STRUMENTI ELETTRICI. Il Tester o Strumento Universale

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1 STRUMENTI ELETTRICI a cura di Mario De Paz Dipartimento di Fisica In questa dispensa viene descritto uno strumento elettrico fondamentale per eseguire misure in laboratorio: Il Tester o Strumento Universale 1

2 Il Tester o Strumento Universale. Il modo più semplice per effettuare misure elettriche è quello di fare uso di uno strumento universale o tester. In esso, un sensore di corrente o tensione munito di indicatore viene opportunamente collegato a prese con diversi valori di lettura a fondo-scala. L'indicatore può essere "analogico" o "digitale": il tipo analogico è costituito da un ago che si sposta su una scala graduata, quello digitale presenta il valore sotto forma di cifre in un visore luminoso. La percezione del valore indicato nei due casi è molto diversa. Negli strumenti analogici si riconosce rapidamente, a colpo d occhio, l ampiezza del segnale, mentre negli strumenti digitali la conversione del numero letto ed il suo confronto rispetto ad un valore critico risulta più difficile. In compenso, gli strumenti digitali presentano spesso una maggiore precisione di quelli analogici. Per motivi pratici, in molti apparati si fa uso di tester analogici a bobina mobile (figura 1). Gli strumenti a bobina mobile sono costituiti da un equipaggio formato da una leggera bobina di filo di rame avvolta su un supporto a simmetria rettangolare sorretto da due fulcri a basso attrito. La bobina è immersa in un campo magnetico radiale perpendicolare alle spire della bobina stessa, generato con un magnete permanente di forma opportuna. Una molla di richiamo a spirale costringe l equipaggio ad assumere, in assenza di corrente, una posizione di zero che viene indicata su una scala graduata da un ago solidale alla bobina. Quando la bobina viene attraversata dalla corrente che si vuole misurare, il campo magnetico genera una coppia torcente che tende a farla ruotare finché la forza di richiamo esercitata dalla molla a spirale non riesce ad eguagliarla. La scala graduata è lineare in conseguenza del fatto che la coppia torcente esercitata dal campo magnetico radiale sulla bobina è proporzionale alla corrente che vi passa. Infatti, applicando al sistema la legge di Biot e Savart, si vede che le forze applicate ai due lati verticali della bobina sono di segno opposto fra loro, perpendicolari sia alle linee di forza del campo magnetico d induzione B che alla direzione della corrente I e proporzionali al loro prodotto. Il modulo della coppia torcente di momento M che ne consegue è quindi: M= L n I B dove L è la lunghezza dei lati verticali della bobina mobile ed n il numero delle spire che la compongono. Tale coppia viene contrastata da una coppia uguale e contraria esercitata dalla molla elastica, a sua volta proporzionale all angolo di rotazione dell equipaggio. Di qui la linearità dello strumento rispetto alle correnti continue misurate. 2

3 figura 1: lo strumento a bobina mobile In altre parole, raddoppiando la corrente raddoppia l angolo di rotazione della bobina rispetto alla posizione di riposo. La massima corrente che può attraversare la bobina è quella che produce la rotazione dell ago fino al fondo della scala, e prende perciò il nome di corrente di fondo-scala I fs. Finora abbiamo considerato lo strumento a bobina mobile come un misuratore di corrente, ma esso può essere anche visto come uno strumento di misura delle tensioni. In particolare, invece di considerare la corrente di fondo-scala si può prendere in esame la tensione di fondo-scala V fs, il cui valore è legato alla corrente di fondo scala I fs e alla resistenza R della bobina tramite la legge di Ohm V fs =RI fs. 3

