23.2 Il campo elettrico

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1 N.Giglietto A.A. 2005/ Linee di forza del campo elettrico - 1 Cap 23- Campi Se mettiamo una carica in una regione dove c è un altra carica essa risentirà della sua presenza manifestando una forza di Coulomb. Per spiegare questa interazione a distanza ricorriamo al concetto di campo: diremo che una carica genera attorno a se un campo elettrico che permea tutta la regione dello spazio. Se a questo punto introduciamo una seconda carica essa interagirà con il campo elettrico manifestando una forza. In questo modo le due cariche non interagiscono direttamente ma tramite l azione di un campo. Qualunque regione di spazio avente una qualche proprietà definita da una opportuna grandezza è detta avere un campo Il campo elettrico Quando la forza è di tipo elettrico si parlerà di campo elettrico (o elettrostatico) Come facciamo ad evidenziare il campo? Assumiamo avere a disposizione una carica positiva di test e la collochiamo nello spazio a piacimento. In ogni 1

2 N.Giglietto A.A. 2005/ Linee di forza del campo elettrico - 2 punto dello spazio se c è un campo troveremo una forza elettrica. Definiamo come campo elettrico il vettore F E = q 0 e di conseguenza noto il campo elettrico, la forza su una particella carica sarà data da F = q 0E direzione e verso del campo sono quelli della forza agente sulla carica di prova (positiva). Il campo comunque esiste indipendentemente dalla carica di prova Linee di forza del campo elettrico Il concetto delle linee di forza ha utilità simile a quella delle linee di corrente nei fluidi: 1. in ogni punto la direzione di una linea di campo o la direzione della tangente alla linea di campo in un dato punto rappresenta la direzione ed il verso del campo stesso 2. le linee di campo sono tracciate in modo da visualizzare dove il campo è più 2

3 N.Giglietto A.A. 2005/ Campo elettrico carica puntiforme - 3 intenso (più densità di linee più intenso il campo) Proprietà delle linee di forza del campo elettrico è che le linee di forza escono dalle cariche positive ed entrano in quelle negative 23.4-Campo elettrico carica puntiforme Dalla legge di Coulomb se una carica q puntiforme è in punto dello spazio allora mettendo la carica q 0 di test ad una certa distanza r troviamo che la forza di Coulomb è F = 1 qq 0 4πɛ 0 r da 2 3

4 N.Giglietto A.A. 2005/ Campo elettrico carica puntiforme - 4 cui il campo elettrico è E = F q 0 = 1 4πɛ 0 q r 2 ûr La direzione ed il verso sono radiali a partire dalla carica puntiforme verso il punto nel quale è messa la carica di test, inoltre il verso è entrante se la q < 0 oppure uscente se q > 0 4

5 N.Giglietto A.A. 2005/ Campo del dipolo elettrico Campo del dipolo elettrico Un dipolo elettrico è costituito da due cariche di uguale intensità q ma segno opposto e collocate ad una certa distanza d tra loro. Possiamo calcolare il campo del dipolo (nei punti sull asse del dipolo) sommando (vettorialmente) ciascuno dei y P E+ E - +q d x -q campi delle due cariche. Il campo risultante in un generico punto P dell asse (y) è E = E + E avendo indicato in tal modo i campi generati dalla carica (+) o (-). Si ottiene E = 1 q 1 q 4πɛ 0 4πɛ 0 r 2 + r 2 con r + = z d 2 5 e r = z + d 2

6 N.Giglietto A.A. 2005/06- Campo elettrico del dipolo sull asse-x - 6 di conseguenza 2qd 4πɛ 0 z 3 = E = 1 4πɛ 0 q (z d 1 2 )2 4πɛ 0 q (z + d 2 )2 = q 4πɛ 0 z 2 [(1 d 2z ) 2 (1 + d 2z ) 2 ] q 4πɛ 0 z 2 [(1 + d z + ) (1 d z + )] p 2πɛ 0 z 3 (campo dipolo elettrico) (lungo l asse y) Campo elettrico del dipolo sull asse-x + θ P - Indichiamo ancora E ed E + i due campi dovuti alle cari- 6

7 N.Giglietto A.A. 2005/06- Campo elettrico del dipolo sull asse-x - 7 che pos. e neg. che avendo le stesse distanze avranno modulo uguale. Sugli assi avremo E x = E + sin θ E sin θ = 0 E y = +E + cos θ E cos θ = 2E cos θ Pertanto il campo complessivo è diretto lungo la direzione y ed inoltre poichè r cos θ = d 2 2q 4πɛ 0 r 2 cos θ = d 2r si ha E tot = 2r = (notare il fattore 2 rispetto al campo sull asse y). d p 4πɛ 0 r 3 7

