REGOLE D ESAME. la V prova scritta di Matematica e statistica Scienze Biologiche Molecolari anno accademico 2008/09

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1 REGOLE D ESAME Il giorno 18 gennaio si svolgeranno contemporaneamente: la prima prova in itinere di matematica per Scienze Biologiche anno accademico 2009/10 la V prova scritta di Matematica e statistica Scienze Biologiche Molecolari anno accademico 2008/09 Attenzione a iscriversi sull'apposita lista (sono due liste diverse) sul sito iomiscrivo

2 REGOLE D ESAME L'esame completo di matematica (scritto + orale) per Scienze Biologiche anno 2009/10 si potrà sostenere solo a conclusione del corso fine maggio, in particolare la prova orale; per essere ammessi all'orale occorrono almeno due sufficienze nei tre compitini (che si terranno: I compitino 18 gennaio, o, solo nel caso di insuff al compito del 18/1, I compitino recupero 10/2, II compitino ad aprile, terzo compitino dopo il 20 maggio) oppure almeno una suff. in uno dei compiti scritti degli appelli d'esame (giugno, luglio, settembre 2010, gennaio, febbraio 2011)

3 REGOLE D ESAME Durante le prove scritte NON è consentito l uso di calcolatrici, calcolatori, cellulari, libri di testo, fotocopie, ecc Sono ammessi soltanto i propri appunti. Le risposte devono essere giustificate. Risposte del tipo 0.3, No non saranno valutate, anche se giuste.

4 REGOLE D ESAME Non è possibile sostenere il compitino del 10 /2 se non si è sostenuto il compitino del 18/1, riportando una insuff. Potranno essere ammessi eccezionalmente al compitino del 10/2 solo studenti che abbiano una motivata e giustificata (tipo certificato medico..) ragione di assenza

5 Possibile Es1:Calcolo approssimato E noto che i lati di un parallelepipedo, a base quadrata, misurano, in cm, rispettivamente x=6±0.03,lato della base, ed y=8±0.02, altezza parallelepipedo. Calcolare valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della superficie e del volume del parallelepipedo.

6 Calcolo approssimato SOLUZIONE:La superficie S del parallelepipedo è data da S= 4xy + 2 x 2 Il valore stimato di S è dunque 4(6)(8) + 2(6)(6) = =264 cm 2 ; errore relativo di S = 4(3/ /800) +2(2(3/600))= 3/100 +2/100= 5/100; errore assoluto di S= 264(5/100)=13.2 cm 2 ; il volume V del parallelepipedo è dato da V= x 2 y, il valore stimato di V è dunque (6)(6)(8)=288 cm 3 ; l errore relativo di V è dato da 2(3/600) + 2/800 = 1/100+1/400= 5/400 =1/80; l errore assoluto di V è 288(1/80) =3.6 cm 3.

7 Possibile Es1:Percentuali Per preparare della frutta sciroppata ho predisposto 600g di sciroppo al 20%. Poi leggo sul ricettario che lo sciroppo deve essere preparato al 30%. Quanto zucchero devo aggiungere?

8 Percentuali SOLUZIONE: Dalla relazione x/600 = 20/100 si ricava che la quantità di zucchero iniziale è x= 120 g; aggiungiamo z di zucchero per arrivare al 30%, si ha (z+120)/(600+z) = 30/100 da cui z=600/7 86 g

9 Possibile Es2: Probabilità In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2 biglie Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5 estrazioni con rimessa, calcola la probabilità: a) di estrarre una sola biglia Gialla; b) almeno una biglia Gialla; c) al più una biglia gialla d) tutte biglie non Gialle

10 Possibile Es2: Probabilità Con rimessa di estrarre una sola biglia Gialla 5(4/9)(5/9) 4 b) almeno una biglia Gialla 1- (5/9) 5 c) al più una biglia gialla (5/9) 5 + 5(4/9)(5/9) 4 d) tutte biglie non Gialle (5/9) 5

