Caduta libera in due dimensioni

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1 Caduta libera in due dimensioni La caduta libera in due dimensioni si studia facilmente razie al principio d indipendenza dei moti in direzioni perpendicolari scoperto da Galileo, ale a dire che il moto orizzontale ha le stesse caratteristiche che arebbe se il moto erticale non ci fosse, e iceersa. E a motio di tale principio che in fisica enono introdotti deli oetti matematici, i ettori, che si sommano tramite la reola del paralleloramma, una tecnica rafica che permette di isualizzare il risultato che si ottiene eseuendo addizioni e sottrazioni di posizioni, elocità ed accelerazioni sommando in modo completamente indipendente le coordinate in direzioni perpendicolari. LA CINEMATICA DEL MOTO DI UN PUNTO MATERIALE IN UNA DIREZIONE E INDIPeNDENTE DA QUELLA CHE IL PUNTO HA IN UNA QUALUNQUE ALTRA DIREZIONE AD ESSA PERPENDICOLARE Un tizio che lancia una palla in alto, con elocità iniziale esattamente erticale, mentre è trasportato da un tappeto scorreole con elocità costante, si ede la palla ricadere nelle mani. Il moto erticale della palla non ha influenzato quello orizzontale che la palla inizialmente possedea perché trascinata dal nastro. Una palla lasciata cadere dalla bocca di un cannone in cima ad un altura, tocca terra nel medesimo istante in cui lo fa un altra palla contemporaneamente sparata in direzione orizzontale. Dato che il moto orizzontale impresso dal cannone non modifica in alcun modo quello erticale, il tempo di caduta dei due rai dee essere lo stesso. 4

2 Cinematica del lancio orizzontale Come si ede in fiura la elocità orizzontale resta costante: non essendoci forza in quella direzione non c è nemmeno accelerazione. La elocità erticale aumenta oni secondo di 9.8 m/s erso il basso a causa della forza douta al peso, ma questo non ha nessuna influenza sul moto orizzontale. Possiamo immainare due luci che illuminano il proiettile, una dall alto ed una da sinistra. Le due ombre proiettate suli assi seuono moti indipendenti, onuno oernato dalla sua componente di elocità iniziale e dalla sua componente di forza. Scriiamo le lei orarie: t posizione: t elocità t t traiettoria Il tempo di caduta è lo stesso che nel caso erticale, e così per la elocità erticale nell istante in cui tocca terra: t ; la ittata R (rane) si ottiene inserendo il tempo di caduta nell equazione oraria della posizione luno la direzione orizzontale: R Esempio 5 Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una collina alta 5 m, con una elocità iniziale di 5 m/s. Si dica a quale distanza dalla erticale che passa per il cannone cade il proiettile, e qual è la sua altezza quando si troa a 7 m da tale erticale. Scriiamo la lee oraria della posizione per il proiettile e da questa ricaiamone la traiettoria: 5t t 5 come si ede il coefficiente del termine di secondo rado nella traiettoria è molto piccolo rispetto ali altri numeri, il che indica che si tratta di una parabola molto allarata, come ci aspettiamo osserando che in un colpo di cannone i primi metri sono percorsi da proiettile praticamente in orizzontale. Imponiamo che l altezza sia nulla per troare la ittata: 5 m m 5 m/s m Sostituendo la posizione troiamo l altezza corrispondente: 7 m nella traiettoria 7 m 38 m 5 m

3 Esempio 6 Una raazza affacciata da un balcone alto 8. m lancia una rosa in direzione orizzontale per il suo innamorato che si troa alla distanza di 4. m dal muro della casa. Trascurando la resistenza dell aria, si dica con quale elocità dee lanciare al rosa affinché cada nelle mani del raazzo, se questi si china raccoliendola un istante prima che tocchi terra. 8. m Scriiamo la lee oraria della posizione per la rosa e da questa ricaiamone la traiettoria: t t 4. m imponiamo che alla distanza di inconita : 4. m l altezza della rosa sia zero e troiamo un equazione nella sola m/s 8. Esempio 7 Una pallina rotola iù da un piano con elocità orizzontale di 4.8 m/s. Sapendo che tocca terra dopo.8 s si dica quanto è alto il piano, a quale distanza cade la bilia e quant è la sua elocità un istante prima di toccare terra. Scriiamo le lei orarie della elocità e della posizione per la pallina e da quest ultima ricaiamo la traiettoria: t 4.8t.3 4.9t Sapendo che la pallina è a terra dopo del piano e la ittata del lancio: m.8 s troiamo l altezza m troiamo la componente erticale della elocità nell istante di contatto e da questa il modulo della elocità finale: (.8) (.8) 4.8 m/s (.8) 4.8 ( 7.8) 9. m/s (.8) m/s 6

