IL MOTO DEI PROIETTILI

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1 IL MOTO PARABOLICO PROF. DANIELE COPPOLA

2 Indice 1 IL MOTO DEI PROIETTILI MOTO DI UN PROIETTILE SPARATO IN ORIZZONTALE IL MOTO DEL PROIETTILE SPARATO IN UNA DIREZIONE QUALUNQUE MOTO PARABOLICO NELLO SPORT ESERCIZI di 11

3 1 Il moto dei proiettili è il tipico moto dei proiettili. Per capirne le caratteristiche supponiamo di poter trasportare un cannone sul ciglio di un burrone e orientiamolo di modo che la sua bocca spari in modo orizzontale. Nell istante in cui il cannone spara, lasciamo cadere dal burrone un altro proiettile. Ci chiediamo quale proiettile cadrà per primo in acqua. La situazione è quella in Figura 1 Figura 1 Moto dei proiettili in esame Questa fotografia è stata scattata ad intervalli regolare di 1/30 di secondo, come si vede in ogni istante di tempo le due palle di cannone si trovano alla stessa distanza dalla riga orizzontale. Questo vuol dire che i due proiettili cadono nello stesso istante a terra. La palla sparata in particolare percorre distanze orizzontali uguali in intervalli di tempo uguali. Capiamo dunque che possiamo scomporre il moto della palla sparata in due movimenti distinti: un moto verticale uniformemente accelerato e un moto orizzontale uniforme. I due movimenti sono indipendenti e non si influenzano l un l altro. A questo risultato potevamo arrivare indipendentemente dall osservazione sperimentale della fotografia di Figura 1, infatti nei moti dovuti alla sola forza di gravità l accelerazione è costante, si indica con g e vale 9.81m/s 2. Questa accelerazione è diretta verso il basso. Nel moto orizzontale invece non agisce nessuna forza e dunque nessuna accelerazione e il moto si può ritenere come uniforme, dunque in orizzontale la palla di cannone si muove con la stessa velocità con cui è partita dalla bocca del cannone. Nello studiare questi moti stiamo però trascurando gli attriti, che determinano una decelerazione dei moti dei corpi in esame. In particolare stiamo supponendo di trovarci nel vuoto. Il vuoto è una regione di spazio priva d aria, 3 di 11

4 questo fa si che ogni corpo è soggetto alla medesima accelerazione e dunque oggetti diversi che si muovono in esso impiegheranno lo stesso tempo per toccare il suolo. Ricapitolando si può dire che: Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato in verticale (con accelerazione g costante) mentre in orizzontale si muove di moto uniforme. La sua traiettoria è composizione di questi due moti che avvengono indipendentemente l uno dall altro. L accelerazione di gravità ha lo stesso valore sia in salita che in discesa per cui, ad esempio, in un salto in alto da fermo, utilizzato nello sport ma, anche nelle fasi terminali dei trattamenti riabilitativi, per valutare il grado di forza della muscolatura estensoria degli arti inferiori sarà possibile calcolare il tempo di volo. Quanto più grande sarà il tempo di volo tanto maggiore sarà considerata la forza dei muscoli estensori in particolare del muscolo tricipite della sura e del muscolo quadricipite. In questo caso possiamo trascurare gli attriti dell aria anche dal punto di vista cinetico, in quanto il tempo di volo è molto breve, generalmente inferiore al secondo e il moto è relativamente poco veloce, in ogni caso inferiore ai 7/7,2 km/h. Va precisato che durante le fasi di volo, poiché non si ha interazione con altri corpi, la traiettoria di volo (parabola) è esclusivamente determinata dalle condizioni iniziali (velocità e angolo di salto con cui ci si stacca dal suolo) e non può modificarsi nel corso del moto stesso. Quindi da un punto di vista cinematico, un soggetto che esegue un salto, come per raggiungere in volo la riva opposta di un ruscello, non può più aggiungere alla sua parabola impulsi che la aumentino in lunghezza o la modifichino in direzione, poiché gli mancano le interazioni positive (reazione del terreno) che gli hanno consentito, prima, consentito di iniziare l azione. 4 di 11

