MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 3

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1 MATEMATICA CORSO A CORSO DI LAUREA IN SCIENZE BIOLOGICHE I PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA 3 1-Il giorno 7 gennaio Francesca riscontrò un aumento di peso del 10% rispetto al suo peso prima delle vacanze di Natale. Dopo un mese di dieta il peso di Francesca diminuì del 10% rispetto al peso del 7 gennaio. Il peso di Francesca è aumentato, diminuito o rimasto costante rispetto al suo peso prima delle vacanze? Perché? GUIDA ALL ESERCIZIO 1: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?.. Come si calcola una percentuale? Come si calcola un interesse composto? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 16/10/09 e l Esercitazione del 20/10/09. Dopo avere rivisto la lezione e l esercitazione, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: Sia p 0 il peso di Francesca prima delle vacanze, il 7 gennaio il suo peso divenne p 1 = p % p 0 ; dopo un mese di dieta il peso divenne p 2 = p 1 10% p 1 = (p % p 0 ) - 10%( p % p 0 )= p 0 (10%)(10%) p 0, dunque il peso di Francesca è diminuito di circa l 1% rispetto al peso prima delle vacanze. 2-Una piccola biblioteca contiene 1550 libri, 310 dei quali trattano argomenti di fisica; sappiamo che 465 libri sono scritti in inglese e che, di questi, 93 sono di fisica. Qual è la probabilità che, scegliendo un libro a caso, si trovi: a. un libro scritto in inglese? b. fra i libri di fisica un libro scritto in inglese? c. fra i libri di argomento diverso dalla fisica un libro scritto in inglese? d. gli eventi libro scritto in inglese e libro di fisica sono indipendenti? (Giustificare la risposta) GUIDA ALL ESERCIZIO 2: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..leggere con cura il testo! Avere chiare le nozioni elementari di insiemistica e logica. Come si definisce e si calcola una probabilità nell impostazione classica? Come si definisce l indipendenza tra due eventi? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio,, rivedi le Lezioni 19 e 26/10/09 e la Lezione 03/11/09) e le Esercitazioni 27/10 e 02/11/2009 ed il file Esercitazvari.pdf, Esercizi vari di probabilità assegnati. Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: a) P(I)=465/1550; b) P(I F)=93/310; c) P(I F)= (465-93)/( )= =372/1240; ; d)p(i)=465/1550=93/310= P(I F) dunque gli eventi I ed F sono indipendenti. 3- Il delfino Flipper adora la matematica e saltare fuori dall acqua. Durante i suoi salti ha calcolato che il baricentro del suo corpo compie una traiettoria descritta dalla relazione f(x)=kx(10-x), dove x misura la distanza in metri dal punto di emersione. a) a quale distanza dal punto di emersione cade Flipper? b) Flipper ha calcolato che a 2m di distanza dal punto di emersione il baricentro si trova a circa 5 metri di altezza, quanto vale k? b) a quale altezza massima riesce a saltare Flipper?

2 GUIDA ALL ESERCIZIO 3: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?.. Come si definisce una funzione quadratica? Quale curva corrisponde al grafico di una funzione quadratica? Come si determina il vertice (ascissa e ordinata) di una parabola? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi la Lezione 27/11/09 e l Esercitazione 15/12/09. Dopo avere rivisto la lezione e l esercitazione, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: a) il punto di emersione è x=0, il punto di immersione è x=10 ( i valori di x per cui f(x) =0) punto dove Flipper ricade in acqua; c) Si ha 5=16k (f(2)=5), dunque k=5/16; d) La traiettoria descritta dal baricentro di Flipper è una parabola, quindi Flipper raggiunge l altezza massima nel vertice; l ascissa del vertice è 5, l ordinata è: y = f(5)= 125/ m 4-In una certa popolazione la probabilità che un individuo sia affetto dalla malattia M è A seguito di indagini epidemiologiche si constata che, mentre il 7% degli individui di quella popolazione presenta un dato sintomo S, tra coloro che sono affetti dalla malattia M, la percentuale di chi presenta tale sintomo sale al 35%. a) Calcola la probabilità per un individuo scelto a caso nella popolazione, di essere affetto da M e presentare il sintomo S; b) Calcola la probabilità per chi presenta il sintomo S di essere affetto dalla malattia M; c) Calcola la probabilità per chi NON presenta il sintomo S di NON essere affetto da M GUIDA ALL ESERCIZIO 4: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?..leggere con cura il testo! Come si definisce e si calcola una probabilità condizionale? Come si calcola la probabilità di un evento composto? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 03 e 09/11/09 e le Esercitazioni 06 e 10/11/09). Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: Indichiamo con P(M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia affetto dalla malattia M, P( M): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione NON sia affetto dalla malattia M, P(S): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione presenti il sintomo S, P( S): probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione NON presenti il sintomo S