4 Cinematica del lancio obliquo Consideriamo un proiettile in caduta libera sparato dall oriine con una elocità iniziale che formi un anolo (theta) con l asse orientato delle ascisse. Se indichiamo le componenti della elocità con (, ), (in fiura ma sono riportati inece i ettori componenti ), per il principio di indipendenza dei moti in direzioni perpendicolari possiamo scriere subito le lei orarie della posizione e della elocità: ma R elocità: t posizione: t t t traiettoria: t Come si ede, anche in questo caso la traiettoria è una parabola, ben isibile ad esempio osserando il etto d acqua della fontane oppure la traiettoria descritta dalla laa nel filmato di un eruzione ulcanica. Calcoliamo il tempo t ma che occorre al proiettile per raiunere il punto di massima altezza. A differenza del lancio in direzione erticale, ora la elocità non è nulla nel massimo, è inece orizzontale, e ale, cioè esattamente quanto alea all inizio, non essendoci accelerazione luno. Il fatto che nel massimo si annulli la componente erticale della elocità, consente di ricaare il alore di t ma : ( tma ) t tma Le coordinate del massimo si ottenono inserendo t ma nelle lei orarie della posizione (oppure con le formule per il ertice della parabola applicate alla traiettoria): ma ma Per la simmetria delle due fasi di salita e discesa della componente erticale del moto, il tempo complessio t di permanenza in olo è due olte t ma : t Grazie all indipendenza dei moti orizzontale e erticale, la ittata R si ottiene inserendo il tempo complessio di caduta t nell equazione oraria della posizione luno la direzione orizzontale: R t A parità del alore di intensità iniziale, l ampiezza della ittata aria sensibilmente a seconda dell inclinazione iniziale del ettore elocità. L inclinazione è determinata dai alori delle componenti orizzontale e erticale e di, e come si ede la ittata è massima quando è massimo il prodotto. I componenti della elocità iniziale sono però incolati dalla relazione: 7

5 Fissata la elocità iniziale, cioè fissato, osseriamo che il prodotto è l area di un rettanolo di diaonale e lati e. L area di un rettanolo di diaonale fissata assume il suo alore massimo quando i due lati sono uuali e diiene un quadrato. Consideriamo infatti la semicirconferenza che ha per diametro la diaonale comune a questa familia di rettanoli, ed osseriamo che ciascuno di essi è diiso in due trianoli rettanoli uuali dalla diaonale, dei quali è anche ipotenusa. Al ariare delle misure dei cateti questi trianoli sono sempre inscritti nella semicirconferenza, pertanto, mentre la misura della base rimane costante, la loro altezza può ariare da zero fino ad un alore massimo, che è il raio della semicirconferenza. Il trianolo che ha la massima altezza possibile a parità di base ha anche la massima area e, per la simmetria della fiura, è la metà di un quadrato, come oleamo dimostrare. Allora la ittata è massima quando, ed in questo caso l anolo di lancio è 45, e sostituendo nell espressione di R risulta: R ma 45 Inoltre, scambiando fra loro e nella relazione R si ottiene il medesimo R, cioè la ittata è la stessa per anoli di 45 lancio che differiscono da 45, in positio od in neatio, di uno stesso alore. Ad 45 esempio un lancio da terra inclinato di 75 R arria altrettanto lontano di uno inclinato di 5 che abbia la stessa elocità iniziale, in quanto entrambi differiscono di 3 dall anolo di ittata massima. Per il calcolo delle componenti iniziali della elocità e, una olta che siano noti l inclinazione e la lunhezza, basta considerare un trianolo rettanolo simile a quello di cateti e, ma di ipotenusa che misuri. Le lunhezze di cateti di qualunque trianolo rettanolo di ipotenusa unitaria sono memorizzate nella calcolatrice e si chiamano, seno di quello opposto all anolo, e coseno di quello adiacente. Attraerso semplici relazioni di similitudine si ottiene: cos cos sin sin cos sin 8