5 il lancio) è: cannone). 2 Moto di un proiettile sparato in orizzontale La posizione x in orizzontale del proiettile (eguale alla distanza in orizzontale percorsa dopo x = v 0 t dove v 0 è la velocità iniziale del proiettile (quella che ha quando esce dalla bocca del La posizione y in verticale ( uguale alla distanza in verticale percorsa dopo il lancio) è: 1 y = gt 2 2 Ricavando t dalla legge oraria della coordinata x si ha: t = x v 0 Che sostituto nella coordinata y, (lo facciamo perché i tempi sono gli stessi infatti i due proiettili toccano il suolo nello stesso istante) 1 y = g 2 x v 0 2 Questa equazione ci dice l ordinata del proiettile quando è nota la sua ascissa. Questa non è la legge del moto ma l equazione della traiettoria descritta dal proiettile. L equazione appena scritta è quella di una parabola con vertice nell origine delle coordinate e concavità rivolta verso il basso. Quanto più v 0 è grande, tanto più la parabola diventa piatta e il proiettile riesce a percorrere un lungo tratto orizzontale prima di arrivare a terra. La velocità istantanea del proiettile si calcola sommando punto per punto la velocità orizzontale e quella verticale, la velocità totale del proiettile aumenta man mano che esso si avvicina al suolo, questo si deve all accelerazione di gravità che man mano aggiunge in ogni secondo sempre 9,81 m/s alla velocità verticale. La velocità istantanea man mano che il proiettile si avvicina al suolo diventa sempre più verticale. Il tutto è rappresentato nella figura che segue. 5 di 11

6 Figura 2 Moto parabolico in orizzontale e velocità istantanea 6 di 11

7 3 Il moto del proiettile sparato in una direzione qualunque Possiamo studiare il caso del moto di un proiettile sparato con una velocità iniziale diversa da zero e inclinata di un certo angolo α rispetto alla direzione orizzontale come in Figura 3. Figura 3 Moto del proiettile in direzione qualunque E utile allora scomporre il vettore velocità in due componenti e il primo diretto nella direzione orizzontale, la seconda in direzione verticale. Visto che la velocità componenti orizzontale e verticale, si avrà: è somma delle Per il moto orizzontale, visto che non c è nessuna forza che agisce in quella direzione, possiamo scrivere che la legge del moto (rettilineo uniforme) sarà: x = v x t Invece nella direzione verticale il moto è uniformemente accelerato allora la legge sarà: Come abbiamo già fatto nel caso precedente possiamo ricavare il tempo dall espressione del moto su x e sostituirlo in quella per y ottenendo l equazione della traiettoria. Che rappresenta ancora una parabola con la concavità rivolta verso il basso ma il vertice non è più l origine. Si definisce gittata la distanza tra il punto di partenza del proiettile e quello in cui esso cade al suolo 7 di 11

8 Figura 4 Diversi tipi di gittata Come possiamo osservare dalla Figura 4, quando l angolo cresce, la gittata aumenta, ma poi essa giunge a un valore massimo e comincia a diminuire quando l angolo di lancio aumenta troppo. Si dimostra che l angolo di gittata massima è di 11

