Il moto parabolico con lancio obliquo. senα. 0x 2. 2v 2 0x

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1 1 Il moto parabolico con lancio obliquo Fiura 1 Un proiettile è lanciato con elocità _ 0 a un anolo di lancio con l orizzontale. Un proiettile, schematizzato con un punto materiale, iene lanciato con elocità _ 0 a un anolo di lancio rispetto all orizzontale. Fissato un sistema di riferimento con l oriine nel punto di lancio del proiettile e li assi orientati come in fiura, si uole dimostrare che il proiettile ricade al suolo dopo aer descritto una traiettoria parabolica. Il moto del proiettile è, in oni istante, il risultato della composizione di due differenti moti indipendenti che si solono uno luno l asse e l altro luno l asse. Il proiettile è soetto a oni istante a un accelerazione diretta erticalmente erso il basso di intensità pari all accelerazione di raità e che indichiamo con il ettore _. Rispetto al sistema di riferimento fissato, la componente dell accelerazione luno l asse ale. Luno l asse delle il moto è rettilineo uniforme con elocità costante pari a 0, la componente orizzontale della elocità. La lee oraria è: t (1) Luno l asse delle il moto è rettilineo uniformemente decelerato durante la salita (da a ) e rettilineo uniformemente accelerato durante la discesa (da ad ). La lee oraria è: = t 1 _ t () doe è la componente della elocità iniziale luno l asse. Si ricordi che le componenti della elocità si calcolano con le seuenti relazioni: 0 cos e sen Per ottenere l equazione della traiettoria, ricaiamo il tempo dalla prima lee oraria (1) e sostituiamolo nella seconda (). Si ottiene: t = e = 0 _ 1 (3) che è l equazione di una parabola. 0 Introduciamo due costanti a e b così definite: a = _ e b = L equazione parabolica del proiettile assume allora la forma più semplice: = b a La parabola ha il ertice nel punto e la concaità riolta erso il basso come è mostrato nella fiura RCS Libri S.p.. - Bruno Consonni - Clara Pizzorno - incenzo Rausa - I Perché della Fisica - Tramontana

2 Il tempo di olo e la ittata del proiettile Iniziamo a calcolare il tempo di salita del proiettile, cioè il tempo che impiea per andare da a (fi. 1). Luno la erticale il moto è rettilineo uniformemente decelerato (accelerazione pari a ) con elocità iniziale pari a e elocità finale (sempre luno l asse delle ) uuale a zero. Il tempo di salita è: t = _ 0 a = _ 0 = 0 Il tempo di olo, cioè il tempo impieato per andare da ad (fi. 1) è il doppio del tempo di salita. L accelerazione del proiettile, in alore assoluto, è sempre uuale a sia durante la salita, sia durante la discesa, perciò il tempo impieato dal proiettile per andare da a è uuale al tempo necessario per scendere da ad. Il tempo di olo perciò è dato da: t olo = _ 0 (4) La ittata del proiettile è la distanza fra il punto di lancio e quello di caduta. Poiché luno l asse il proiettile si muoe di moto rettilineo uniforme, la ittata è data da: 0 t olo = _ Sostituendo a 0 e a le loro espressioni si ottiene: in quanto sen cos = sen. = cos sen 0 = sen 0 (5) La quota massima Per determinare la quota massima raiunta dal proiettile, cioè la distanza (fi. 1), si utilizza la lee oraria = t 1 _ t. Sostituendo il tempo di salita t =, si ottiene: = t _ 1 t = 1 _ ( 0 ) = = La quota massima ma è perciò: ma = 0 (6) 01 RCS Libri S.p.. - Bruno Consonni - Clara Pizzorno - incenzo Rausa - I Perché della Fisica - Tramontana