6 Esempio 8 Un calciatore colpisce il pallone imprimendoli una elocità iniziale inclinata di rispetto al terreno e d intensità 5 m/s. Riesce a superare una barriera alta.85 m e distante 9.5 m? Di quanti metri la ittata è inferiore al alore massimo possibile per quel modulo della elocità iniziale? Qual è la quota massima raiunta dal pallone? A che distanza dal punto iniziale iene raiunta? Dopo quanti secondi? Come prima cosa calcoliamo le componenti della elocità: cos 5. cos m/s sin 5. sin m/s Scriiamo quindi le lei orarie della posizione e da queste l equazione della traiettoria: lee oraria: 3.t 9.38t 4.9t traiettoria: t Per capire se la barriera iene superata occorre confrontare la quota del pallone a 9.5 m dalla posizione di lancio con l altezza della barriera : 3 (9.5) m essendo la quota maiore di.85 m la barriera iene superata. Imponiamo nell equazione della traiettoria per troare la ittata: 9.5 m m Confrontiamo la ittata con il alore massimo: 5. Rma 63.7 m Rma R m 9.8 Per il calcolo della quota massima raiunta inseriamo il tempo in cui si annulla la componente erticale della elocità nella lee oraria della posizione: lee oraria della elocità: lee oraria dello spazio: t.956 s t 9.8 (.956) m (.956) m per la simmetria del problema la posizione orizzontale del massimo risulta la metà della ittata, come si erifica anche utilizzando le formule per il ertice della parabola. 9

7 Esempio 9 Un mazzo di chiai iene lanciato da un altezza di affacciata alla finestra che si troa. m ad un anolo 6 e cade nelle mani di una persona 4. m sopra alla strada, alla distanza di 6. m dal punto di lancio. Quale elocità iniziale è stata impressa al mazzo di chiai? Per quanto tempo è rimasto in aria? Scriiamo le lei orarie dello spazio nel riferimento in fiura: ( t) cos 6t.5 t ( t). ( sin 6 ) t t..87 t 4.9t 4. m Calcoliamo il tempo che occorre alla coordinate orizzontale a percorrere 6. m, otterremo un espressione doe la elocità iniziale rimarrà inconita: t 6. t.5. m Sostituiamo questo alore nella coordinata erticale ed imponiamo che in quell istante la quota sia 4. m. Si ottiene una condizione per troare : 6. m m/s Il calcolo del tempo complessio del olo si effettua scriendo la lee oraria luno le ascisse con il alore troato, ed imponendo quindi che la posizione finale sia 6. m : 6. ( t).5t 4.9t 6. t.3 s 4.9 Esempio Un iocatore di pallacanestro eseue un tiro con elocità iniziale di 4. m/s con un anolo di 5 rispetto ad una linea orizzontale. A 8. m dalla sua posizione si troa il canestro, che iene centrato. Si dica di quanti metri il canestro è situato più in alto della mano che ha lanciato il pallone, e se nell istante del centro la palla ha ià scaalcato il punto di massima altezza della traiettoria. 5 Scriiamo la lee oraria della posizione del tiro nel riferimento in fiura, aendo indicato con ed la quota iniziale del pallone e l altezza del canestro, rispettiamente. 8. m

8 ( t) cos 5t 8. 9.t ( t) 4. sin 5t t.7t 4.9t Il pallone raiune il canestro quando ( t), quindi si ha per il tempo di permanenza in olo: t t. s 9. I dati del problema forniscono quindi la condizione (. s) da cui: m Nell istante in cui è raiunto il massimo si annulla la componente erticale della elocità: 4. sin 5 ( t) 4. sin 5 t t.9 s 9.8 che come si ede è precedente all istante in cui fa canestro. Esempio Un sasso iene scaliato da un promontorio alto 8 m con un anolo 35 rispetto all orizzonte 8m ed una elocità iniziale 5. m/s. Troare la massima altezza raiunta dal sasso, la distanza dal promontorio alla quale entra in acqua, il modulo e l anolo della elocità in quell istante. Sapendo che una barca si sta allontanando dalla ria con elocità costante di modulo. m/s e che dista 4. m dalla ria nel momento in cui iene B 4.m B lanciato il sasso: a) Mostrare che il sasso non la colpisce. b) Calcolare quale elocità dee aere la barca affinché il sasso possa centrarla. Iniziamo con lo scriere le lei orarie sia per la posizione che per la elocità: ( t) 5. cos 35t 4.t ( t) sin 35t t 8..87t 4.9t ( t) 5. cos ( t) 5. sin t t La massima altezza è raiunta nell istante in cui si annulla la componente erticale della elocità. Inserendo il tempo così troato nelle lei orarie della posizione si ottiene il suo alore ma :.9 ( t).9 9.8t t.97 s ma m 9.8

