in accordo alla seguente equazione di von Bertalanffy dl dt = k(l L(t)) L(0) = 5 dove k e L sono costanti positive. Uno studio ha mostrato che la lunghezza asintotica è ugualea190cmecheilpesceimpiega15mesiperraggiungerelametàdellasualunghezza asintotica. a) Utilizza queste informazioni per determinare la costante k. b) Determina la lunghezza del pesce dopo 5 mesi. c) Quanto tempo occorrerà affinché il pesce raggiunga l 80% della sua lunghezza asintotica? La soluzione generale dell equazione differenziale è ( L(t) = L L(0) ) ] e kt L a) Se L = 190 e L(0) = 5 si ha ( L(t) = ) 190 e kt ] = 190 e kt b) Inoltre L(15) = 95 quindi 190 e 15k = 95 ( ) 37 e 15k = 1 e 15k = L(5) = 190 e 15k = 1 2 k = ln(37/19)/15 e ln(37/19)/ ] =

5 c) e ( ln(37/19)/15)t = 4 5 ( ) 37 e ( ln(37/19)/15)t = 1 5 e ( ln(37/19)/15)t = 185 t = ln ( ) ln(37/19) BIM, EBI o BIO-L alternativo al precedente] Dopo avere disegnato il grafico della funzione f(x) = lnx x calcola l area racchiusa tra il grafico di f(x) e l asse delle ascisse nell intervallo e,e 2 ]. Il grafico della funzione è il seguente. Dobbiamo calcolare il seguente integrale definito che darà come risultato un numero negativo in quanto la funzione è negativa in quell intervallo: e 2 e lnx x dx = 1 2 e 2 e 2(lnx) 1 x dx = 1 2 (lnx)2 ] e2 e = 1 2 Quindi l area della regione di piano compresa tra f(x), l asse delle ascisse e le rette x = e, x = e 2 vale 1/2. 5