4 Sappiamo infatti che tale legge è applicabile ai conduttori ohmici: quando l ago segna il valore di fondo-scala, la bobina è attraversata dalla corrente I fs e presenta contemporaneamente ai suoi terminali la differenza di potenziale V fs. La bobina mobile del tester in dotazione al nostro laboratorio ha le due caratteristiche di fondo scala I fs e V fs indicate nella quinta presa in alto a partire da sinistra sulla morsettiera, dove leggiamo (scritto in nero): 50 ma = 100 mv = Ciò vuol dire che in corrispondenza di quella presa, accoppiata con la presa comune (la sesta in basso da sinistra ), contrassegnata col simbolo = (che sta ad indicare misure in corrente continua), lo strumento ha contemporaneamente i due valori di fondo scala, 50 ma per la corrente e 100 mv per la tensione. Per la legge di Ohm, V=R I si ottiene R b = V fs / I fs da cui R b = 0.1/ = 2000 Ω La resistenza interna R b della bobina dello strumento vale dunque 2000 Ω Per poter misurare tensioni superiori a 0.1 volt, occorre far uso di un partitore di tensione nel quale sia inserita la bobina dello strumento come resistenza parziale, tale che ai suoi capi la tensione non superi mai il limite di fondo-scala, cioè 0.1 Volt. Il partitore di tensione si ottiene disponendo resistenze in serie fra loro e quindi attraversate dalla stessa corrente I. Per la legge di Ohm, la tensione ai capi di ogni resistenza è proporzionale al valore della resistenza stessa. Inoltre la somma delle differenze di potenziale ai capi di tutte le resistenze è uguale alla differenza di potenziale complessiva applicata al partitore, perciò su ogni resistenza avremo una parte della tensione totale (da cui il nome partitore). Se, per esempio, si vuole portare il fondo-scala a 2 Volt, la bobina mobile dovrà essere pari a 0.1/2 = 1/20 di tutto il partitore ai capi del quale sono applicati i 2 Volt. La nuova presa, con fondo-scala 2V, dovrà essere collegata alla precedente tramite una resistenza pari a 2000 x 19 = Ω. In base a quanto ora detto sul partitore di tensione, i diversi fondo-scala voltmetrici indicati nelle prese in alto a sinistra del tester analogico in uso presso il nostro laboratorio, sono ottenuti disponendo in serie alla bobina mobile resistenze opportune, tenendo conto del fatto che la bobina mobile ha una resistenza di 2 K Ω. In conseguenza di ciò, la resistenza interna totale dello strumento sulle varie scale è sinteticamente espressa dalla scritta in basso a sinistra nel quadrante dello strumento: V = W /V, che significa: "Se il fondo scala è N Volt, la resistenza totale del voltmetro è pari a per N, cioè 2V corrispondono a W, 10V a , ecc.". Il valore della resistenza interna dello strumento sulle varie scale è importante per stabilire se lo strumento può essere impiegato per effettuare le misure su un certo sistema senza perturbarlo in modo apprezzabile. In ogni caso si deve conoscere il limite dello strumento e calcolare l'errore sistematico da esso introdotto nella misura. Infatti, applicando i terminali del tester a due punti di un circuito sul quale si effettuano le misure, una frazione della corrente passa inevitabilmente nello strumento alterando di conseguenza il valore letto. 4

