Rs Afe. δ1 δ2 δ3 Rs. Vs R1

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Ugo Ferrara
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1 Dato il circuito in figura funzionante in regime stazionario, sono noti: Rs = Ω, R = 2 Ω, R3 = 7 Ω, δ = mm, δ2 =.3 mm, δ3 =.5 mm, Α = 8 cm 2, N = 00, = 500, V = 30 V. Si consideri la permeabilità del ferro infinita. Determinare: ) le correnti in cc, 2) la forza e l energia nel traferro, 3)i parametri elettrici auto e mutua induttanza, 4) i morsetti corrispondenti, 5) l energia degli induttori.. DETERMINZIONE DELLE CORRENTI IN CC Innanzitutto, bisogna considerare che una bobina avvolta su un tronco ferromagnetico è un induttanza, per cui la rete in esame va vista come 3 rami in parallelo: generatore Vs con in serie resistenza Rs; resistenza R con in serie induttanza L; resistenza R3 con in serie induttanza L3. Inoltre, da come è fatto il circuito magnetico, si vede che esiste un flusso che concatena entrambi gli avvolgimenti: ciò significa che gli avvolgimenti sono accoppiati magneticamente, quindi non si hanno due semplici induttanze indipendenti, ma si ha un mutuo induttore, e dunque esiste anche una mutua induttanza Lm (se invece non esistesse un flusso mutuo, gli avvolgimenti sarebbero disaccoppiati, le induttanze sarebbero indipendenti, e non ci sarebbe mutua induttanza). Rs fe R3 N Vs R δ δ2 δ3 Rs Is Vs L I R Lm R3 I3 L3 Ora, in cc gli induttori a regime si comportano come dei corto circuiti, per cui la corrente dipende solo dalle resistenze. La corrente Is si trova dividendo la tensione Vs per la resistenza equivalente del circuito: Is = Vs / (Rs R//R3). I ed I3 si trovano col partitore di corrente: I = Is*G/(G G3) I3 = Is*G3/(G G3) 2. FORZ ED ENERGI NEL TRFERRO In un traferro, si definisce densità di energia magnetica (energia per unità di volume) la quantità w = B 2 / (2µ o ) (B = induzione nel traferro, µ o = 4π*0-7 = permeabilità del vuoto). Tale quantità coincide anche con la pressione magnetica (forza / superficie). Per ciascun traferro, la forza è espressa dal prodotto della pressione per la superficie F = fe *B 2 / (2µ o ) e l energia è il prodotto della densità di energia per il volume del traferro W = δ* fe *B 2 / (2µ o ). Dato che l induzione B si trova dal rapporto flusso / sezione, occorre calcolare per ciascun traferro il flusso magnetico. Per far questo bisogna risolvere la rete magnetica.

Determinare: ) le correnti in cc, 2) la forza e l energia nel traferro, 3)i parametri elettrici auto e mutua induttanza, 4) i morsetti corrispondenti, 5) l energia degli induttori.

2 TRCCIMENTO DELL RETE MGNETIC. - Per ipotesi la permeabilità del ferro è infinita => tutti i tronchi in ferro corrispondono a dei corto circuiti magnetici; - dove c è un traferro si mette una resistenza magnetica, detta riluttanza, ed indicata con θ; - in corrispondenza delle bobine si mette un generatore di tensione magnetica, detta forza magneto motrice M, di valore pari al prodotto della corrente che passa nella bobina per il numero di spire della bobina stessa. Quindi M = N*I, = *I3. Per quanto riguarda il verso dei generatori M ed, esso corrisponde al verso dei flussi nel circuito magnetico, ed il verso del flusso si stabilisce con la regola della mano destra: usando la mano destra, se le dita della mano girano come gira la corrente nella bobina, il verso del pollice indica il verso del flusso. θ I φ I3 θ N φ M M Per quanto riguarda le espressioni delle riluttanze, esse sono semplicemente legate alla geometria del traferro, cioè alla sezione fe e alla lunghezza δ del traferro: θ = δ / µ o * fe. questo punto, la rete magnetica va vista come una rete elettrica, e si risolve come tale. d esempio, il modo più veloce è applicare Millmann ai capi dei tre rami in parallelo. θ φ M U U U := N I cc θ θ U := U φ := θ φ B := F := W := N I cc F δ U B 2 := U := B2 := F2 := W2 := F2 δ2 B2 2 := := B3 := F3 := W3 := F3 δ3 U B3 2 F:= F F2 F3 W := W W2 W3 NOT BENE: le R sono resistenze elettriche, del circuito elettrico. Le θ sono resistenze magnetiche, del circuito magnetico. Fra le due non vi è alcuna relazione. 3. PRMETRI ELETTRICI UTO E MUTU INDUTTNZ Si definisce flusso concatenato con una bobina il prodotto del numero di spire della bobina per il flusso magnetico che passa nel tronco su cui è avvolta la bobina. L induttanza è il rapporto fra flusso concatenato con una bobina e la corrente che genera tale flusso. Se la bobina concatenata col flusso è la stessa che genera il flusso, si parla di auto induttanza. Se la bobina concatenata col flusso è diversa da quella che genera il flusso, si parla di mutua induttanza.

riluttanza, ed indicata con θ; - in corrispondenza delle bobine si mette un generatore di tensione magnetica, detta forza magneto motrice M, di valore pari al prodotto della corrente che passa nella

