Cap 31 - Induzione e induttanza Due esperimenti

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1 N.Giglietto A.A. 2002/ Due esperimenti - 1 Cap 31 - Induzione e induttanza Sappiamo che una spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico è soggetta ad un momento torcente. Proviamo ad immaginare una situtazione simmetrica ovvero una spira (senza corrente) soggetta a momento torcente ed immersa in campo magnetico. Quando si muove che succede? Ci dovremmo aspettare una situazione simmetrica ovvero comparirà una corrente nella spira. Il teorema che spiega questa situazione è descritto dalla legge di Faraday Due esperimenti I due esperimenti che saranno alla base della legge di Faraday sono i seguenti: abbiamo una spira collegata ad un amperometro ed un magnete permanente. Se entrambi sono fermi non si osserva nessun passaggio di corrente (perchè non c è generatore di fem). Tuttavia appena avviciniamo il magnete alla spira (o lo allontaniamo) compare una corrente. Le osservazioni stabiliscono che: 1

2 N.Giglietto A.A. 2002/03- Legge dell induzione di Faraday c è corrente solo se c è un moto relativo tra spira e magnete; 2. un movimento più veloce fornisce una corrente più intensa; 3. il verso della corrente dipende anche dal segno del polo magnetico che si muove (tra i due poli la situazione si inverte) Questa corrente che compare nella spira si chiama indotta e attribuiamo la corrente ad una fem nel circuito che chiameremo fem indotta Un secondo esperimento riguarda due spire vicine tra loro una delle quali è collegata ad un generatore di fem tramite un interruttore. Appena colleghiamo la spira, se la corrente è variabile con il tempo si osserva una fem indotta sull altra spira. Viceversa se la corrente è stazionaria non c è fem indotta. Legge dell induzione di Faraday La legge di Faraday spiega le precedenti osservazioni mettendo in relazione la quantità di linee di campo (ovvero il flusso) che attraversano la 2

3 N.Giglietto A.A. 2002/03- Legge dell induzione di Faraday - 3 spira e in particolare la variazione nel tempo di questa quantità con la fem indotta. Questo concetto lo si può esprimere nel seguente modo: definiamo il flusso del campo magnetico attraverso una superficie di area A (che è quella della spira) come Φ B = B da il flusso si misura in Weber (Wb) 1 Weber=1 T m 2 e la legge di Faraday la enunciamo come La fem indotta in una spira è uguale alla derivata temporale e cambiata di segno del flusso magnetico attraverso la spira ovvero E = dφ B (da moltiplicare per N se abbiamo N spire sovrapposte E = N dφ B ). Questa variazione si può ottenere in diversi modi che producono sempre una variazione di flusso nel tempo: varia B con il tempo; varia l area della spira o la parte di area immersa nel campo magnetico; 3

4 N.Giglietto A.A. 2002/ Legge di Lenz - 4 varia l orientazione della spira rispetto al campo magnetico; varia il flusso di B (ad esempio per un moto relativo) Legge di Lenz La corrente indotta dalla spira ha un verso tale che il campo magnetico generato dalla stessa corrente indotta si oppone alla variazione di campo magnetico che l ha prodotta. La legge di Lenz è quella che motiva il segno meno, ed è dovuta al principio di conservazione dell energia. Infatti se per assurdo non fosse così (ovvero la corrente indotta fosse favorevole) allora il campo magnetico dovuto alla corrente indotta sarebbe esattamente parallelo al centro della spira a quello esterno. 4

5 N.Giglietto A.A. 2002/ Legge di Lenz - 5 Una spira percorsa da corrente è equivalente ad un dipolo magnetico, quindi in questo caso la spira attirerebbe a se il magnete accelerandolo e quindi con un aumento di energia cinetica. Se così fosse avremmo una violazione della conservazione dell energia. Pertanto nella realtà la situazione è quella in figura 5

6 N.Giglietto A.A. 2002/03- Problema Problema 31.3 Abbiamo una spira rettangolare di larghezza L=3 m e altezza H=2 m. Il campo è variabile e non uniforme con espressione B = 4 t 2 x 2 ed entrante nel foglio. Qual è modulo e direzione della fem indotta per t=0.1 s? Dobbiamo prima calcolare il flusso di B, ΦB = B da B e A sono in questo caso paralleli ed uscenti. Per vedere quale da dobbiamo considerare notiamo che B dipende solo da x quindi ricordando che nel calcolo dei flussi bisogna scegliere l elemento infinitesimo su cui B sia uniforme in questo caso l elemento deve essere una striscia parallela all asse y (x=costante) la cui area sarà da = Hdx. Pertanto Φ B = L 0 B Hdx = L 0 4t2 x 2 Hdx = 4t 2 H[ x3 3 ]L 0 = 72t 2 Solo adesso possiamo procedere alla derivazione rispetto al tempo! E = dφ B = 72 2t = 144 t Pertanto al tempo di 0.1 s si ha E = 14.4 V 6

7 N.Giglietto A.A. 2002/ Induzione e trasferimenti di energia - 7 Il flusso si deve opporre alla variazione di B (entrante) che aumenta con il tempo quindi il verso della corrente sarà coerente con un campo magnetico indotto che si oppone a B ovvero uscente quindi il verso della corrente è antiorario Induzione e trasferimenti di energia Vediamo un altro esempio una spira viene levata da una regione con campo magnetico come in figura Se tiriamo la spira a velocità costante bisogna applicate una forza F e la potenza necessaria a questo movimento è P = F v. Muovendo la spira però cambia il flusso quindi avremo une 7

