3 A Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i seguenti valori: 2.98<x<3.02 e 1.95<y<2.05

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1 MATEMATICA E STATISTICA CORSO A SCIENZE BIOLOGICHE MOLECOLARI I PROVA IN ITINERE RECUPERO 8 gennaio 2008 SOLUZIONI La versione A di ogni esercizio si riferisce al Tema 1, la versione B al Tema 2 1A- Il giorno 7 gennaio Francesca riscontrò un aumento di peso del 10% rispetto al suo peso prima delle vacanze di Natale. Dopo un mese di dieta il peso di Francesca diminuì del 10% rispetto al peso del 7 gennaio. Il peso di Francesca è aumentato, diminuito o rimasto costante rispetto al suo peso prima delle vacanze? Perché? SOLUZIONE: Indichiamo con p 0 il peso di Francesca prima delle vacanze, con p 7 il peso di Francesca al 7 gennaio e con p F il peso dopo un mese di dieta o peso finale. Si ha p F = p 7 10%p 7 =(1-10%) p 7 = (1-10%)(1+10%) p 0 = 0,99 p 0, quindi il peso di Francesca è diminuito dell 1% rispetto al suo peso prima delle vacanze. 1B- Il prezzo del pesce il 23 dicembre è salito del 10% rispetto al prezzo di novembre. Il 7 gennaio il prezzo del pesce si è ribassato del 10% rispetto al prezzo del 23 dicembre. Rispetto a novembre, il prezzo del pesce è aumentato, diminuito o rimasto costante? Perché? SOLUZIONE:Vedi 1-A 2 A- La scala Celsius è suddivisa in modo tale che 0 C corrispondono al punto di congelamento dell acqua (ad una atmosfera di pressione), e 100 C corrispondono al punto di ebollizione. Nella scala Fahrenheit è noto che il punto di congelamento dell acqua corrisponde a 32 F e quello di ebollizione a 212 F. Determinare una relazione lineare che esprima la temperatura misurata in Celsius in funzione della temperatura misurata in Fahrenheit. SOLUZIONE: Indichiamo con y C la temperatura misurata in gradi Celsius e con x F la temperatura misurata in gradi Fahrenheit, stiamo cercando una relazione del tipo y C = m x F + q, dove m e q sono opportune costanti Per determinare m e q basta utilizzare la conoscenza che 0 C corrispondono a 32 F e 100 C corrispondono a 212 F, vale a dire 0 = m32 + q 100 = m212 + q da cui q = -32m, quindi sostituendo nella seconda equazione m= 100/180, quindi la relazione cercata è y C = 100/180( x F 32) 2 B - La scala Celsius è suddivisa in modo tale che 0 C corrispondono al punto di congelamento dell acqua (ad una atmosfera di pressione), e 100 C corrispondono al punto di ebollizione. Nella scala Fahrenheit è noto che il punto di congelamento dell acqua corrisponde a 32 F e quello di ebollizione a 212 F. Determinare una relazione lineare che esprima la temperatura misurata in Fahrenheit in funzione della temperatura misurata in Celsius. SOLUZIONE: Indichiamo con y F la temperatura misurata in gradi Fahrenheit e con x C la temperatura misurata in gradi Celsius. Procedendo analogamente a 2A, si ottiene y F = 180/100 x C A Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i seguenti valori: 2.98<x<3.02 e 1.95<y<2.05

