Lezioni n.16. Trasformatore

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1 Lezione 6 Trasformatore Lezioni n.6 Trasformatore. Trasformatore ideale. Proprietà del trasporto di impedenza 3. Induttori accoppiati trasformatore reale 4. Schema circuitale equialente per accoppiamento perfetto 5. Schema circuitale equialente per accoppiamento non perfetto 6. Esercizio In questa lezione introdurremo breemente il trasformatore. E un sistema di largo impiego, tipicamente utilizzato lungo una linea di alimentazione per ariare il alore della tensione e della corrente. Prima di descriere il trasformatore reale introdurremo il trasformatore ideale che pur essendo una idealizzazione consente di trattare il trasformatore reale in un modo semplificato grazie all introduzione di uno schema equialente. Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

2 Lezione 6 Trasformatore. Trasformatore ideale Un esempio di doppio-bipolo è costituito dal trasformatore ideale, un elemento che trasforma le tensioni e le correnti e che può definirsi trasparente all energia in quanto non dissipa e non immagazzina energia. Questo elemento non è costituito al suo interno da elementi a noi già noti, pertanto nel panorama della nostra trattazione è una noità. Il trasformatore ideale è un doppio-bipolo definito dalla seguente caratteristica: = a () i = i a () doe a rappresenta il rapporto di trasformazione. Il simbolo che rappresenta il trasformatore ideale è illustrato in Fig.. i a: i Fig. Simbolo del trasformatore ideale.. Proprietà del trasporto di impedenza Vediamo come si comporta il trasformatore ideale se inserito in un circuito. Studiamo il circuito di Fig.. R i a: i e(t) R Fig. Trasformatore ideale impiegato in un semplice circuito. Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

3 Lezione 6 Trasformatore Per risolere il circuito illustrato in Fig. sarà necessario risolere contemporaneamente le equazioni () e (), le leggi di Kirchhoff e le relazioni caratteristiche dei bipoli presenti nel circuito. Inece di fare questo cerchiamo direttamente una relazione tra la tensione e la corrente i. Faremo edere, in questo modo, che il circuito si può semplificare in uno equialente in cui il trasformatore ideale non compare. Per la II legge di Kirchhoff si ha: = R, i (3) quindi, sostituendo la () nella (3) si ha = =. (4) - a R i a R i Nella (4) possiamo definire una R = a R che rappresenta il carico complessio eq isto dalla porta del trasformatore ideale. Pertanto al posto del trasformatore con un resistore connesso alla seconda porta sostituiamo un resistore equialente come in Fig. 3. Questa proprietà del trasformatore ideale è detta proprietà del trasporto di impedenze. E una proprietà importante perché, come edremo, consente di trattare ageolmente i circuiti in cui sono presenti trasformatori ideali e anche reali. R i e(t) R eq Fig.3 Resistenza equialente calcolata con la proprietà del trasporto di impedenza. Si può dimostrare che la proprietà del trasporto di impedenze (appunto diciamo impedenze!) ale anche per circuiti di impedenze, circuiti cioè in cui siano presenti anche condensatori e induttori ma che si troa in regime sinusoidale. In tal caso tratteremo il circuito del dominio dei fasori e quindi trasporteremo una impedenza analogamente a quanto abbiamo fatto per la (4): Vˆ = & a &. (5) - a ZÎ = ZÎ Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 3

4 Lezione 6 Trasformatore In particolare aendo al secondario un induttore o un condensatore possiamo dire che, grazie al trasporto di impedenza, alla porta del primario si potrà considerare un induttore e un condensatore equialente pari a: L = a L e C = C a. (6) eq eq 3. Induttori accoppiati trasformatore reale A questo punto siamo pronti per introdurre il trasformatore reale. Cominciamo col dare una bree descrizione del sistema fisico costituito da due induttori accoppiati. i i Fig.4 Induttori accoppiati. In Fig.4 abbiamo aolto due conduttori su un pezzo di materiale ferromagnetico di forma toroidale realizzando due aolgimenti costituiti da un certo numero di spire, diciamole N ed N. Questo oggetto si comporta come un doppio-bipolo, in quanto soddisfa la richiesta che le correnti ai morsetti esterni indipendenti siano solo due. Infatti abbiamo una corrente alla porta - ' (porta primaria o aolgimento primario) e un altra corrente alla porta - ' (porta secondaria o aolgimento secondario). Cerchiamo ora la relazione caratteristica di questo doppio-bipolo. Immaginiamo, per il momento, di non specificare come ho realizzato gli aolgimenti; immaginiamo di poter fissare il erso delle tensioni e delle correnti e di non conoscere l interno del sistema. In presenza delle due correnti è noto che all interno di ogni aolgimento sarà prodotto un campo magnetico che sarà la sorapposizione di quello prodotto da ognuna delle due correnti i e i. Associato al campo magnetico esistente all interno degli aolgimenti c è un flusso magnetico. Per l aolgimento primario chiamiamo tale flusso φ, per l aolgimento secondario φ. Osseriamo che i flussi φ e φ consistono nella sorapposizione di un termine Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 4