9 4 Moto parabolico nello sport Come si è detto al precedente paragrafo, l angolo di lancio corrispondente alla gittata massima è di 45. Questo è un angolo teorico valido in tutti i casi in cui si può trascurare l attrito. Nei lanci (giavellotto, peso, martello e disco) l angolo di rilascio sarà di per atleti di alta statura e di qualche grado in più per atleti di bassa statura ma comunque senza mai superare i 45. Nei salti in lungo invece risulta più difficile coniugare la velocità orizzontale che deve mantenersi alta, con l angolo di lancio che si deve realizzare per raggiungere la gittata massima. Dunque anche utilizzando degli opportuni accorgimenti come passo corto o passo lungo per il piede di caricamento (o spinta) a seconda della maggiore o minore validità rispettivamente di estensori di anca, ginocchio e caviglia oppure dei soli glutei, l angolo di proiezione ottimale, sarà di Per aumentare l angolo occorre allora diminuire la velocità e si cerca un compromesso tra l esigenza di velocità elevata e angolo più elevato. Bisogna comunque tenere presente che I punti che costituiscono la traiettoria del moto sono definiti dal baricentro dell oggetto o del corpo umano La velocità che viene impressa al corpo, a parità di angolo di rilascio, è l elemento più importante ai fini della realizzazione del miglior risultato. La gittata è proporzionale al quadrato della velocità: infatti essa dipende dal quadrato della velocità orizzontale e dal tempo di volo che a sua volta dipende dalla velocità verticale che è pari a: con h pari all altezza o quota. Nel salto in lungo e nei lanci si realizza un compromesso tra l esigenza di incrementare la velocità orizzontale ( che fa aumentare lo spostamento) e quella di incrementare la velocità verticale (che fa aumentare la durata del volo). Nel salto in alto invece, si punta a raggiungere la quota massima e ciò richiede lo sfruttamento di tutta la velocità in verticale. La componente orizzontale minima serve solamente al piccolo spostamento tra il punto di battuta e quello di arrivo. 9 di 11

10 5 Esercizi 1) Una biglia viene lanciata oltre il bordo di un tavolo con una velocità iniziale v =0.560 m/s. Supponendo che il tavolo sia alto 76.0cm, a quale distanza l da esso occorre collocare un bicchiere perché la biglia vi cada dentro? Sappiamo che il moto è un moto parabolico scomponibile in due moti componenti, il moto verticale che è uniformemente accelerato e il moto rettilineo uniforme che è quello orizzontale. Da dati del problema, sapendo che il tavolo è alto 76 cm = 0.76 m possiamo calcolare il tempo che impiega la biglia a toccare il suolo. Per quanto detto nella teoria questo tempo è lo stesso che caratterizza il moto orizzontale (rettilineo uniforme) Applicando la legge del moto rettilineo uniformemente accelerato, visto che l accelerazione è g, ricaviamo: Sostituendo i valori numerici in particolare si ha: Quindi il tempo di caduta è 0.39s. Lo spazio percorso in orizzontale, per la legge del moto rettilineo uniforme : l = vt, per tanto sapendo che v = 0.576m/s, lo spazio percorso in orizzontale sarà: l = s = 0.22m cioè 22 cm. Per tanto il bicchiere deve essere posto ad una distanza di 22 cm dal bordo del tavolo per raccogliere la biglia lanciata. 2) Un pallone viene lanciato con una velocità iniziale data dal vettore con = 9.25m/s e = 6.80 m/s. Trascurando l effetto dell aria, calcoliamo: l istante in cui il pallone raggiunge la quota massima il valore della gittata massima la gittata del tiro Per risolvere questo problema in modo semplice, senza dover fare considerazioni di geometria analitica troppo complicate, dobbiamo tener presente come è fatta la traiettoria del moto e fare considerazioni solo di natura geometrica semplici. 10 di 11

11 Il problema richiede che si calcoli anzitutto la gittata massima, sappiamo che il moto orizzontale è moto rettilineo uniforme. La gittata massima si ottiene quando l intersezione della parabola con l asse x è nulla, per tanto dalla equazione sulla y ponendo che essa sia 0, possiamo ricavare il tempo in cui si raggiunge la gittata massima, allora scriviamo: Per ricavare il tempo da questa equazione basterà metterlo in evidenza, noteremo allora che abbiamo due soluzioni, la prima nulla, che scartiamo e la seconda sarà quella che ci interessa. Si ha: Nota questa quantità possiamo calcolare la gittata massima usando la legge del moto rettilineo uniforme x = v x t. Si ha sostituendo L istante in cui il pallone raggiunge la quota massima lo possiamo ricavare osservando la figura della parabola. Come si vede la quota massima è ottenuta in corrispondenza di mezza gittata massima, visto che il moto è rettilineo ed uniforme, il pallone sull asse x percorre spazi uguali in intervalli di tempo uguali. L istante di tempo in cui si percorre metà gittata massima sarà pari a metà dell istante di tempo in cui si percorre l intera gittata e cioè 0.69s. La massima quota la calcoliamo come 11 di 11