2 Calcolare il valore stimato e l errore assoluto del prodotto xy. SOLUZIONE: Si ha x = 3± 0.02, y = 2± 0.05, quindi gli errori assoluti di x ed y sono piccoli per cui il valore stimato di xy può essere ben approssimato dal prodotto dei valori stimati e quindi dal numero 6, ricordando che l errore assoluto del prodotto xy è ottenuto dal valore stimato moltiplicato per la somma degli errori relativi di x e di y si ottiene come errore assoluto B - Misurando in modo approssimato due quantità x ed y si ottengono i seguenti valori: 4.95<x<5.05 e 1.94<y<1.98 Calcolare il valore stimato e l errore assoluto del prodotto xy. SOLUZIONE: Analogamente a 3A, si ottiene valore stimato 9.8 ed errore assoluto A a) Determinare x tale che e 3x-1 = 2 b) Risolvere l equazione 2sinθcosθ = cosθ SOLUZIONE: a) applicando ad entrambi i membri dell equazione il logaritmo in base e si ottiene ln(e 3x-1 ) = ln2 e quindi, ricordando che ln è funzione inversa dell esponenziale in base e, si ottiene 3x-1 = ln2, da cui x= (1 + ln2)/3 b) L equazione è risolta per cosθ=0 e quindi θ=π/2 +kπ per ogni k intero, oppure se cosθ 0, dividendo per cosθ, si ha 2sinθ=1, quindi sinθ=1/2 vale a dire θ=π/6 +2kπ oppure θ=5π/6 +2kπ per ogni k intero. 4 B a) Determinare x tale che e 1-2x = 3 b) Risolvere l equazione 2sinθcosθ = sinθ SOLUZIONE: Analogamente a 4A si ottiene: a) x=(1-ln3)/2; b) θ= kπ oppure θ= π/3 + 2kπ oppure θ= 5π/3 + 2kπ per ogni k intero. 5 A- Si estraggono tre carte da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità di estrarre a) esattamente un asso a) almeno un asso SOLUZIONE: Si può rispondere utilizzando il calcolo combinatorio oppure la probabilità condizionale e la regola del prodotto a) con il calcolo combinatorio si ha p = 52 3, vale a dire numero dei modi con cui posso ottenere un asso e due carte diverse dagli assi sul totale dei modi con cui posso prendere tre carte; oppure, utilizzando la regola del prodotto e la probabilità condizionale, si ha p = 3(4/52)(48/51)(47/50) corrispondente alla probabilità di estrarre un asso (4/52) e di estrarre una seconda carta diversa da un asso sapendo di avere estratto un asso (48/51) e di nuovo, avendo estratto due carte di cui un asso e una carta diversa da un asso, la probabilità di estrarre ancora una carta diversa da un asso(47/50), si moltiplica infine per 3 in quanto l asso può uscire come prima o come seconda o come terza carta rimanendo invariata la probabilità dell evento richiesto

3 a) Conviene calcolare la probabilità di non estrarre alcun asso e poi sottrarla ad 1 per ottenere la probabilità richiesta, si ha 48 p = 1 - o, equivalentemente, p = 1-(48/52)(47/51)(46/50) 52 5 B- Si estraggono tre carte da un mazzo di 52 carte, determinare la probabilità di estrarre a) esattamente una figura a) almeno una figura SOLUZIONI: Ragionando come in 5A e tenendo conto che ci sono 12 figure, si ottiene a) p = a) p = 1 - II PARTE o, equivalentemente, p = 3(12/52)(40/51)(39/50) o, equivalentemente, p = 1- (40/52)(39/51)(38/50) 6 A- Un allele recessivo è responsabile di una certa malattia. Sia 0.4 la frequenza di tale allele. Calcolare la probabilità che un figlio risulti sano sapendo che a) il padre è sano e la madre malata a) il padre è sano a) il padre e la madre sono malati SOLUZIONE: Indichiamo con F S, P S, M m, rispettivamente l evento Figlio sano, Padre sano, Madre malata. Essendo responsabile della malattia un allele recessivo (indichiamolo con a e indichiamo con A l allele dominante), un individuo è malato solo se è del genotipo aa, mentre è sano sia se è del genotipo AA che del genotipo Aa. Sono richieste delle probabilità condizionali a) Se la madre è malata ha il genotipo aa(probabilità (0.4) 2 ), mentre il padre sano può essere AA(probabilità (0.6) 2 ) o Aa (probabilità 2(0.4)(0.6)). Ogni figlio eredita uno dei due alleli del padre ed uno dei due alleli della madre indipendentemente, la probabilità di ereditare l uno o l altro allele del genitore è 1/2; per cui da madre aa e padre AA i figli sono tutti Aa e quindi sani, mentre da madre aa e padre Aa i figli possono essere Aa con probabilità 1/2 o aa con probabilità 1/2. Da padre e madre entrambi Aa si possono avere figli AA con probabilità 1/4, Aa con probabilità 1/2, aa con probabilità 1/4. E richiesta la probabilità P(F S P S M m ) = P(F S P S M m )/P(P S M m ) = (0.4) 2 (0.6) 2 + 2(0.6)(0.4) 1 2 (0.4) 2 ((0.6) 2 + 2(0.6)(0.4)) =5/7

