Il moto del proiettile

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1 Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Via Possidonea, Reio Calabria - Tel: / Anno Scolastico Il moto del proiettile Prof. Francesco Zumbo oppure personale : [email protected] Dedico questo lavoro Scientifico Didattico a mio Padre Natale, al Suo innato intuito per la Fisica e al suo costante impeno per avvicinare i iovani all amore per la scuola e al milioramento professionale e personale, al fine di dare un contributo alla societá e a se stessi. Spesso mi viene in mente una sua frase : Non é importante che lavoro si svole nella vita, ma é importante come lo si fa, perché oni lavoro é il ritratto di chi lo eseue. Con Affetto, Francesco Reio Calabria, 19 Settembre 007 1

2 Questi appunti voliono essere un ulteriore strumento didattico per li studenti. Idea che mi é venuta dopo essere stato a contatto con bambini e studenti affetti da Sclerosi Multipla, costretti a lunhe deenze presso il Reparto di Neuroloia dell Ospedale di Fidenza (Parma), Divisione Diretta da una Eccezionale persona, il Prof. Enrico Montanari a cui mia riconoscenza e stima andranno Sempre. A coloro che vorranno dare un piccolo contributo all Associazione Nazionale per la Lotta Contro la Sclerosi Multipla (sezione di Parma) un Grande Grazie!!! Conto Corrente Postale : Intestato a: AISM di Parma (Associazione Italiana Sclerosi Multipla) di Parma - Indirizzo: Piazzale S. Sepolcro, Parma (PR) - Telefono : Con la seuente Causale: + Matematica,- Sclerosi Multipla

3 3 1. GENERALITÁ Il moto del proiettile é uno dei movimenti fondamentali della cinematica del punto. Indicheremo con + il verso ascendente dei vettori e con il verso discendente dei vettori. Supponiamo di posizionare un cannone con la bocca da fuoco disposta sull oriine di un sistema di assi cartesiani ortoonali S (O, x, y). La traiettoria che percorre un proiettile, come dimostreremo in seuito, é parabolica e tale parabola é enerata dalla composizione durante il movimento della velocitá v e dell accelerazione di ravitá. Ipotiziamo di essere nel vuoto e in un ambiente dove l accelerazione di ravitá vale 9, 81 m metri ( ) quindi prescindiamo dalle resistenze di attrito nell aria. sec secondi al quadrato I dati iniziali che si utilizzano sono: l accelerazione di ravitá e la velocitá iniziale del proiettile v i quando questi esce dalla bocca da fuoco.

4 4 Fiura 1 Indicheremo con la componente di v i sull asse x v iy la componente di v i sull asse y x la componente di sull asse x. É uuale a 0 perché é perpendicolare all Asse x y la componente di sull asse y. É uuale a 9,81 m sec

5 5. IL MOTO DEL PROIETTILE La direzione del vettore accelerazione di ravitá é quella della coniunente tra il baricentro del proiettile sparato e il centro della terra. Supponiamo di fissare un sistema di riferimento cartesiano ortoonale con oriine nella bocca da fuoco del cannone che spara il proiettile. Indichiamo con seno + i vettori orientati verso l alto e con seno quelli orientati verso il basso. Scomponiamo l accelerazione di ravitá nelle componenti cartesiane x = 0 (.1) y = 9, 81 m sec Questa scomposizione ci permette di capire alcune cose fondamentali, visto che l accelerazione luno l asse x é nulla implica che luno l asse x il moto é rettilineo uniforme; mentre, visto che c é accelerazione costante, luno l asse y si ha un moto rettilineo uniformemente accelerato. Di conseuenza esisterá il seuente leame tra le velocitá v x = (.) v y = v iy t Visto che sull asse x si svolerá un moto rettilineo uniforme, mentre sull asse y un moto rettilineo uniformemente accelerato, per l Asse x riportiamo la lee oraria del moto rettilineo uniforme e per l Asse y la lee oraria del moto rettilineo uniformemente accelerato (.3) x = t y = v iy t 1 t