3 CSO : I3 = 0, I 0. In questo caso si ha che l auto induttanza della bobina è L = N*φ (I3=0) / I, la mutua induttanza fra la bobina e la bobina 3 è L 3 = * (I3=0) / I. CSO 2: I = 0, I3 0. In questo caso si ha che l auto induttanza della bobina 3 è L 33 = * (I=0) / I3, la mutua induttanza fra la bobina e la bobina 3 è L 3 = N*φ (I=0) / I3. I I3 = 0 (I3=0) φ (I3=0) I = 0 φ (I=0) (I=0) I3 N N D altra parte, si vede che calcolare l auto induttanza corrisponde a calcolare la riluttanza equivalente della rete magnetica (come se si stesse calcolando la resistenza equivalente della rete elettrica), quindi il calcolo dell auto induttanza si riduce al calcolo della Req di una rete magnetica. θ θeq θ θeq3 θ eq := := θ θ N 2 L:= θ eq 2 L3:= Per il calcolo della mutua bisogna invece risolvere necessariamente una delle due reti viste prima (annullando una delle due correnti). d esempio si considera il caso I = 0, si calcola il flusso (I=0) come rapporto fra la fmm e la riluttanza equivalente θeq3, e poi si trova il flusso φ (I=0) tramite un partitore di corrente; da ultimo, si calcola la mutua induttanza. θ θ Inulla := φ Inulla := Inulla Lm N φ Inulla := quindi Lm:= θ N θ eq3 θ NOT: per la reciprocità dei circuiti magnetici, L 3 = L 3 ; se non è così, si sono sbagliati i conti. NOT BENE: i flussi calcolati al punto 2 sono diversi da quelli calcolati ora, perché prima entrambe le correnti erano NON nulle, mentre ora una delle due è alternativamente nulla. θ

I I3 = 0 (I3=0) φ (I3=0) I = 0 φ (I=0) (I=0) I3 N N D altra parte, si vede che calcolare l auto induttanza corrisponde a calcolare la riluttanza equivalente della rete magnetica (come se si stesse

4 4. DETERMINZIONE DEI MORSETTI CORRISPONDENTI I morsetti corrispondenti sono quelli da cui deve entrare la corrente in modo che i flussi magnetici generati dalle due bobine siano equiversi. Tali morsetti dipendono unicamente dal circuito magnetico, non dal circuito elettrico esterno, per cui per determinarli bisogna considerare SOLO il circuito magnetico, dimenticandosi temporaneamente del circuito elettrico esterno. Il procedimento per la determinazione è il seguente: ) si fa entrare una corrente da una bobina, e si marca il morsetto da cui tale corrente entra; 2) si disegna il flusso fatto circolare da tale corrente (in base alla regola della mano destra); 3) si determina (sempre con la regola della mano destra) da dove deve entrare la corrente nella seconda bobina per far sì che il flusso sia concorde; 4) il morsetto da cui deve entrare la corrente è il morsetto corrispondente di quello già marcato, per cui viene marcato anch esso. N I N I I2 N I I2 N I NOT BENE: si vede che in tutto il procedimento non si è fatto alcun riferimento al circuito elettrico esterno; il fatto che le correnti siano equiverse con quelle del circuito elettrico esterno è solo casuale. 5. ENERGI DEGLI INDUTTORI L energia immagazzinata in un mutuo induttore risulta ½ L *I 2 ½ L 2 *I2 2 L m *I*I2, e quindi nel nostro caso diventa ½ L *I 2 ½ L 33 *I3 2 L 3 *I*I3. Bisogna peró decidere il segno della mutua induttanza. Dal circuito elettrico esterno, si vede che le correnti I ed I3 sono ENTRMBI entranti nella bobina dai morsetti corrispondenti, per cui il segno della mutua induttanza è positivo; se invece una corrente entra e l altra esce (rispetto ai morsetti corrispondenti), il segno della mutua è negativo. Quindi nel nostro caso l energia è effettivamente ½ L *I 2 ½ L 33 *I3 2 L 3 *I*I3. Si DEVE ottenere lo stesso valore precedentemente calcolato come energia del traferro, perché l induttore è il modello elettrico del circuito magnetico, ma il fenomeno fisico è lo stesso, quindi i risultati devono necessariamente coincidere.

5 Rs := 22 3 R := 2 R3 := 7 Vs cc := 30 µ o := 4 π 0 7 δ := 0 3 δ2 := δ3 := := N := 00 := 500 Soluzione della rete in cc per avere le correnti nelle bobine Is := Rs Vs cc R R3 R R3 Is = R I cc := Is R R3 I cc = R3 := Is R R3 = 0.75 Soluzione della rete magnetica per avere flusso, induzione, forza, energia U := N I cc θ θ U = 5.32 θ := δ µ o θ = := δ2 µ o := = δ3 µ o = U := N I cc U U = := U = 5.32 := U = φ := U θ φ = := = := = φ B := F := W := B 2 F δ B = F = W = B2 := F2 := W2 := B2 2 F2 δ2 B2 = F2 = W2 = B3 := F3 := W3 := B3 2 F3 δ3 B3 = 0.38 F3 = W3 = F:= F F2 F3 F = W:= W W2 W3 W = Calcolo dei parametri elettrici θ eq := := θ Inulla := θ θ eq = = φ Inulla := Inulla φ Inulla = Inulla = Lm := N φ Inulla Lm 000 = NOT: si vede che i flussi calcolati qui sono diversi da quelli calcolati prima. Inoltre si vede che nell'espressione dell'induttanza non compare la corrente. θ N 2 L := θ eq 2 L3 := θ L 000 = L3 000 = N θ 000 = θ 2 L I cc 2 = L3 2 = Lm I cc = L I cc 2 2 L3 2 Lm I cc = 0.082

75 Soluzione della rete magnetica per avere flusso, induzione, forza, energia U := N I cc θ θ U = 5.32 θ := δ µ o θ = 9.947 0 5 := δ2 µ o := =.293 0 6 δ3 µ o =.492 0 6 U := N I cc U U = 257.

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