4 b) E richiesta la probabilità P(F S P S ) senza conoscere il genotipo della madre, quindi si ha P(F S P S ) = (0.6) 2 + 2(0.6)(0.4) ((0.6) 2 + 2(0.6)(0.4) 3 4 (0.4)21 2 ) (0.6) 2 + 2(0.6)(0.4) = 31/35 c) da genitori malati, quindi entrambi del genotipo aa, non può nascere un figlio sano, quindi la probabilità richiesta è 0. 6 B- Un allele recessivo è responsabile di una certa malattia. Sia 0.4 la frequenza di tale allele. Calcolare la probabilità che un figlio risulti malato sapendo che a) il padre è sano e la madre malata b) il padre è sano c) il padre e la madre sono malati SOLUZIONE: Seguendo le stesse notazioni e indicazioni di 6 A, si ha a) P(F m P S M m ) = P(F m P S M m )/P(P S M m ) = (0.4) 2 ((2(0.6)(0.4) 1 2 )) (0.4) 2 ((0.6) 2 + 2(0.6)(0.4)) = 2/7 2(0.6)(0.4)(2(0.6)(0.4) (0.4)21 2 ) b) P(F S P S ) = (0.6) 2 = 4/35 + 2(0.6)(0.4) c) Se padre e madre sono malati e quindi entrambi aa, il figlio risulta certamente malato, quindi la probabilità richiesta è 1. 7 A Assegnata la funzione f(x) = ln(2x+1/x+1). Determinare a) dominio della funzione b) eventuali x tali che f(x) = 0 c) eventuali x tali che f(x)<0 SOLUZIONE: a) Affinchè sia definito il logaritmo il valore su cui esso è calcolato deve essere sempre positivo, quindi (2x+1/x+1)>0 da cui x<-1 oppure x>-1/2 b) la funzione logaritmo si annulla quando il valore su cui essa è calcolata è 1, quindi se (2x+1/x+1) = 1, da cui x = 0 c) la funzione logaritmo in base e (base >1) è negativa quando il numero su cui essa è calcolata è inferiore a 1, quindi per (2x+1)/(x+1) < 1, da cui, tenendo conto del dominio, -1/2<x<0 7 B Assegnata la funzione f(x) = ln(x+1/ 2x+1). Determinare a) dominio della funzione b) eventuali x tali che f(x) = 0 c) eventuali x tali che f(x)<0 SOLUZIONE: a) Affinchè sia definito il logaritmo il valore su cui esso è calcolato deve essere sempre positivo, quindi (x+1/2x+1)>0 da cui x<-1 oppure x>-1/2 b) la funzione logaritmo si annulla quando il valore su cui essa è calcolata è 1, quindi se (x+1/2x+1) = 1, da cui x = 0 c) la funzione logaritmo in base e (base >1) è negativa quando il numero su cui essa è calcolata è inferiore a 1, quindi per (x+1)/(2x+1) < 1, da cui, tenendo conto del dominio, x<-1 oppure x>0

5 8 A A partire dal grafico di f(x) = tanx disegnare il grafico di a) g(x) = tan(3x) b) h(x) = tan(3x) c) k(x) = tan( 3x ) per ciascuna delle precedenti funzioni dire se la funzione è periodica, ed eventualmente di quale periodo SOLUZIONE: Tratteggiata la funzione tanx a) Periodica di periodo π/3 b) Periodica di periodo π/3

6 c) Non è periodica 8 B A partire dal grafico di f(x) = tanx disegnare il grafico di a) g(x) = tan(x/3) b) h(x) = tan(x/3) c) k(x) = tan( x/3 ) per ciascuna delle precedenti funzioni dire se la funzione è periodica, ed eventualmente di quale periodo SOLUZIONE: Tratteggiata la funzione tanx a) Periodica di periodo 3π

7 b) Periodica di periodo 3π c) Non è periodica