6 6 ricaviamo il tempo dalla prima equazione (.4) t = x lo sostituiamo nella seconda equazione (.5) y = v iy ( x ) 1 ( x ) svoliamo le operazioni (.6) y = v i y riordiniamo secondo la forma x 1 x v i x (.7) y = x, x, termine noto (.8) y = 1 x v i x + v i y x (.9) y = ( v i x ) x + ( v i y ) x le quantitá,, v iy sono i dati iniziali e noti del problema, quindi sono delle costanti, pertanto l equazione (.9) puó essere scritta nella forma (.10) y = ax + bx che é l equazione di una parabola passante per l oriine. Tale equazione dimostra che il moto di un proiettile é sempre parabolico e l equazione

7 7 della traiettoria parabolica é data dalla fondamentale equazione (.11) y = ( v i x ) x + ( v i y ) x dove le quantiá x e y sono le coordinate del punto durante il movimento P (x; y)

8 8 3. ELEMENTI DI GONIOMETRIA PER LO STUDIO DEL MOTO DEL PROIETTILE Fiura Consideriamo un trianolo rettanolo dove indichiamo con c 1 e c i cateti e con i l ipotenusa. Dai teoremi di oniometria sui trianoli rettanoli sappiamo Teorema 1: un cateto é uuale all ipotenusa per il seno dell anolo opposto al cateto da calcolare: (3.1) c 1 = i sin(α) (3.) c = i sin(β) Teorema : un cateto é uuale all ipotenusa per il coseno dell anolo adiacente al cateto da calcolare: (3.3) c 1 = i cos(β) (3.4) c = i cos(α)

9 Teorema 3: un cateto é uuale all altro cateto per la tanente dell anolo opposto al cateto da calcolare 9 (3.5) c 1 = c t(α) (3.6) c = c 1 t(β) Teorema 4: un cateto é uuale all altro cateto per la cotanente dell anolo adiacente al cateto da calcolare. (3.7) c 1 = c ct(β) (3.8) c = c 1 ct(α) Inoltre valono le seuenti formule fondamentali (3.9) sin (α) + cos (α) = 1 relazione fondamentale della oniometria (3.10) t(α) = sin(α) cos(α) (3.11) ct(α) = 1 t(α) = cos(α) sin(α)

10 10 4. EQUAZIONE DEL MOTO DEL PROIETTILE CON LA GONIOMETRIA Fiura 3 Dai teoremi di oniometria associati ai trianoli rettanoli, associando la quantitá al cateto orizzontale, la quantitá v iy al cateto verticale e v i all ipotenusa, si ha (4.1) = v i cos(α) per il teorema (4.) v iy = v i sin(α) per il teorema 1 con α anolo formato dal vettore velocitá iniziale v i e l asse delle ascisse X. Torniamo all equazione del moto (4.3) y = ( v i x ) x + ( v i y ) x inseriamo le precedenti in tale equazione (4.4) y = ( (v i cos(α)) ) x + v i sin(α) v i cos(α) x (4.5) y = ( vi cos (α) ) x + t(α) x

11 11 scriviamo questa equazione isolando il termine 1 cos (α) (4.6) y = v i la quantitá 1 del monomio 1 cos (α) x + t(α) x 1 cos (α) puó essere scritta inserendo la relazione fondamentale (3.9) sin (α) + cos (α) = 1 Da cui (4.7) 1 cos (α) = sin (α) + cos (α) cos (α) separando li addendi del numeratore (4.8) 1 cos (α) = sin (α) cos (α) + cos (α) cos (α) = t (α) + 1 per cui (4.9) 1 cos (α) = t (α) + 1 inseriamo la (4.9) nella (4.6) (4.10) y = v i (t (α) + 1) x + t(α) x y = ( x ) (t (α) + 1) + t(α) x vi moltiplichiamo y = x v i t (α) x v i + t(α) x

12 1 portiamo tutto al primo membro (4.11) x v i t (α) + x v i + t(α) x + y = 0 Questa é l equazione del moto del proiettile in forma oniometrica. Esprime l equazione del moto del proiettile in funzione della velocitá iniziale v i e dell anolo di inclinazione rispetto al piano orizzontale α. Ricordiamo che: é l accelerazione di ravitá; v i é la velocitá iniziale; x e y le coordinate del proiettile durante il movimento; α l anolo che forma il cannone rispetto al piano orizzontale, al momento dello sparo.