5 Per effettuare misure di correnti superiori al fondo-scala della bobina mobile, cioè superiori a 50µA, si deve fare in modo che solo una frazione della corrente passi nella bobina stessa, cioè si deve realizzare un partitore di corrente, comunemente indicato con il termine "shunt". Mentre nel caso delle misure di tensione le resistenze aggiuntive vengono disposte in serie alla bobina, nel caso delle misure di corrente gli shunt si realizzano con resistenze in parallelo alla bobina. La corrente I entrante nello strumento viene suddivisa tra lo shunt e la bobina mobile in modo inversamente proporzionale alle due resistenze. Infatti, applicando la legge di Ohm a due resistenze in parallelo ed osservando che la tensione ai capi di entrambe deve essere la stessa, si ottiene: R 1 I 1 = R 2 I 2 e, per la conservazione della carica (prima legge di Kirchoff): I = I 1 +I 2 Per risolvere il problema del cambiamento di scala del tester, basta sostituire ad R 1 la resistenza interna della bobina, cioè 2K Ω, a I 1 il fondo-scala della bobina mobile, cioè 50µA, a I il valore del fondo-scala desiderato. Combinando questi dati con le due equazioni precedenti, si ottiene: R 2 =R 1 I 1 /( I- I 1 ) cioè il valore dello shunt (per il tester ICE) è: R = /(i ) Se il fondo-scala desiderato è per es. 1A, si ha: R = 0.1 Ω Uso del tester. Per usare il tester correttamente è necessario conoscerne le caratteristiche e tener presente il fatto che lo strumento può alterare i valori di corrente e/o tensione con la sua presenza nel circuito. In altre parole, un circuito con gli strumenti inseriti si trasforma in un nuovo "circuito equivalente" nel quale vengono incluse le resistenze degli strumenti. Il tester utilizzato come voltmetro verrà sostituito da un voltmetro ideale con resistenza interna infinita posto in parallelo ad una resistenza R V il cui valore dipende dal fondo scala di misura scelto. Per un tester a bobina mobile con caratteristica di 20 K Ω /V, la scelta di un fondo scala 2V implicherà una resistenza interna del voltmetro R V pari a 40 K Ω V R V Il tester utilizzato come amperometro verrà sostituito da un amperometro ideale con resistenza nulla in serie ad una resistenza R A il cui valore dipenderà dalla scala di misura scelta. Per un tester a bobina mobile da 50 µa fondo scala con 2KΩ di resistenza interna, avremo una resistenza 5

6 amperometrica R A che diminuirà in proporzione inversa al fondo scala scelto, 200 Ω a 500 µa, 20 Ω a 5 ma, 2 Ω a 50 ma, ecc. R A A Lo stesso discorso vale per i generatori. Si immagina l esistenza di generatori ideali di tensione e generatori ideali di corrente. Un generatore ideale di tensione ha resistenza interna nulla ed è capace di fornire ai suoi morsetti una tensione costante per qualsiasi corrente erogata. Un generatore ideale di corrente ha resistenza interna infinita ed è capace di erogare una corrente costante a qualsiasi tensione. I generatori reali presentano invece una resistenza interna finita diversa da zero e possono essere rappresentati mediante opportune schematizzazioni, come segue. Nel caso di un generatore di tensione reale, occorre considerare un generatore ideale con resistenza nulla posto in serie ad una resistenza pari alla resistenza interna del generatore R G R G G Nel caso del generatore di corrente reale, si considera invece un generatore ideale con resistenza interna infinita posto in parallelo ad una resistenza pari alla resistenza interna R G : Volendo misurare una resistenza incognita R X col metodo volt-amperometrico, potremo costruire i seguenti due circuiti: 6

7 1) 2) che, supponendo di usare generatori di tensione, danno luogo ai seguenti due circuiti equivalenti: 1) 2) In generale corrente e tensione misurati dagli strumenti nelle due configurazioni saranno diversi. Si tratta di calcolare il valore di R X essendo noti R V, R A, R G, la forza elettromotrice E 0 di G ed i valori di tensione V e corrente I letti sugli strumenti, oppure solo alcune di queste grandezze, in numero sufficiente per risolvere il problema. Talvolta, per risolvere un circuito, può essere conveniente applicare la legge di Ohm al circuito complessivo: E 0 = R T I T eq.(1) 7

