Moto parabolico. Mauro Saita Versione provvisoria, ottobre 2012.

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1 Moto parabolico. Mauro Saita Versione provvisoria, ottobre Moto parabolico. Gli esercizi contrassenati con (*) sono più difficili. Problema 1.1 (Lancio di un proiettile.). Un proiettile viene sparato con anolo di tiro pari ad α e velocità iniziale v 0. Trascurando la resistenza dell aria determinare: 1. la traiettoria descritta dal proiettile; 2. l altezza massima raiunta dal proiettile. 3. la ittata; 4. l anolo di tiro corrispondente alla ittata massima; Soluzione. Scelta del sistema di riferimento. Il proiettile descrive una traiettoria piana. Si scela un sistema di riferimento solidale con la terra con queste caratteristiche: - oriine coincidente con il punto di lancio del proiettile; - asse coincidente con la linea di terra (orientato da sinistra verso destra); - asse ortoonale all asse e rivolto verso l alto. v 0 v 0 v 0 Fiura 1: Orbita descritta da un proiettile lanciato con velocità iniziale v 0. Il moto del proiettile è dato dalla composizione di due moti indipendenti, uno luno l asse e uno luno l asse : il moto luno l asse è uniforme con velocità (costante) v = v 0, 0 Nome file: moto-parabolico.te 1

2 mentre il moto luno l asse è uniformemente decelerato con accelerazione (costante) uuale a e velocità iniziale v 0. Pertanto le lei orarie dei due moti sono lee oraria del moto luno l asse : = v 0 t (1.1) lee oraria del moto luno l asse : = v 0 t 1 2 t2 (1.2) Le lei orarie (1.1) e (1.2) permettono di determinare, nel sistema di riferimento prescelto, la posizione (, ) del proiettile in oni istante t del moto. 1. Traiettoria (orbita) del proiettile. Per ricavare l equazione della traiettoria del moto del proiettile nel sistema di riferimento prescelto bisona ricavare il tempo t dall equazione (1.1): t = v 0 Sostituendo in (1.2) si ottiene: = 2v v 0 v 0 (1.3) L orbita del proiettile è parabolica, infatti l equazione (1.3) rappresenta una parabola passante per l oriine con la concavità rivolta verso il basso. 2. Altezza massima. La lee della velocità luno l asse è v (t) = v 0 t (1.4) Quando il proiettile raiune l altezza massima la sua velocità luno l asse è nulla. Quindi, ponendo v (t) = 0 in (1.4) si ricava t = v 0 (1.5) Il valore di t appena trovato costituisce il tempo che il proiettile impiea per raiunere l altezza massima. Sostituendo questo valore di t nella lee oraria (1.2) si ottiene l altezza massima raiunta dal proiettile, cioè altezza massima = (v 0) 2 3. Gittata. Si ricordi che per ittata si intende la distanza orizzontale percorsa dal proiettile dal momento dello sparo a quello in cui tocca terra. Innanzitutto si determini il tempo di caduta, cioè il tempo complessivo in cui il proiettile sta in aria. Quando il proiettile tocca terra si trova, nel sistema di riferimento sopra specificato, in un punto 2 2

3 avente quota zero; in altre parole, nel momento in cui tocca terra il proiettile si troverà nella posizione (, ) con = 0. Allora, posto = 0 in (1.2) si ottiene: v 0 t 1 2 t2 = 0 Risolvendo questa equazione di secondo rado in t si ricava: Dunque il tempo di caduta è t = 0 oppure t = 2v 0 t = 2v 0 (1.6) Si noti che esso è il doppio del tempo impieato dal proiettile per raiunere l altezza massima (si veda il risultato ottenuto in (1.5)). Ciò sinifica che il tempo impieato dal proiettile per raiunere l altezza massima è il medesimo che impiea per tornare a terra (il tempo di salita è uuale al tempo di discesa ). Ora, per determinare la ittata basta sostituire il tempo di caduta in (1.1). Si ottiene ittata = 2 v 0 v 0 (1.7) 4. Indicato con α è l anolo di tiro, si ha v 0 = v 0 cos α e v 0 = v 0 sin α Allora la ittata si può esprimere così = 2 v 0 v 0 = 2 v2 0 cos α sin α Poichè 2 cos α sin α = sin(2α) la formula della ittata diventa = v2 0 sin 2α Poichè 1 sin 2α 1 la ittata è massima per sin 2α = 1. Quindi l anolo di tiro corrispondente alla ittata massima è α = π 4. 3

