Moto di un proiettile

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1 Moto di un proiettile bbiamo ià isto il moto erticale di un corpo nel campo raitazionale, ediamo ora cosa capita quando lanciamo un corpo con un anolo rispetto all orizzontale. Visto che l unica accelerazione è quella di raità ed è diretta erso il basso, il corpo sarà decelerato in salita ed accelerato in discesa. Il corpo tuttaia si muoe anche in orizzontale, in tale moimento però non incontra accelerazioni per cui il moto è rettilineo uniforme. Si ha: r r0 0 t t che in componenti dienta i j 0 i 0 j ( 0 i 0 j) t ( j ) t per cui: 0 0t 0 0t t doe 0 0 i 0 j è la elocità iniziale Se poniamo il sistema di coordinate con l oriine nel punto di lancio si ha r 0 0 ed il sistema si semplifica: 0 t 0 t t La seconda equazione corrisponde ad un moto erticale di un corpo lanciato a elocità 0, sappiamo ià che il tempo di salita è uuale al tempo di discesa, la somma di due tempi è detta tempo di olo. La distanza percorsa in orizzontale dal proiettile è detta ittata. Il corpo nel tempo di salita, oltre a raiunere la massima altezza H, percorre in orizzontale anche metà ittata G. 0 Ricordando la relazione H 0 isto che alla massima altezza 0 si ricaa H 0 mentre il tempo di salita lo ricaiamo da 0 ts cioè ts la ittata sarà allora allo spazio percorso in orizzontale nel doppio del tempo di salita: 00 G 0 ts

2 C B H P 0 D Q O 0 Come si ede dalla fiura, nel moto del punto P la 0 si mantiene costante, alla massima altezza H la = 0 e la 0. Se consideriamo il moto puramente erticale di un punto Q animato da una elocità pari a 0, il punto Q raiune B nello stesso tempo impieato da P per raiunere la massima altezza H. Nella fase di discesa CD, il punto Q raiune il suolo contemporaneamente a P. I tempi di salita e di discesa sono uuali. Se scriiamo H e G in funzione dell anolo si ha: G H sen 0 e 0 sen cos G in particolare dalla seconda, chiediamoci quando è massima la ittata. Ora se consideriamo 0 = 0 sen e 0 = 0 cos come lati di un trianolo rettanolo, la ittata sarà massima quando il loro prodotto è massimo. Il prodotto costituisce il doppio dell area del trianolo rettanolo, ricordando che un trianolo rettanolo si può inscriere in una semicirconferenza di diametro 0, l area del trianolo è base per altezza, ma la base è fissa e corrisponde al diametro, e quindi la massima area si ha per l altezza corrispondente al raio, i cateti deono essere quindi uuali, dee essere sen = cos, da cui = 45.

3 Esercizio: Un proiettile iene lanciato da.00 m dal suolo con un anolo = 60 rispetto all orizzontale. a ) b ) Qual è il rane delle elocità che permettono al proiettile di passare attraerso la finestra F distante 8.00 m dal punto di lancio con le caratteristiche in fiura? E possibile colpire il barattolo posto a.00 m dalla finestra? Se la risposta è affermatia calcola la elocità necessaria, se la risposta è neatia determina il rane dello spostamento erticale del punto di lancio. Finestra.00 m 5.00 m a ) Occorre innanzitutto sceliere un sistema di coordinate, p.es. nel punto di lancio: N M.00 m O 5.00 m In tal modo si hanno le coordinate ( 0.0,.00 ), M ( 8.00, 3.00 ) ed N ( 8.00, 4.00 ) Scriiamo le equazioni del moto: cos60 t ; t t sen 60. Eliminando il parametro t si ha che è l equazione della parabola. tan 60 ( cos

4 Per riuscire a passare attraerso la finestra occorre imporre il passaio per M ed N: 64.0 e m / s tan 60 ( cos 64.0 e.9.3 m / s tan 60 ( cos quindi il rane richiesto è m / s b ) il proiettile, oltre a passare dalla finestra dee colpire, determiniamo la elocità necessaria: passaio per ( 0.0,.00 ): 00 e m / s non è possibile perché non rientra nel rane tan 60 ( cos precedente. Per riuscire a colpire occorre spostare il punto di lancio in erticale come richiesto. Il rane dello spostamento erticale corrisponde alle parabole tra quella passante per, M ed O, e quella passante per, N ed O, doe O ed O sono i due nuoi punti di lancio. In tal caso se O ( 0.00, ), dalla parabola tan 60 imponiamo il passaio per ( cos ( 0.0,.00 ) e per M ( 8.00, 3.00 ) tan tan 60 Eliminando diidendo membro a membro si ricaa: tan tan 60 da cui 4.9 m Con O ( 0.00, ) imponendo il passaio per ( 0.0,.00 ) e per N ( 8.00, 4.00 ) si ha: tan tan tan 60 come prima tan 60 Da cui 6.97m Per cui il rane è m

5 Esercizio : Un corpo iene lanciato erso l alto. lla massima altezza h iene sparato un proiettile con elocità in direzione del corpo. Riuscirà il proiettile, per qualunque elocità iniziale a colpire il corpo? d 0 t Per il proiettile 0 t t h Per il corpo h t. 0 d Dalla similitudine 0: 0 d : h per cui h 0 t 0 Sostituendo h nella lee oraria del corpo si ha la stessa lee oraria del proiettile. Il proiettile ed il corpo raiuneranno quindi nello stesso tempo la stessa altezza. d