11 Possibile Es2: Probabilità In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2 biglie Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5 estrazioni senza rimessa, calcola la probabilità: a) di estrarre una sola biglia Gialla; b) almeno una biglia Gialla; c) al più una biglia gialla d) tutte biglie non Gialle

12 Possibile Es2: Probabilità senza rimessa a) di estrarre una sola biglia Gialla 5(4/9)(5/8)(4/7)(3/6)(2/5)=10/63 oppure con il calcolo combinatorio: C 4,1 C 5,4 /C 9,5 b) almeno una biglia Gialla 1-(5/9)(4/8)(3/7)(2/6)(1/5) = 1-1/126= 125/126 oppure con il calcolo combinatorio: 1- C 5,5 /C 9,5 c) al più una biglia gialla 1/ /63 d) tutte biglie non Gialle 1/126

13 Possibile Es2: Probabilità Siano A e B due eventi in uno spazio degli eventi Ω. E possibile che p(a B) > p(a B)? Non è possibile, infatti A B A B, vale a dire che A B è un sottoevento di A B, per cui ogni volta che si verifica A B si verifica anche A B, e quindi p(a B) p(a B).

14 Possibile Es3: statistica Se si elevasse di un ammontare fisso, per esempio 60 euro, lo stipendio degli impiegati statali, come cambierebbe lo stipendio medio? E la deviazione standard degli stipendi? SOLUZIONE: Lo stipendio medio verrebbe aumentato di 60 euro, mentre la deviazione standard resterebbe invariata, infatti La media aritmetica degli stipendi diventerebbe Σ i (x i +60)/n =Σ i x i /n + 60 =x*+60 mentre la deviazione standard sarebbe sqr(σ i (x i +60-(x*+60)) 2 )/n = sqr(σ i (x i -x*) 2 )/n

15 Possibile Es3: statistica Se lo stipendio di ciascun impiegato statale venisse aumentato del 6% come cambierebbe lo stipendio medio? E la deviazione standard degli stipendi?

16 Possibile Es3: statistica SOLUZIONE: Lo stipendio medio verrebbe aumentato del 6%, infatti ogni stipendio x i diventerebbe x i +6%x i =(106/100)x i quindi, indicando con x* la media degli stipendi prima dell aumento, si avrebbe, dopo l aumento, la nuova media Σ i (106/100)x i /n=(106/100)σ i x i /n=(106/100)x*=x*+6%x* Anche la deviazione standard σ 2 subisce lo stesso aumento del 6%, infatti si otterrebbe per la varianza Σ i [(106/100)(x i x*)] 2 /n=(106/100) 2 Σ i (x i x*) 2 /n= =(106/100) 2 σ 2 poichè la deviazione standard è la radice quadrata della varianza, si ha (106/100 )σ =σ+6%σ

17 Possibile Es3: statistica In una fabbrica che produce apparecchi di misurazione per una centrale elettrica c è una squadra di 10 operai molto bravi: il caposquadra, un uomo anziano e con vasta esperienza, 9 giovani diplomati di una scuola professionale. Ognuno dei giovani operai produce 15 apparecchi al giorno e il caposquadra riesce a produrne 9 più della media di tutta la squadra composta da 10 operai. Quanti apparecchi produce il capo squadra e quanti l intera squadra ogni giorno?

18 Possibile Es3: statistica SOLUZIONE: Indichiamo con x* la media di apparecchi prodotti da tutta la squadra, si ha x*= (15 9+(x*+9))/10, da cui si ricava x*=16; gli apparecchi prodotti dal caposquadra sono dunque 25 e dall intera squadra 160.

