Corpi in caduta. d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere, quale deve essere l altezza iniziale? Risposta: in tal caso h 0 = gt 2 /2

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1 Corpi in caduta La legge h(t)= -gt 2 /2 + h 0 descrive come varia la distanza dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto cade da un altezza h 0 con una velocità iniziale nulla. a) Qual è il dominio della funzione h(t)? Risposta: poiché h(t) rappresenta una distanza, si deve imporre h(t) 0, dunque gt 2 /2 h 0 da cui t 2 2 h 0 /g, e quindi 0 t sqr(2 h 0 /g) b) Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra? Risposta:il corpo tocca terra se h(t)=0, dunque per t = sqr(2 h 0 /g)

2 Corpi in caduta c) Il tempo che impiega il corpo per toccare terra è una funzione dell altezza da cui viene lasciato cadere? Risposta: Sì, è in funzione di h 0 d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere, quale deve essere l altezza iniziale? Risposta: in tal caso h 0 = gt 2 /2

3 Corpi in caduta La legge h(t)= -gt 2 /2 + v 0 t + h 0 descrive come varia la distanza dal suolo di un corpo pesante che nel vuoto cade da un altezza h 0 con una velocità iniziale v 0. (moto uniformemente accellerato) (g=9.8 ms -2 accellerazione di gravità) Se il corpo è lanciato verso l alto con velocità iniziale di 20m/sec da una altezza di 30 m, determina: A che altezza si troverà il corpo dopo un secondo? Risposta: h(t) = -9.8t 2 /2 + 20t + 30, dunque h(1)= = 45.1 m

4 Corpi in caduta Quale sarà la massima altezza raggiunta dal corpo? Risposta: Le coordinate del vertice della parabola grafico di h(t) sono circa (2, 50.4); poiché la parabola ha la concavità rivolta verso il basso, la quota 50.4 è la massima altezza che il corpo raggiunge. Dopo quanto tempo il corpo toccherà terra? Risposta:Si pone h(t) = -9.8t 2 /2 + 20t + 30 =0, risolvendo questa equazione di II grado, si sceglie la radice positiva, ottenendo t =(10 + sqrt(247))/ s

5 Corpi in caduta Siete affacciati alla finestra nell istante in cui, da un piano superiore, viene lanciato un vaso di gerani verso il basso con velocità di 1m/s Supponendo che il punto da cui comincia a cadere il vaso sia 4 m al di sopra delle vostre spalle e che le vostre braccia siano lunghe un metro, quanto tempo avete a disposizione per afferrare il vaso, ipotizzando che potete prenderlo solo nell intervallo di tempo in cui si trova tra un metro al di sopra e un metro al di sotto delle spalle?

6 Corpi in caduta Risposta: La distanza tra le spalle e il vaso cambia con la legge d(t)= -gt 2 /2 + v 0 t + h 0 che, in questo caso, è d(t)= -4.9t 2 - t + 4, dove d è positiva se il vaso è più in alto delle spalle, negativa se è più in basso. Gli istanti di tempo in cui è possibile afferrare il vaso sono quelli per cui sono soddisfatte le disequazioni -1 d(t) 1 La prima disequazione -4.9t 2 - t + 4-1, è equivalente a 4.9t 2 + t - 5 0, che ha soluzioni (-1-sqr(1 +98))/9.8 < t <(-1 + sqr(1+98))/9.8. Poiché t deve essere positivo la soluzione è 0<t <(-1 +3sqr(11))/9.8

7 Corpi in caduta L altra disequazione -4.9t 2 - t è equivalente a 4.9t 2 + t -3 0, che ha soluzioni t<-(1+sqr(1+58.8))/9.8 e t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8. Poiché t deve essere positivo, solo t>(-1 + sqr(1+58.8))/9.8 va bene. Tenendo conto di entrambe le disequazioni, si ha che l intervallo di tempo in cui possiamo afferrare il vaso è [(-1 + sqr(1+58.8))/9.8, (-1 +3sqr(11))/9.8 ] [0.69, 0.91] Il tempo a disposizione è quindi circa 2.2 decimi di secondo

8 Indice di massa corporea IMC è un indice biometrico usato per determinare se un individuo ha peso vicino alla norma Indichiamo con p il peso in kg di un individuo e con h la sua altezza misurata in m, si ha IMC =p/h 2 L Organizzazione Mondiale della Sanità considera obesi gli individui con IMC>30, sottopeso gli individui con IMC <18.5 e gravemente magri quelli con IMC<16.

9 Indice di massa corporea Per un individuo di altezza 1.70 m, per quali valori di p è da ritenersi obeso? Per quali valori di p è da ritenersi gravemente magro Risposta:obeso se p/(1.7) 2 > 30, dunque p>86.7 kg Gravemente magro se p/(1.7) 2 < 16, da cui p< kg Per un individuo che pesa 90 kg, per quali valori della sua altezza sarà ritenuto obeso? Risposta: 90/h 2 >30, da cui 0<h<1.73 m

10 Indice di massa corporea Per un individuo che pesa 40 kg, per quali valori della sua altezza sarà da ritenersi gravemente magro? Risposta: h >1.58 Disegna il grafico di IMC in funzione di p, noto h ( unzione lineare di p) Disegna il grafico di IMC in funzione di h, noto p ( unzione tipo f(x)=k/x 2 ) Disegna il grafico di h in funzione di p, noto IMC (funzione radice quadrata ) Disegna il grafico di h in funzione di IMC, noto p

11 Alberi che crescono (Comp.12/4/07 Prof.Abate) Misuri l'altezza di un albero in funzione del tempo.quando hai iniziato l'esperimento (t = 0), l'altezza dell'albero era di 1.00 m. Dopo una settimana (t = 1) l'altezza dell'albero era di 1.04 m. Dopo due settimana (t = 2), di 1.10 m. Supponendo che l'altezza dipenda in modo quadratico dal tempo, trova la funzione che esprime la crescita dell'albero. Risposta: Ponendo l altezza dell albero h(t) =at 2 + bt +c, i dati assegnati impongono le condizioni c=1 a+b+1=1.04 4a + 2b +1=1.10, da cui a=0.01, b= 0.03

12 Alberi che crescono Dunque la funzione che esprime la crescita dell albero è h(t) =0.01t t +1 La funzione che hai trovato può rappresentare la crescita dell'albero anche per tempi precedenti all'inizio della tua misurazione? A partire da quando? Perchè? Risposta: Si osserva che 0.01t t +1 0 per ogni t; il vertice della parabola, grafico di h(t), ha coordinate (-1.5, ), la parabola ha la comcavità rivolta verso l alto. Poiché il fenomeno descritto riguarda la crescita dell albero, la funzione h(t) deve essere crescente, quindi la funzione ha senso anche per t negativi purchè t -1.5.

13 Umidità nell aria. Studiando la percentuale di umidità nell'aria in funzione dei millimetri di pioggia nella stagione dei monsoni, giungi alla conclusione che la percentuale U di umidità dipende dai millimetri di pioggia secondo la funzione U(x) = (x 2-1)/(x 2 + 1) Studia la funzione U (anche per millimetri negativi, utile nei deserti). (Comp 6/6/07 Prof. Abate) SOLUZIONE: La funzione è definita su R, si osserva che è pari, quindi il grafico ha come asse di simmetria l asse delle ordinate. Inoltre lim x ± U(x)=100, si ha U(0) =0

14 Umidità dell aria