3 Per ipotesi sappiamo che P(M) = 18% = 9/50 (di conseguenza P( M) = 82% = 41/50), che P(S) = 7% = 7/100 (di conseguenza P( S) = 93% = 93/100) e che P(S M) = 35% = 7/20 (di conseguenza P( S M) = 65% = 13/20) a) Dobbiamo calcolare P(M S) = P(S M) P(M) = (7/ 20)( 9 /50) = 63/ 1000 = 6.3% b) Dobbiamo calcolare P(M S)= (P(S M) P(M))/ P(S) = (63 /1000)/( 7 /100) )=9 /10 c) Dobbiamo calcolare P( M S), ma per far questo ci serve la probabilità P( S M) P( M) P( S) = P( S M) P(M) + P( S M) P( M) da cui P( S M) P( M) = P( S) - P( S M) P(M) = 813/ Allora P( M S) = (P( S M) P( M))/ P( S) = 813/ 930 = 271/ 310. Un modo forse più veloce di fare lo stesso conto è il seguente: P( M S) = 1 - P(M S) = 1 (P( S M) P(M))/ P( S) = 1-117/ 930 = 813/ Risolvi la seguente disequazione 3x - 1 x-2 Disegna poi l insieme S T, dove S={(x,y) RxR: y 3x - 1 } e T={(x,y) RxR: y x-2} GUIDA ALL ESERCIZIO 5: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?.. E necessario saper risolvere semplici disequazioni ed avere un po di familiarità con semplici calcoli algebrici (vedi prerequisiti al corso di matematica). Avere chiara la rappresentazione cartesiana di insiemi nel piano. Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le esercitazioni del corso di Tutorato, rivedi anche le Lezioni 20 e 23/11/2009 e l Esercitazione 15/12/2009. Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE:Affinchè sia definita la radice quadrata si deve porre 3x-1 0, quindi la disequazione è definita solo per x 1/3; Ricerca delle soluzioni: Si osserva che la disequazione non può essere soddisfatta se x-2 <0, in quanto la radice quadrata assume solo valori non negativi, poniamo dunque x 2; poiché, per x 2, ambo i membri della disequazione sono non negativi, si può elevare al quadrato, otteniamo 3x-1 (x-2) 2, da cui x 2 7x + 5 0, che è soddisfatta, tenendo conto della condizione x 2, per x (7+ 29)/2

4 6- Assegnata la funzione f(x)= ax 2 + b/x, dove a e b sono parametri reali a) determina a e b sapendo che f(1)=2 e che la funzione vale 0 per x =-1; b) determina per quali valori di x si ha f(x) 0 c) determina l espressione esplicita della funzione g(x) ottenuta traslando il grafico di f(x) di 1 unità verso destra e di 2 unità verso il basso GUIDA ALL ESERCIZIO 6: Che cosa devi sapere per risolvere questo esercizio?. Hai chiaro l argomento equazioni di secondo grado? Come si definisce una funzione polinomiale? In particolare, che cosa sai dei polinomi di terzo grado? Come si definisce una funzione razionale? Come si determina il suo insieme di definizione o dominio? Come si determina per quali valori di x la funzione assume valori non negativi? Come si calcola f(x) per x assegnato? Come si ottengono altre funzioni traslando il grafico di una funzione assegnata di tot unità verso destra o verso sinistra, verso l alto o verso il basso? Se hai trovato difficoltà a risolvere questo esercizio, rivedi le Lezioni 11 e 14 e 18/12/09 e l Esercitazione 15/12/2009 e il file Esercizi vari su funzioni polinomiali e razionali. Dopo avere rivisto le lezioni e le esercitazioni, prova di nuovo a svolgere SOLUZIONE: a) poiché f(1)=2, si ha a+b=2, inoltre dalla condizione f(-1)=0, si ha a-b=0, dunque a=b, 2 =2 da cui a=b=1. Si osserva che la funzione è definita per tutti gli x reali diversi da 0; b) si deve risolvere la disequazione x 2 + 1/x 0, che corrisponde a (x 3 + 1)/x 0, possiamo subito dire che x 2 + 1/x 0 è sicuramente soddisfatta per x>0, mentre per x<0 si osserva che x 3 + 1= (x+1)(x 2 x + 1), essendo 1 l unica radice reale del polinomio x 3 + 1; essendo x 2 x + 1>0 per ogni x, il segno di x corrisponde al

5 segno di x+1, quindi per x<0 si ha (x 3 + 1)/x 0 per x 3 + 1<0, quindi x+1<0, quindi x<-1; conludendo si ha f(x) 0, per x>0 oppure x<-1; c) g(x)= f(x-1) 2 =(x-1) 2 + 1/(x-1) 2