8 N.Giglietto A.A. 2005/06- Campo anello carico sull asse z Campo di distribuzioni continue Se le distribuzioni di carica sono continue ovvero uniformemente distribuite su di un corpo, allora di introduce la densità di carica del corpo (densità lineare, superficiale o volumetrica secondo i casi) e si somma vettorialmente il contributo di un elemento infinitesimo del corpo. Esempio: Campo anello carico sull asse z la λ = Q/2πR è la densità di carica dell anello di raggio R e con carica totale Q. Consideriamo un elemento dell anello ds. Esso avrà una carica (infinitesima 8

9 N.Giglietto A.A. 2005/06- Campo anello carico sull asse z - 9 quindi puntiforme) dq = λds e della carica infinitesima sappiamo che il campo (infinitesimo) de = 1 dq 4πɛ 0 r = 1 λds 2 4πɛ 0 (z 2 +R 2 ) diretta come in figura. Osserviamo che solo la componente lungo l asse si somma coerentemente per ogni elemento infinitesimo (la componente perpendicolare si elide). Quindi basterà integrare le componenti z per avere il risultato. Dalla figura abbiamo che cos θ = z/r = e de z (R 2 +z 2 ) 1/2 z = de cos θ = 1 λdsz 4πɛ 0 (z 2 +R 2 ) 3/2 Questa componente è la stessa per ogni ds E z = de z = 1 4πɛ 0 ovvero E z = 1 4πɛ 0 λz (z 2 +R 2 ) 3/2 ds = 1 4πɛ 0 λ2πrz (z 2 +R 2 ) 3/2 Qz (z 2 +R 2 ) 3/2 Quindi il campo è diretto secondo l asse z con questa espressione e quando z (z R) il campo tende all espressione della carica puntiforme 9

10 N.Giglietto A.A. 2005/ Campo generato dal disco carico Campo generato dal disco carico Possiamo dedurre il campo di un disco carico partendo dal risultato dell anello e considerando che un disco si può pensare costituito da anelli infinitesimi di carica dq = σda = σ(2πr)dr. σ è in questo caso la densità superficiale di carica definita come Q πr 2 σ = Pertanto l anello infinitesimo in figura di raggio r (0 r R) produrrà il campo sull asse z: d E = z dq 4πɛ 0 (z 2 + r 2 ) 3 2 il campo totale si ottiene integrando su r in modo 10 û z

11 N.Giglietto A.A. 2005/ Dipolo in campo elettrico esterno - 11 da ricoprire il disco con gli anelli: R E tot = de z σ2πrdr = û 4πɛ 0 (z 2 + r 2 ) 3 z = 2 σ z 2ɛ 0 R 0 (z 2 + r 2 ) 3 2 dr = σ z 2ɛ (z 2 + r 2 ) R 0 = σ z [(z 2 ) 1 2 (z 2 + R 2 ) 1 σ z/ 1 2 ] = 2ɛ 0 2ɛ 0 z/ (1 1 ) 1 + ( Rz )2 Da notare che facendo lim E = R Dalla definizione di campo F = qe quindi per una carica di massa nota, quando il campo è uniforme la carica risente di una forza costante ed è quindi accelerata. Se la carica è positiva la forza ed il campo hanno lo stesso verso (altrimenti è opposto). σ 2ɛ 0 che rappresenta il campo elettrico di un piano carico infinito Carica in campo elettrico esterno 11

12 N.Giglietto A.A. 2005/ Dipolo in campo elettrico esterno Dipolo in campo elettrico esterno Dalla definizione di dipolo e dalla precedente osservazione discende che un dipolo in un campo elettrico uniforme esterno risente di 2 forze uguali e opposte, ma come si vede dalla figura esse producono un momento di forze agenti (una coppia). Il momento risultante è τ = F d/2 sin θ + F d/2 sin θ = F d sin θ = (qe)d sin θ = pe sin θ formalmente questa si può indicare in modo vettoriale: τ = p E che rappresenta il momento torcente sul dipolo elettrico immerso in un campo (elettrico) esterno ad esso. Il dipolo tende quindi ad allinearsi al cam- 12

13 N.Giglietto A.A. 2005/ Dipolo in campo elettrico esterno - 13 po elettrico. Possiamo anche vedere l energia potenziale (calcolando il lavoro vedi definizioni nei cap11-12) e con simili passaggi si trova che E p = p E 13