9 Quando il sasso entra in acqua la sua quota è. Scartando la soluzione che produce un tempo neatio si ha: ( t) 8..87t 4.9t t t 4.34 s e quindi il sasso entra in acqua ad una distanza dal promontorio di: (4.34 s) m con una elocità le cui componenti sono: (4.34) 4. m/s (4.34) m/s cui corrispondono un modulo ed un anolo : (4.34) m/s 39.7 tan arctan( 9.98) Il sasso non colpisce la barca, che in quell istante ha inece una distanza dal promontorio pari a: ( t) 4.. t (4.34) m B B Per essere colpita dorebbe muoersi più elocemente. Indicando con B la sua elocità costante, inconita, imponiamo che essa dopo 4.34 s si troi a 7.8 m dall oriine ed otteniamo: B ( t) 4. Bt B(4.34) B 4.34 B 3.8 m/s 4.34 Esempio Consideriamo una particella lanciata da una quota con una elocità scalare iniziale, ma con successii, differenti alori dell anolo di lancio. Dimostrare che il modulo della elocità dipende solo dallo spostamento erticale complessio. La proprietà esposta implica che alla quota in fiura il modulo della elocità sia lo stesso luno le traiettorie,, 3 e 4 ottenute lanciando la particella con anoli differenti ma con la medesima elocità scalare iniziale. Analoamente, luno la traiettoria 4, quando la particella ripassa alla quota lo spostamento erticale rispetto all inizio è nullo, e quindi la particella assume lo stesso modulo della elocità che aea all inizio ( e, per motii di simmetria, è inclinata di un anolo sotto all orizzontale uuale a quello di cui era inclinata sopra all orizzontale inizialmente). La proprietà si dimostra semplicemente a partire dalle due relazioni: 3 4

10 ( ) e che sommate producono: e come si ede, in un moto di caduta libera la elocità scalare dipende solo dalo spostamento erticale complessio. In particolare, per tutte le quattro traiettorie disenate, la elocità scalare è la medesima un istante prima di toccare terra. Esempio 3 Un ladro corre sul tetto di un palazzo inseuito dalla polizia, strinendo in mano la refurtia. Per mettersi in salo decide di spiccare un salto e raiunere il palazzo attiuo, che dista 4. m ed ha la medesima altezza. A quale elocità minima dee correre il furfante affinché il salto li riesca? Se li cade di mano la refurtia nell istante di massima altezza, in quale punto della parete del palazzo di fronte l oetto a a sbattere? 4. m Poiché i due palazzi hanno l stessa altezza, poniamo il liello zero della quota sul loro tetto, in modo che la elocità scalare minima con cui dee essere spiccato il salto sia quella corrispondente all anolo che produce la massima ittata, cioè 45 : R m/s. ma La elocità minima con cui il ladro dee correre è la componente orizzontale del ettore misura 6.6 m/s, pertanto: il cui modulo ma cos 6.6 cos m/s La refurtia è in caduta libera insieme al ladro, quindi qualunque sia il punto in cui perde il contatto dalla mano essa proseue luno la medesima traiettoria e cade sul tetto dell altro edificio assieme al ladro. Walker p. 4 n. 47, 48, 5, p.5 n.53 Esempio 4 James Bond si lancia da un elicottero per atterrare dentro al cassone di un camion carico di palia, alto distante in quel momento,. m, e 3. m dalla erticale nel punto di lancio. Sapendo che la elocità iniziale dell aente 7 è 4. m/s, inclinata di erso il basso, e che il camion iaia con una elocità costante di.5 m/s, si mostri che se l autista non accelera Bond fallisce il bersalio. Si dica poi quant è l accelerazione costante che l autista dorebbe imprimere al camion affinché il salto riesca. 3