3 3 Problema risolto Due proiettili sono lanciati dallo stesso punto con una elocità di m/s. Nel primo caso il ettore elocità forma un anolo di 30 con l orizzontale, mentre nel secondo caso l anolo a è di 60. Quale proiettile ricade per primo al suolo? Quale dei due iune più lontano? Soluzione I caso: = 30 Consideriamo il primo proiettile, i dati che lo indiiduano sono: 0 = m/s; = 30 ; t olo =? =? Calcoliamo le componenti della elocità di lancio del proiettile: 0 cos30 = 0 3 _ = 3 _ m/s = 35 m/s; sen30 = m/s _ 1 = 0 m/s Determiniamo il tempo di olo e la ittata del proiettile: t olo = _ = _ 0 m/s = 4,1 s 9,81 m/s t olo = 35 m/s 4,1 s = 0,14 km II caso: = 60 Consideriamo il secondo proiettile e calcoliamo le componenti della sua elocità di lancio: 0 cos60 = 0 = 0 m/s sen60 = 0 3 _ = 3 _ m/s = 35 m/s Il tempo di olo del secondo proiettile t olo = _ = _ 35 m/s = 7,1 s, risulta superiore a quello del primo. 9,81 m/s La ittata del secondo proiettile è inece uuale a quella del primo in quanto si calcola con la relazione: (m) = 0 0 _ e il prodotto 0 è lo stesso per entrambi i proiettili Il risultato ha un carattere enerale: due proiettili lanciati con anoli di lancio e β complementari ( + β = 90 ) hanno la stessa ittata. La fiura mostra le traiettorie dei proiettili Le traiettorie di due proiettili i cui anoli di lancio risultano complementari sono uuali se i proiettili sono lanciati con la stessa elocità (m) 01 RCS Libri S.p.. - Bruno Consonni - Clara Pizzorno - incenzo Rausa - I Perché della Fisica - Tramontana

4 4 1 Ricaa l equazione della quota massima raiunta da un proiettile lanciato da terra con elocità e inclinazione β. Commenta i passai. [ 0 ] Perché si ottiene la stessa ittata se li anoli di lancio sono complementari? Proa a dimostrarlo. [è sufficiente dimostrare che il prodotto sencos è uuale al prodotto del coseno e del seno dell anolo complementare] 3 Un proiettile iene lanciato da terra con una inclinazione di. Sapendo che raiune la quota massima di 100 m, determina: a) la elocità iniziale b) il tempo di olo c) la ittata d) la elocità con la quale tocca terra erifica che la ittata non cambia se il lancio iene effettuato con un inclinazione che risulta complementare al primo lancio. 68,9 m/s [68,9 m/s; 9,03 s; 477 m; ] 4 Un proiettile iene lanciato con una elocità = 50 m/s in una direzione formante un anolo di 45 con l orizzontale. Determina: a) il tempo per raiunere la quota massima; b) la quota massima; c) la ittata. [3,6 s; 64 m; 55 m] Si determina perciò la ittata e la quota massima raiunta dal proiettile utilizzando l espressione delle coordinate del ertice di una parabola: _ ( b ; a 4a ) Determina la semiittata del proiettile: = _ b a = da cui si ricaa =... e la quota massima: h G = 4a =... 0 che sono le stesse espressioni ricaate in precedenza. Infine, riscrii l espressione della ittata e erifica che se il lancio aiene con due inclinazioni dierse ma complementari, la ittata non cambia. a [ = _ 0 ; b = ; c = 0 0 ] 6 Una pietra iene lanciata dall alto di un muro di 10 m con una elocità di 10,0 m/s inclinata erso il basso di 30, come indicato in fiura L equazione della parabola per un lancio obliquo è: = Scrii l equazione canonica della parabola e, per confronto con l equazione assenata, stabilisci i alori dei coefficienti a, b, e c. sserando la fiura, la distanza indica la semiittata che corrisponde alla coordinata del ertice della parabola, mentre indica l altezza massima raiunta dal proiettile che, a sua olta, corrisponde alla coordinata del ertice della parabola. Determina il punto di impatto della pietra con il suolo e la sua elocità quando tocca terra. Considera = 9,8 m/s. [8,7 m; 17 m/s] 7 Un iocatore di olf manda in buca una palla con un lancio di 0 m effettuato con un inclinazione iniziale di 30. Calcola la massima altezza raiunta dalla palla. [,9 m] 0 m 8 Un iocatore di football calcia un pallone sul terreno a un anolo di 35 e con una elocità di 8 m/s. Calcola il tempo di olo e la ittata del lancio. Qual è la elocità del pallone dopo 0,50 s dal lancio? Ricaa la elocità con cui il pallone ricade al suolo. [3,3 s; 76 m; 11 m/s; 8 m/s] 01 RCS Libri S.p.. - Bruno Consonni - Clara Pizzorno - incenzo Rausa - I Perché della Fisica - Tramontana