19 Un esercizio di probabilità Il colore di una specie di legumi è determinato geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele V dominante del colore verde e l allele g recessivo del colore giallo. La popolazione di legumi che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy- Weinberg, e sai che il 70% degli alleli nella popolazione sono V e il 30% sono g. (1) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella popolazione abbia colore verde? SOL: Indichiamo con Fg ed FV rispettivamente l evento fenotipi giallo, fenotipo verde, si ha P(Fg)=(0.3) 2 = 0.09, dunque P(FV)= 0.91

20 Un esercizio di probabilità (2) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella popolazione abbia colore giallo sapendo che il primo genitore ha colore giallo ed il secondo ha colore verde? SOL:Indichiamo con F g l evento figlio di colore giallo e con P g e S V rispettivamente gli eventi primo genitore giallo secondo genitore verde, si deve calcolare P(F g P g S V ), si ha P(F g P g S V )=P(F g P g S V )/P(P g S V )= ((0.09)(2(0.3)(0.7)(1/2))/(0.09)(0.91) = 21/91 (3) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella popolazione abbia colore giallo sapendo che entrambi i genitori hanno colore giallo? SOL: Se i genitori sono entrambi gialli sono di genotipo gg entrambi e quindi il figlio sarà certamente giallo

21 Un esercizio di probabilità (4) Qual è la probabilità che il primo genitore abbia colore verde, sapendo che il figlio ha colore giallo? SOL: E richiesta la P(P V F g ) = P(P V F g ) /P(F g ) Se non si hanno informazioni sui genitori la probabilità che il figlio sia giallo corrisponde alla probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia giallo, vale a dire che P(F g ) = 0.09 L evento figlio è giallo e il primo genitore verde è possibile solo se il primo genitore è del genotipo Vg, mentre, non avendo informazioni, per il secondo genitore possiamo ipotizzare i genotipi gg oppure Vg, dunque si ha P(P V F g ) = 2(0.3)(0.7)[2(0.3)(0.7)(1/4) (1/2)]/0.09 =0.7 che corrisponde alla frequenza dell allele V

22 Ancora probabilità:gruppi sanguigni.. In una data popolazione molto ampia il 60% appartiene al gruppo sanguigno O, il 28% al gruppo B, il 10% al gruppo A, il 2% al gruppo AB Si scelgono a caso 8 individui nella popolazione, calcolare la probabilità che a) nessuno appartenga al gruppo B b) al più due appartengano al gruppo B SOLUZIONE: a) (0.72) 8 ; b) (0.72) (0.28) (0.72) (0.28) 2 (0.72) 6

23 Ancora probabilità: occhiali.. Da un'indagine nelle scuole risulta che la percentuale degli alunni che portano gli occhiali è il 12% nelle scuole elementari, il 23% nelle scuole medie, e il 42% nelle scuole superiori. a) Calcolare la probabilità che scegliendo a caso 3 studenti, uno per fascia, almeno uno porti gli occhiali b) Scegliendo uno studente a caso fra tutti (e supponendo che la scelta di ogni fascia sia equiprobabile) calcolare la probabilità che lo studente porti gli occhiali c)sapendo che lo studente scelto porta gli occhiali, calcolare la probabilità che frequenti le scuole elementari

24 Ancora probabilità: occhiali.. SOLUZIONE: a) calcoliamo la probabilità che nessuno porti gli occhiali, (0.88)(0.77)(0.58), quindi la probabilità richiesta è 1 (0.88)(0.77)(0.58); b) 1/3( )= 1/3(0.77); c) Indicando con E l evento lo studente frequenta le scuole elementari e con O l evento lo studente porta gli occhiali, è richiesta P(E O) = 1/3(0.12)/1/3(0.77) = 12/77

25 Disequazioni Risolvi le seguenti disequazioni: a) 2x +1 2/(x+2) SOL: 2x+1-2/(x+2) 0, da cui x(2x+5)/(x+2) 0 che risulta valida per -5/2 x<-2 oppure x>0 b) x - x 1 SOL:Si osserva che la disequazione è definita solo per x 0, essa corrisponde a -1 x-x 1, si deve avere: x x-1 e contemporaneamente x x+1, si osserva che quest ultima disequazione è sempre valida, essa corrisponde infatti alla disequazione x 2 + x+1 0 che è verificata per ogni x;mentre x x-1 è valida sicuramente per 0 x 1, per x>1 essa corrisponde a x 2-3x +1 0 valida per 1< x (3+ 5)/2, dunque la disequazione assegnata è soddisfatta per x tale che 0 x (3+ 5)/2