11 Lei orarie della posizione di James Bond: ( t) 4. cos t ( t) cos(9 ) t t 5. m ( t) 3.95t ( t) 5..44t 4.9t lee oraria della posizione del camion a elocità costante: 3. m ( t ) 3..5 t L istante in cui si incontrano aranno la stessa distanza dalla erticale condotta per il punto di lancio, e cioè: 3. ( t) ( t) 3.95t 3..5t t.s il salto è riuscito se in quel momento la quota di James Bond è pari all altezza del camion, e cioè Sostituiamo nella lee oraria della coordinata erticale per erificare: (.) m (!!). m. La quota neatia indica che per quell istante il poero aente 7 è ià sprofondato nel sottosuolo, cioè la quota zero iene raiunta ben prima di. s. E eidente che l autista dee accelerare oppure rallentare. Scriiamo di nuoo la lee oraria del eicolo, includendo staolta l accelerazione: ( t) 3..5t a t Calcoliamo il tempo che occorre all aente sereto per raiunere la quota di. m : ( t ) t 4.9 t (.8) 4.9t.44t.8 t t.48 s t.78 s 9.8 troiamo quanto ale la suo coordinata orizzontale in quell istante: (.48) m ed imponiamo che sia la stessa del camion in quell istante, troando così l accelerazione necessaria: (.48) a (.48) 5.85 a.776 m/s quindi il camion dee diminuire la sua elocità. 4

12 Esempio 5 Uno sciatore eseue un salto da un trampolino che s incura in fondo ad una discesa, facendolo staccare con un inclinazione di 35. La pista orizzontale ricomincia a distanza di 5. m, in un punto più in basso di. m rispetto alla fine del trampolino. Con quale elocità minima dee aenire lo stacco se oliamo che il salto riesca? Con quale elocità ricade? Con quale elocità massima può saltare se non uole traolere un altro sciatore che è appena atterrato con elocità orizzontale 9. m/s? m. m ( t) cos 35t ( t). sin 35t t ( t).89t ( t)..574t 4.9t calcoliamo l istante trampolino: t, dipendente dal alore inconito di, in cui si troa a 5. m dalla erticale sotto al 5. ( t ).89t 5. t.89 la elocità minima per la quale il salto riesce è quella per cui, nell istante in cui 5. m, si ha : ( t ) m/s Per troare la elocità con cui ricade si inserisce t.4 s nella lee oraria della elocità: ( t) 8.56 cos 35 ( t ) 7. m/s ( t ) 7. ( 6.) 7.6 m/s ( ) 8.56 sin t t ( t ) 6.m/s Se non uole traolere l altro sciatore, la sua elocità orizzontale di atterraio non dee superare 9. m/s. Ma tenendo conto del fatto che la elocità orizzontale non si modifica mai in un problema di caduta libera, questo è anche il alore orizzontale della elocità al momento del salto: ( t) 9. m/s cos m/s cos quindi non traole il secondo sciatore purché 3. m/s 5

13 Esempio 6 Il più celebre tra i problemi di cinematica è quello che ede un cacciatore posto nell oriine deli assi tentare di colpire con una freccia una scimmia appollaiata ad un altezza h fra i rami di un albero che si troa a distanza d. Il cacciatore, che non conosce bene la cinematica e mira dritto nella direzione della scimmia, sarebbe destinato a fallire il colpo perché, com è noto, la traiettoria non è una linea retta ma una parabola. Tuttaia anche la scimmia non conosce la cinematica, e nel tentatio di eitare il colpo si lascia andare nel medesimo istante in cui iene scoccata la freccia, e iene ineitabilmente colpita al olo. Dimostrare che, qualunque sia il alore della elocità iniziale, non c è h scampo per la scimmia se si lascia cadere. F ( t) cos t S ( t) d F ( t) sin t t S ( t) h t d Per mostrare che la scimmia iene colpita indipendentemente dal alore della elocità iniziale, bisona far edere che quando l ordinata della freccia è uuale a quella della scimmia, l ascissa della freccia è d. Troiamo il tempo t per il quale si uualiano le quote della scimmia e della freccia: F ( t) S ( t) sin t t h t h t sin ediamo qual è l ascissa della freccia in questo particolare istante: F ( t ) cos h sin cos h sin Consideriamo ora il trianolo di ipotenusa unitaria e cateti cos, sin, simile a quello di cateti d, h. Vale la proporzione: cos d sin. Sostituendo risulta: h cos F ( t ) h h d sin h d cos sin d h e quindi esiste sempre un istante, dipendente dalla elocità iniziale per il quale la freccia ha le stesse coordinate della scimmia, indipendentemente da quanto ale. 6

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