8 N.Giglietto A.A. 2002/ Induzione e trasferimenti di energia - 8 fem indotta. Indichiamo con x la parte di spira immersa nel campo allora Φ B = B L x per cui E = dφ = B L dx = B L v. Per trovare la corrente dobbiamo sapere la resistenza R del circuito e i = E R = B L v R. Qual è la forza necessaria a muovere la spira a velocità costante? Appena si muove la spira circola corrente allora su ogni spira compare una forza di Lorenz pertato sui tre lati in figura compariranno le forze con i versi in figura. Chiaramente la forza netta si oppone (legge di Lenz) al movimento che comporta una variazione di flusso di B. Per avere una velocità costante occorre una forza che sia uguale e opposta a F 1 in figura e F 1 = ilb = B2 L 2 v R. Quindi la potenza meccanica spesa per questo moto è P = F v = B2 L 2 v 2 R e quella spesa sulla resistenza del circuito è P = R i 2 = B2 L 2 v 2 R ovvero esattamente uguali. In definitiva il lavoro per spostare la spira nel campo magnetico è convertito in energia termica (eff. Joule). 8

9 N.Giglietto A.A. 2002/ Induttori e induttanze Campi elettrici indotti Considerando la spira circolare di uno degli esempi precedenti abbiamo che quando c è una variazione di flusso di B compare una fem indotta e una corrente indotta nel conduttore. Questo implica che deve esserci un campo elettrico indotto. Questo vuol dire che un campo magnetico soggetto a variazioni genera un campo elettrico. L affermazione vale anche se la spira conduttrice non c è (la spira serve solo a manifestare la corrente) in quanto i campi permeano tutto la regione di spazio. Tuttavia a differenza dei campi elettrostatici questi campi indotti hanno linee di campo circolari che si avvolgono attorno a B. Di conseguenza non partono da cariche ma si chiudono su se stesse. Essendo comunque campi elettrici allora mettendo una carica essa è soggetta a forza (per definizione) data da F = qe ed il lavoro che può compiersi è L = F ds = (qe) ds = qe 2πr ma il lavoro è anche L = qe quindi abbiamo che il lavoro per muoversi sull intera spira è L = 9

10 N.Giglietto A.A. 2002/03- Induttanza di un solenoide - 10 F ds = q E ds = qe da cui possiamo dire che la fem sarebbe definita anche come E = E ds che ci fa capire che il campo elettrico indotto non è conservativo e che la legge di Faraday la possiamo anche riscrivere come E ds = dφ B 31.7 Induttori e induttanze Il dispositivo che produce un campo magnetico e immagazzina energia sotto forma di campo magnetico è detto induttore. Un prototipo di questo è il solenoide ed il simbolo dell induttore (o induttanza) ricorda il solenoide Se stabiliamo una corrente nell induttore compare un campo magnetico al suo interno e di conseguenza un flusso di campo magnetico su se stesso. Definiamo come induttanza il rapporto L = N Φ B i 10

11 N.Giglietto A.A. 2002/ Autoinduzione - 11 Induttanza di un solenoide Per il solenoide B = µ 0 n i e B è diretto secondo l asse quindi NΦ B = N B A = (n L)µ 0 n i A per cui L = µ 0 n 2 L A (L la lunghezza del solenoide ed A la sua sezione) Autoinduzione Il coefficiente L è detto anche di autoinduzione. Infatti se il flusso di campo magnetico su un oggetto come il solenoide è diverso da zero anche per una corrente propria allora dalla legge di Faraday abbiamo che c è una variazione di flusso ci sarà una corrente autoindotta. Dalla precedente definizione abbiamo che NΦ B = L i e E = NdΦ B E L = L di Di conseguenza se nel solenoide cambia per qualche motivo la corrente esso autogenera una fem che si oppone alla variazione. 11

12 N.Giglietto A.A. 2002/ Energia immagazzinata Circuiti RL Nel circuito in alto abbiamo inizialmente il circuito staccato, quindi i=0. Appena colleghiamo tramite l interruttore, il circuito R-L, la corrente aumenta e l induttanza risponde con una fem autoindotta opposta come in figura Dalla legge delle maglie troviamo che E R i L d i = 0 che è un eq. differenziale simile a quella del circuito RC. La soluzione è i = E t τ R (1 e L ) che parte da valore 12

13 N.Giglietto A.A. 2002/ Energia immagazzinata - 13 nullo per arrivare lentamente al valore a regime (dopo 5 volte τ L ) i = E R. Il valore di τ L = L R Energia immagazzinata L equazione di prima E = R i + L d i si può utilizzare per vedere la potenza erogata: infatti moltiplichiamo ambo i membri per la corrente i otteniamo P = E i = R i 2 + L i d i = P R + P L. Quindi la potenza immagazzinata nell induttore è P L = L i d i pertanto l energia immagazzina- d U L = P = L i d i Se ta è P = d U L integriamo sull intero processo (da i=0 al valore finale di i) si ottiene che U L = i =i i =0 du L = i =i i =0 L i d i = 1 2 L i2 che è l energia immagazzinata nell induttore e necessaria a creare il campo magnetico al suo interno. Dal momento che nei solenoidi il campo magnetico è interno al solenoide, possiamo trovare l espressione della densità di energia che è u L = B2 2µ 0 13

14 N.Giglietto A.A. 2002/ Mutua induzione Mutua induzione Analogamente all auto induzione come indicato nel primo paragrafo due spire vicine generano l una sull altra una fem indotta. Possiamo definire quindi il coeff. di auto-induzione in analogia con L e chiamarlo M M 21 = N 2Φ 21 i 1 il coeff. dovuto alla spira 2 sulla spira 1 e viceversa (M 21 = M