5 5 9 Una teola si stacca dal tetto di un edificio alto 1,0 m e lo abbandona con una elocità di 8,0 m/s inclinata di 35 erso il basso. i piedi dell edificio, alla distanza di 8,0 m si troa un aso. Stabilisci se la teola lo colpisce. [no, perché la ittata è di 7,6 m] Un raazzo lancia dall altezza di 1,0 m un sasso alla elocità di 18,0 m/s e con un anolo di 45 rispetto all orizzontale. Calcola quanto tempo impiea il sasso a colpire l acqua e se colpisce una boa che dista 4,4 m dallo scolio. [3,33 s ; sì] 18 m/s 45 1 m t =? 13 Un pallone iene calciato dal suolo con elocità _ 0 che forma un anolo rispetto all orizzontale. Indica quali, tra le seuenti affermazioni sono corrette. a Fissato l anolo di lancio, il tempo di olo è direttamente proporzionale alla componente. b Fissato il modulo della elocità iniziale, il tempo di olo è direttamente proporzionale all anolo di lancio. c Fissato l anolo di lancio, la ittata è direttamente proporzionale al quadrato del modulo della elocità iniziale. d Fissato l anolo di lancio, la ittata è direttamente proporzionale al modulo della elocità iniziale. e Fissato l anolo di lancio, la massima quota è inersamente proporzionale al quadrato del modulo della elocità iniziale. f Fissato l anolo di lancio, la massima quota è direttamente proporzionale al modulo della elocità iniziale. 14 Due cannoni, posti uno di fronte all altro, sparano due proiettili dalla stessa altezza. l tempo t = 0 un cannone spara un proiettile con una elocità di 00 _ m/s e a un anolo di 45 con l orizzontale. Dopo 5,00 s il secondo cannone spara un proiettile a un anolo di 60 e con una elocità di 300 m/s. I due proiettili collidono. Dopo quanto tempo dallo sparo del secondo cannone aiene la collisione? Quanto distano i cannoni? [8,06 s; 3, m] 00 m/s m/s 11 Un iocatore calcia un pallone da terra con un anolo di 30 rispetto all orizzontale, rappresenta in un riferimento cartesiano la ittata in funzione del modulo della elocità iniziale. Come cambierebbe il rafico se il iocatore si troasse sulla Luna? [si tratta di una proporzionalità quadratica diretta, quindi ; sulla Luna è minore, la costante di proporzionalità aumenta quindi ] 1 Un pallone iene calciato con elocità iniziale di modulo 10 m/s, rappresenta in un piano cartesiano il tempo di olo in funzione dell anolo di lancio. [ ] Il tempo di olo si calcola t = = _ 0 sen. Sostituendo 0 = 10 m/s e 10 m/s si ottiene t = (s 1 )sen. Per 0 π/ ( = π/ corrisponde a un lancio erticale) il rafico è un tratto di sinusoide di ampiezza s La moto in fiura è inizialmente ferma. 5,0 m B 60 Nell istante in cui il pallone è lanciato a un anolo di 60 e con una elocità di 10 3 _ m/s il conducente della moto inizia a muoersi con moto rettilineo uniformemente accelerato. ffinché il pallone colpisca la moto nel punto C l accelerazione della moto dee essere (in metri al secondo quadrato): a 17 b 6,7 c 4, d 5,7 C 01 RCS Libri S.p.. - Bruno Consonni - Clara Pizzorno - incenzo Rausa - I Perché della Fisica - Tramontana