5 Lezione 6 Trasformatore relatio al campo prodotto dalla corrente i e di un termine relatio al campo prodotto dalla corrente i, ossia: φ = φ ± φ, (7) φ = ±φ + φ, (8) doe φ rappresenta il flusso relatio al campo prodotto dalla corrente i che si concatena con l aolgimento primario, φ rappresenta il flusso relatio al campo prodotto dalla corrente i che si concatena con l aolgimento primario, φ rappresenta il flusso relatio al campo prodotto dalla corrente i che si concatena con l aolgimento secondario, φ rappresenta il flusso relatio al campo prodotto dalla corrente i che si concatena con l aolgimento secondario. Dobbiamo chiarire il motio per il quale ai termini di mutua induzione abbiamo considerato un segno positio o negatio. La scelta tra i due dipende dal fatto che il flusso φ, ad esempio, nella (7) si può sommare al flusso φ se il erso del campo prodotto dalla corrente i si concatena con l aolgimento primario nello stesso erso con cui si concatena il flusso auto-indotto (questo accade nella Fig. 4). Se inece consideriamo la Fig. 5, doe abbiamo aolto il conduttore al secondario in modo contrario, dobbiamo sottrarre i flussi mutuamente indotti. Per sintetizzare possiamo considerare la tabella. i i Fig. 5 Induttori accoppiati con aolgimento secondario aolto al contrario di quello di Fig. 4. Fig. 4 Fig. 5 φ = φ + φ φ = φ φ φ = φ + φ φ = φ + φ Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 5

6 Lezione 6 Trasformatore Vogliamo ora introdurre le tensioni alle due porte per poi indiiduare le relazioni caratteristiche che legano le 4 grandezze ( i i ). Dalla legge Faraday Neuman possiamo scriere che: dφ =, dt (9) dφ =, (0) dt doe le tensioni sono quelle rappresentate in Fig.4. In questo caso il segno positio che compare nelle (9) e (0) dipende dai ersi delle tensioni e delle correnti e da come ho aolto il conduttore. Per determinare una caratterizzazione di questo particolare doppio-bipolo abbiamo bisogno di una relazione funzionale tra le correnti i e i e le tensioni e. A tale scopo sappiamo che esiste una relazione di proporzionalità tra flussi e correnti che producono il campo relatio al flusso stesso. La relazione è di semplice proporzionalità. Scriiamo, sempre facendo riferimento alla Fig.4 per i segni: φ = φ + φ = L i + M i, () φ = φ + φ = M i + L i, () Grazie alla proprietà di reciprocità si può dimostrare che M = M = M. I coefficienti L e L rappresentano delle ere e proprie induttanze, le auto induttanze, mentre il coefficiente di mutua induttanza M rappresenta il rapporto tra il flusso concatenato con un aolgimento e la corrente esistente nell altro aolgimento che produce il campo relatio al flusso considerato. Dalle (9)-(0) e ()-() possiamo scriere la relazione caratteristica del trasformatore, si ha che: di di = L + M dt dt di di = M + L dt dt (3) doe abbiamo considerati costanti i coefficienti L, L ed M. E chiaro che se aessi usato gli aolgimenti come in Fig. 5 arei scritto: Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 6

7 Lezione 6 Trasformatore di di = L M dt dt di di = M + L dt dt (4) Nella teoria dei circuiti l accoppiamento mutuo che ha le caratteristiche generali (3) o (4) si indica con il simbolo rappresentato in Fig. 6. i i i i a b Fig. 6 Simbolo del trasformatore reale. Se non conosco come sono aolti all interno del trasformatore gli aolgimenti chi mi dice se deo utilizzare il segno positio o negatio? Si utilizza la conenzione del punto. Possiamo dire che: aendo fatto su entrambe le porte la conenzione dell utilizzatore, il coefficiente M è positio se i due punti sono affiancati, al contrario è negatio se non sono affiancati. Allora per la Fig. 6-a dobbiamo scriere le equazioni (3), mentre per la Fig. 6-b dobbiamo scriere le equazioni (4). In generale nel trasformatore i è del flusso disperso che non riesce a concatenarsi con la spira accoppiata a quella in cui circola la corrente che lo produce. In questo caso possiamo affermare che: M L L. (5) Come conseguenza della (5) si introduce il coefficiente di accoppiamento k: 0 k = M L L. (6) Quanto più si riesce a realizzare un accoppiamento perfetto tanto più il alore di k si aicina ad. Nel caso in cui questo sia possibile possiamo affermare che: Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 7