26 Disequazioni Risolvi le seguenti disequazioni: c) (3x-1)/(x+1) 1 SOL: la disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1) 1 per x 1/3 oppure x<-1, ed è soddisfatta per x<-1 oppure x 1; la disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1) -1 per -1<x 1/3 ed è soddisfatta per -1<x 0. L insieme delle soluzioni della disequazione assegnata è dunque dato da x tale che x<-1 oppure x 1 oppure -1<x 0 d) sqr(x+1) 3x +1 SOL: la disequazione è definita per x -1, ovviamente valida per -1 x -1/3, e corrispondente a x+1 (3x+1) 2 per x>-1/3, vale a dire x(9x+5) 0 soddisfatta per -1/3<x 0, dunque la disequazione assegnata è soddisfatta per -1 x 0

27 Funzioni Sia f(n) una funzione tale che f(1)=f(2)=f(3)=1 e f(n+1)=(f(n)f(n-1)+1)/f(n-2), allora f(6)= SOL: f(4)=(f(3)f(2)+1)/f(1)=2, f(5)=(f(4)f(3)+1)/f(2)=3, infine f(6)=(f(5)f(4) +1)/f(3)=7 Assegnata la funzione f(x)= 1/x - x, calcola f(2)=..; f(1/2)= SOL:f(2)=1/2-2= -3/2; f(1/2)= 2-1/2=3/2 Determina dove f(x)<0 SOL: 1/x-x<0 corrisponde a (1-x 2 )/x<0 che è soddisfatta per -1<x<0 oppure x>1. Studia il segno di f(x)= 1/2 x+1-1/2 x-1 SOL:la funzione corrisponde a f(x)=-1/2(x+1)+1/2(x-1)=-1 per x -1, corrisponde a f(x)=1/2(x+1)+1/2(x-1)=x per -1<x<1 Corrisponde a f(x)=1/2(x+1) -1/2(x-1)=1 per x 1; dunque f(x)<0 per x<0, f(0)=0, f(x)>0 per x>0.

28 Funzioni Sia f(x)= (2x-1)/ x 2-3x+2 a) Determina l insieme di definizione b) f(0)= c) Esiste x tale che f(x)=0? d) Determina per quali x si ha f(x) 1 e) Calcola i limiti ai bordi dell insieme di definizione f) Determina l insieme di definizione di g(x)=sqr(f(x)) SOL:a) affinchè la funzione sia definita si deve avere x 2-3x+2 0, dunque x 1 ed x 2; b) f(0)= -1/2; c) si ha f(x)=0 per x=1/2; d) (2x-1)/ x 2-3x+2 1 corrisponde a 2x-1 x 2-3x+2 Per x<1 oppure x>2 la disequazione corrisponde a 2x-1 x 2-3x+2 e quindi a x 2-5x+3 0, valida per (5-sqr(13))/2 x<1 oppure 2<x (5+sqr(13))/2 Per 1<x<2 la disequazione corrisponde a 2x-1 -x 2 +3x-2 e quindi a x 2 -x+1 0 che è sempre verificata; concludendo f(x) 1 per (5-sqr(13))/2 x<1 oppure 1<x<2 oppure 2<x (5+sqr(13))/2

29 Funzioni Sia f(x)= (2x-1)/ x 2-3x+2 e)calcola i limiti ai bordi dell insieme di definizione f)determina l insieme di definizione di g(x)=sqr(f(x)) SOL:e) si ha lim f(x) =0 per x ±, essendo il polinomio al denominatore di grado superiore di quello al numeratore; i limiti sia destro che sinistro per x che tende a 1 sono uguali a +, poiché il numeratore tende ad1 e il denominatore a zero, ma rimanendo positivo; analogamente i limiti destro e sinistro per x che tende a 2 sono uguali a + ; f) La radice quadrata è definita per f(x) 0, dunque per x 1/2 con x 1 ed x 2 (altrimenti non è definita f(x))