8 avendo indicato con R T la resistenza totale del circuito applicato al generatore e con I T la corrente totale che vi circola. Inoltre, laddove esistano nodi, si applica la prima legge di Kirchoff, per cui la somma delle correnti in un nodo deve essere nulla (affinché la carica totale si conservi), considerando le correnti con il proprio segno, scelto secondo una libera convenzione. Infine, si potrà usare la legge di Ohm nei singoli rami: V= R I eq.(2) indicando con V la tensione generica ai capi di una resistenza R attraversata dalla corrente I. Nel circuito 1), per esempio, se vogliamo ottenere il valore di R X, è sufficiente considerare il ramo di circuito che comprende soltanto R X ed R A in serie fra loro. Ai capi di R X + R A abbiamo misurato una tensione V e sappiamo che la corrente I che circola nelle due resistenze è quella indicata dall'amperometro: perciò possiamo applicare la legge di Ohm ottenendo: cioè, semplicemente: R X + R A = V / I R X = V / I - R A eq.(3) Sulla misura effettuata col circuito 1) non influiscono in alcun modo tutte le altre grandezze elettriche presenti nel circuito: può infatti accadere che R G sia elevata rispetto alla resistenza totale R T e che, in conseguenza, in R X circoli meno corrente di quella che si avrebbe con un generatore di ugual E 0 e R G bassa. Tuttavia, in tal caso, anche il valore di V diminuisce nella stessa proporzione ed il rapporto V / I non cambia. Naturalmente, considerando un circuito di tipo 1), si possono effettuare misure soltanto se la resistenza interna dell'amperometro R A é piccola rispetto ad R X, altrimenti la correzione sistematica diventa troppo importante. Più complicato è il caso del circuito 2), nel quale il voltmetro è posto in parallelo alla resistenza R X ed entrambe sono in serie al generatore e all'amperometro. La tensione misurata V si riferisce ad una corrente incognita I X che circola in R X ed è una frazione della corrente misurata I: infatti I si ripartisce fra il ramo che comprende R V ed il ramo di R X in proporzione inversa ai valori delle due resistenze. Per la legge di Kirchoff, la corrente totale I misurata è pari alla somma della corrente I V che circola nel voltmetro più I X. Perciò: Inoltre, per la legge di Ohm: I X + I V = I V = R X I X 8

9 V = R V I V Ne consegue, risolvendo queste tre equazioni con le tre incognite R X, I X e I V R X = (R V V/ I) / (R V - V/ I) eq.(4) Il procedimento di calcolo ora esposto coincide con quello usato per calcolare il valore di due resistenze poste in parallelo: infatti il Voltmetro con la sua R V e la resistenza incognita R X sono in parallelo fra loro e la loro resistenza equivalente R E, per la legge di Ohm, è uguale al rapporto V/I. Applicando la nota relazione per le resistenze in parallelo a R V ed R X, abbiamo: ovvero: 1/R E = 1/R V + 1/R X R E = R V R X / (R V + R X ) eq.(5) dalla quale si deduce la stessa formula risolutiva per R X prima riportata: R X = (R V R E ) / (R V - R E ) Qui vediamo che la misura con un circuito di tipo 2) può essere effettuata con una certa precisione solo se R E è piccola rispetto ad R V, vale anche a dire che R V sia grande rispetto ad R X. Questo tipo di circuito, quindi, si presta bene alla misura di resistenze relativamente piccole rispetto ad R V. Di nuovo osserviamo che la conoscenza di R G e di E 0 è del tutto inessenziale per la misura di R X, purché siano note le caratteristiche degli strumenti impiegati. Invece, è importante nel momento in cui si desideri progettare la misura con l'obiettivo di rendere minimo l'errore di misura. Infatti, variando opportunamente E 0 è possibile utilizzare gli strumenti in condizioni ottimali, facendo in modo che sia la misura di tensione sia quella di corrente vengano effettuate in prossimità di un adatto fondoscala scelto fra quelli disponibili. In generale, numerosi problemi applicativi che si incontrano in laboratorio, dove l'uso degli strumenti elettrici è molto diffuso, possono essere risolti utilizzando altre combinazioni di grandezze note per ricavare quelle incognite, ma sempre utilizzando e combinando opportunamente i principi ed i metodi dei circuiti equivalenti ora delineati per il caso particolare delle misure volt-amperometriche delle resistenze. 9