8 Lezione 6 Trasformatore M = L L. (7) Quando è erificata la condizione (7) si dice che l accoppiamento è perfetto. In questo caso possiamo dire che il flusso totale (auto e mutuo) che si concatena con la singole spira dell aolgimento primario è uguale al flusso che si concatena con la singola spira dell aolgimento secondario. Possiamo cioè scriere: φ = N φ; φ = N φ (8) doe φ rappresenta appunto il flusso concatenato con la singola spira di entrambi gli aolgimenti. Dalla (8) ricaiamo che: φ = φ N N = a. (9) Abbiamo posto uguale ad una costante a il rapporto tra le spire al primario ed al secondario. Dalle (9) e (0) possiamo ricaare banalmente che: = N N = a. (0) Abbiamo così ritroato la condizione sulle tensione del trasformatore ideale ()! Cosa dire delle correnti? Nel trasformatore ideale abbiamo detto che ale la () ma in un trasformatore reale, anche se ad accoppiamento perfetto (ale la (7)), non risulta erificata la (). Vediamo cosa accade alle correnti nel trasformatore ad accoppiamento perfetto. Questo lo faremo cercando lo schema equialente del trasformatore ad accoppiamento perfetto. Per prima cosa osseriamo che M N N, L e N L N, ed inoltre essendo erificata la (7), si ha: L M = M L = a. () 4. Schema circuitale equialente per accoppiamento perfetto Esiste la possibilità di utilizzare uno schema equialente del trasformatore ad accoppiamento perfetto che usa il trasformatore ideale e un induttore, ediamo come. Mettendo in eidenza L nella prima della (3) otteniamo la seguente equazione Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 8

9 Lezione 6 Trasformatore di M di = + L. () dt L dt Poi mettendo in eidenza M nella seconda della (3) di L di = M +. (3) dt M dt Diidendo, ora membro a membro le equazioni () e (3) otteniamo, utilizzando la (): L = = a. (4a) M Lo stesso risultato poteo troando partendo dalla equazione (4); in questo caso aremmo scritto: L = =. (4b) M a La (4a) è uguale alla (0). In conclusione abbiamo troato che il trasformatore reale ha, tra le tensioni, la stessa relazione () del trasformatore ideale. Vediamo cosa accade alle correnti. Osseriamo che la (3) la possiamo scriere, utilizzando la (): ' d di = L i + i = L, (5) dt a dt doe abbiamo posto ' i = i + i. a (6) Introducendo la corrente " i = i, a (7) possiamo scriere Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 9

10 Lezione 6 Trasformatore ' " i i i = +. (8) Dalla (8) ricaiamo che la corrente del primario è costituita da due contributi. La ' corrente i, che grazie alla (5) è quella che circola nell induttore L e i " che, dalla (), è quella di un primario di trasformatore ideale. E eidente che lo schema equialente di un trasformatore ad accoppiamento perfetto è quello rappresentato in Fig. 7. i i a: i i L Fig. 7 Schema equialente di un trasformatore ad accoppiamento perfetto. Ripercorrendo lo stesso ragionamento ma partendo dalla seconda equazione della (3) saremmo giunti ad indiiduare lo schema equialente di Fig. 8 che è quindi equialente a quello di Fig. 7. i i a: i i L Fig. 8 Schema equialente di un trasformatore ad accoppiamento perfetto. Si capisce che la presenza della L al primario o della L al secondario che un trasformatore reale ad accoppiamento perfetto non è un trasformatore ideale. Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0 0

11 Lezione 6 Trasformatore 5. Schema circuitale equialente per accoppiamento non perfetto Che cosa accade inece se l accoppiamento non è perfetto? Cioè se: M LL. ' " " Si scompone l induttanza L in due parti L e L, tali che L realizzi l accoppiamento " perfetto, cioè L L = M. ' Per quanto riguarda L questo sarà l induttanza di un induttore posto in serie alla tensione come mostrato nel circuito equialente mostrato in Fig. 9. L i i i a: i L Fig. 9 Schema equialente di un trasformatore ad accoppiamento non perfetto. La dimostrazione dello schema di Fig. 9 si ottiene nello stesso modo in cui si opera nel caso di accoppiamento perfetto. Partendo dalla prima delle (3): ' d '' d d ' '' d M d ' '' d d = L + + = + + i L i M i L i i = + L i + i '' dt dt dt dt L dt dt a dt (9) doe: '' d d L i + i dt a dt '' = Con il secondo contributo di tensione si ragiona in modo analogo a quanto fatto per l accoppiamento perfetto, ritroando così lo schema di Fig. 9. Per ottenere il circuito equialente di un accoppiamento non perfetto, rispetto a quello di un accoppiamento perfetto, basterà aggiungere al primario la caduta di tensione ' rappresentata dalla presenza dell induttore L. E eidente che è possibile troare uno schema equialente a quello della Fig. 9 con, però, le induttanze al secondario. Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0

12 Lezione 6 Trasformatore 5. Esercizio Risoliamo gli esercizi che compaiono nella traccia di esame del 0 febbraio 007. R M e(t) L L C e(t)= 0cos(0t); R=Ω; C=0µF; L =mh; L =mh; M= L L. Determinare la corrente nel resistore R. M j(t) R C L L j(t)= 0cos(0t); R=Ω; C=0µF; L =mh; L =mh; M= L L. Determinare la corrente nel resistore R. Corso di Introduzione ai Circuiti Prof.ssa Lorenza Corti A.A. 009/0