13 13 5. GITTATA DEL PROIETTILE Si definisce ittata del proiettile la distanza misurata sull asse orizzontale x tra l oriine deli assi dove é posizionato il cannone e il punto di arrivo del proiettile, B. Il punto B essendo un punto appartenente all asse x é caratterizzato dall avere l ordinata nulla (y = 0), pertanto basta porre y = 0, nell equazione (4.3) (5.1) 0 = ( v i x ) x + ( v i y ) x mettiamo la x in evidenza (5.) x[( v i x ) x + ( v i y )] = 0 la prima soluzione é banale x 1 = 0 rappresenta l ascissa dell oriine deli assi, visto che per ipotesi il proiettile parte dall oriine deli assi. Ricaviamo la seconda soluzione x (5.3) ( v i x ) x + ( v i y ) = 0 (5.4) ( v i x ) x = ( v i y ) moltiplichiamo la (5.4) per otteniamo v i x (5.5) x = ( v i x ) (v i y )

14 14 (5.6) x = v i x v iy (5.7) x = v iy tale equazione é l equazione della ittata del proiettile. Ricaviamo adesso l equazione della ittata in forma oniometrica. Dai teoremi di oniometria associati ai trianoli rettanoli sappiamo che (5.8) = v i cos(α) (5.9) v iy = v i sin(α) con α anolo formato dal vettore velocitá iniziale v i e l asse delle ascisse X. Inseriamo le (4.1) e (4.) nella (5.7) (5.10) x = v i cos(α) v i sin(α) (5.11) x = v i cos(α) sin(α) tale equazione rappresenta l equazione della ittata in forma oniometrica. Questa formula é importantissima poiché ci da la possibiltá di calcolare la ittata in funzione dell anolo di inclinazione α del cannone rispetto al piano orizzontale.

15 15 6. GITTATA MASSIMA Partiamo dall equazione della ittata massima in forma oniometrica. Al fine di ottenere la massima ittata é importante che il prodotto delle componenti della velocitá iniziale v iy sia massimo. Per massimalizzare la (5.11), cioé cercare il massimo valore della ittata a paritá di velocitá iniziale, variamo unicamente l inclinazione del cannone. Dalla oniomeria sappiamo che il prodotto sin(α) cos(α) é massimo per α = 45 o = π 4 (radianti) inoltre, sappiamo che sin(45 o ) = cos(45 o ) = per calcolare la ittata massima dobbiamo inserire tali valori nell aequazione (5.11) (6.1) x max = v i (6.) x max = v i 4 (6.3) x max = v i 1

16 16 (6.4) x max = v i questa é la formula della ittata massima che si ottiene per un anolo α = 45 o = π 4 Tale equazione ci dice che la ittata massima é funzione diretta del quadrato della velocitá iniziale e inversa rispetto al valore dell accelerazione di ravitá. Se il colpo di cannone lo sparassimo sulla luna, dove l accelerazione di ravitá é la sesta parte di quella della terra, il proiettile arriverebbe ovviamente, sei volte piú lontano!

17 17 7. COME COLPIRE UN PUNTO DI COORDINATE NOTE! Supponiamo di voler colpire il punto Fiura 4 B (x B ; y B ) Per analizzare questo problema dobbiamo ricorrere all equazione del moto del proiettile in forma oniometrica: (7.1) x v i t (α) + x v i + t(α) x + y = 0 Una volta particolarizzati i valori x e y con x B e y B la (7.1) sará composta dalle costanti :, x B, y B, v i

18 18 e la variabile sará rappresentata dalla quantitá t(α) che, implicitamente contiene informazioni sull anolo α. α indica di quanti radi dobbiamo inclinare il cannone al fine di colpire il punto B (x b ; y B ). (7.) x B v i t (α) + x B v i + t(α) x B + y B = 0 Se uardiamo con attenzione tale formula, ce ne accoriamo che avremo distinti valori di t(α) in quanto si tratta di equazione di secondo rado. Questo perché il punto B puó essere colpito sia per tiro diretto (fase acendente dell arco di parabola della traiettoria del proiettile), sia per tiro indiretto (fase discendente dell arco di parabola della traiettoria del proiettile). Ovviamente il tiro diretto lo avremo per il piú piccolo dei due valori di α. É bene tenere presente che in balistica, utilizzando il tiro indiretto, si possono colpire obiettivi con ostacoli interposti tra il cannone e l obiettivo, ad esempio si puó colpire un obiettivo al di lá di una montana.