4 Fiura 2: Orbite di tre proiettili lanciati con stessa velocità (in modulo) e diverso anolo di tiro. La ittata risulta massima in corrispondenza di un anolo di tiro pari a 45 o. Esercizio 1.2. La fiura qui sotto descrive la traiettoria descritta da tre proiettili lanciati da un medesimo punto (l oriine deli assi). Che cosa hanno in comune e per che cosa si diversificano i tre lanci? Fiura 3: Orbite descritte da tre proiettili lanciati dall oriine deli assi. Esercizio 1.3. (*) Nel trattato Discorsi matematici sopra due nuove scienze Galileo afferma: per anoli di tiro che siano superiori o inferiori a 45 o della stessa quantità, le ittate sono uuali. Dimostrare l affermazione di Galileo. Fiura 4: Orbite di due proiettili. L anolo di tiro della traiettoria rossa è 45 o + β, quello della traiettoria blu è 45 o β. Le ittate sono uuali. Soluzione. Indicato con α l anolo di tiro, la ittata di un proiettile sparato con velocità v 0 vale = v2 0 sin 2α. Quindi, se α = 45 o + β la ittata è = v2 0 sin(90o + 2β) (1.8) 4

5 Se invece l anolo di tiro è α = 45 o β, la ittata vale = v2 0 sin(90o 2β) (1.9) Poichè sin(90 o + 2β) = sin(90 o 2β), per oni β, le due ittate sono uuali. Esercizio 1.4. Due proiettili di masse diverse venono sparati orizontalmente da un altezza di 20 m rispetto alla linea di terra. La velocità iniziale del primo proiettile è v 1i = 50 m/s mentre quella del secondo è v 2i = 80 m/s. Trascurando oni forma di attrito, determinare le ittate dei due proiettili. Soluzione. Scelta del sistema di riferimento. Si fissi un sistema di riferimento come quello indicato in fiura. 20 m Fiura 5: Due proiettili venono lanciati orizzontalmente con differenti velocità. Il moto dei due proiettili è descritto dalle seuenti equazioni parametriche: = 50 t = t2 (1.10) = 80 t = t2 (1.11) Il tempo t impieato dai due proiettili per arrivare a terra è lo stesso per entrambi i casi (si veda l esercizio precedente) e si ottiene ricavando t dalla seconda equazione di (1.10) o di (1.11) che è identica. Si ha: t = 40 = 2.02 s (1.12) Quindi le due differenti ittate si ottenono sostituendo t = 2.02 rispettivamente nella prima equazione di (1.10) e nella prima equazione di (1.11). Si ha: ittata del primo proiettile: = = 101 m ittata del secondo proiettile: = = m 5

6 Esercizio 1.5. Due proiettili di masse diverse venono sparati orizontalmente da un altezza h rispetto alla linea di terra. Se le velocità iniziali dei due proiettili sono differenti, quale dei due proiettili impiea più tempo per arrivare a terra? (Trascurare oni forma di attrito). A B C D E Impieano entrambi lo stesso tempo. Il proiettile sparato con velocità iniziale maiore. Il proiettile sparato con velocità iniziale minore. Il proiettile con massa maiore. Il proiettile con massa minore. Esercizio 1.6. Un calciatore colpisce una palla con anolo di 30 0 rispetto all orizzontale. Nell ipotesi che la palla descriva una traiettoria piana e che la sua velocità iniziale sia v 0 = 20 m/s a) determinare l istante di tempo t in cui la palla raiune il punto più alto della sua traiettoria; b) trovare l altezza massima raiunta dalla palla; c) determinare per quanto tempo la palla rimane in aria; d) determinare la ittata. Esercizio 1.7. Un cannone viene puntato verso un bersalio che inizia a cadere (in caduta libera) nell istante dello sparo. Qualunque sia la velocità del proiettile esso colpisce sempre il besalio. Perché? Spieare. Esercizio 1.8. Il pilota di un aereo ha il compito di far pervenire una cassa di viveri in un punto preciso denominato bersalio. L aereo si dirie verso il bersalio volando parallelamente alla linea di terra a una quota di 5, 0 km e a una velocità costante v = 500 km/h. Quale deve essere l anolo di mira affinché la cassa colpisca il bersalio? (Trascurare li attriti). 6