Guide di laboratorio (meccanica)

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1 Laboratorio di Sperimentazione di Fisica Corso di Laurea in Matematica Università deli Studi di Roma Tor Verata Dr. R. Cerulli Guide di laboratorio (meccanica)

2 Esperienza n. Studio del moto del pendolo semplice e misura dell accelerazione di ravità Scopo dell esperienza: Parte A. Valutazione dell indeterminazione nella misura di sinolo periodo. B. Valutazione del moto armonico del pendolo Parte L C. Verifica della lee T = π. D. Misura dell accelerazione di ravità,. E. Indipendenza del periodo di oscillazione dalla massa del pendolo. Materiale a disposizione: sosteni metallici filo di nylon due pesi di massa diversa cronometro al centesimo di secondo metro a nastro e rihello pc sistema di acquisizione dati software di analisi dati LoerPro Montaio: Si realizzi un pendolo semplice ponendo una massa in sospensione su un filo di nylon con li estremi fissati a due supporti; i due supporti, che possono scorrere su due aste fisse, devono essere posizionati alla stessa altezza. Si veda la fiura sottostante.

3 Parte A. Procedura per la valutazione dell indeterminazione nella misura di sinolo periodo. Montare il pendolo con L~ 50 cm. Misurare L e valutare la sua incertezza.. Far oscillare il pendolo con un anolo iniziale α 0 piccolo (reime di piccole oscillazioni). Spieare come si è realizzata tale condizione. 3. Eseuire 00 misure di sinola oscillazione. 4. Si calcoli media, deviazione standard della distribuzione delle misure e deviazione standard della media. Descrivere il sinificato di ciascuna randezza ricavata. 5. Si riporti la miliore stima del periodo del pendolo con la sua incertezza. 6. Utilizzando il software in dotazione, LoerPro, si costruisca l istoramma delle misure (si consilia: ΔT=0.03 s). Si eseua un fit aussiano e si riportino media, deviazione standard e deviazione standard della media ottenuti dal fit. Si confrontino i valori ottenuti con quelli ricavati al punto Stimare quale incertezza si deve associare alla misura del tempo, T n, impieato dal pendolo per compiere n oscillazioni. 8. Ottenere da questa sinola misura di L e T il valore di con relativa incertezza, σ(), utilizzando la relazione propaazione delle incertezze utilizzata. 9. Commentare il risultato ottenuto. B. Visualizzazione del moto armonico T = π L. Per l incertezza su si scriva la formula di. Utilizzare il sistema di acquisizione dati, installando il sonar per la misura della posizione.. Mettere in oscillazione il pendolo e posizionare il sensore in modo che acquisisca la posizione della massa che oscilla in funzione del tempo. 3. Acquisire la posizione della massa in oscillazione per circa 30 secondi. 4. Visualizzare e stampare il rafico posizione vs tempo e velocità vs tempo ottenuto. 5. Ricavare il valore del periodo dell oscillazione. 6. Commentare Parte C. Procedura per la verifica della lee T = π L. Effettuare misure di periodo del pendolo per almeno cinque valori di L (~ 50 cm, ~ 60 cm, ~ 70 cm, ~ 80 cm, ~ 90 cm).. Per ciascun caso, misurare L e relativa incertezza. Misurare T 00, tempo impieato dal pendolo per compiere 00 oscillazioni. L errore da associare a T 00 può essere stimato dalle misure precedenti. 3. Scrivere e ricavare il periodo di un oscillazione con il suo errore, T, σ ; ricavare, inoltre, i valori di T e σ(t ) 4. Scrivere la seuente tabella con i dati misurati e relativi errori: 3

4 L ± ΔL (cm) T 00 ± σ 00 (s) T ± (s) T ± σ ( ) (s ) σ T 5. Utilizzando il software in dotazione, LoerPro, disenare il rafico T vs L. 6. Stampare il rafico, verificare e commentare l andamento ottenuto. 7. Valutare il coefficiente di correlazione lineare e commentare. 8. Eseuire il fit lineare con la funzione T = q + m Lusando il proramma LoerPro; riportare e commentare i valori di q e m con le loro relative incertezze. 9. Verificare che q risulti compatibile con zero e commentare. D. Misura dell accelerazione di ravità,. Dalla relazione, m =!!!! ottenere la miliore stima di, e, applicando le reole di propaazione deli errori, del suo errore σ a partire dalla determinazione di m e σ m. E. Verifica della indipendenza del periodo di oscillazione dalla massa del pendolo.. Montare una massa diversa da quella usata precedentemente. Posizionarla ad un valore ià utilizzato di L. Procedere come prima per la determinazione di T 00 e T. 3. Confrontare la misura di T con quella ottenuta precedentemente per lo stesso L. Commentare i risultati ottenuti. 4

5 ... un pò di Fisica: il pendolo semplice Si definisce pendolo semplice una massa puntiforme, m, vincolata a muoversi senza attriti a distanza fissa L intorno ad un punto O. O α L x P 0 G α m Abbandonando la massa al punto P 0, il corpo compirà un moto periodico sul piano OP 0 G. Le forze esterne aenti sul corpo sono la forza peso, m!, diretta verso il basso luno la verticale e la reazione vincolare. La reazione vincolare è uuale in intensità ed opposta in verso alla componente della forza peso ortoonale al moto. L equazione relativa per la componente tanenziale è: dvt dα m senα = mi ; dove v t = L è il modulo della velocità tanenziale. Utilizzando l equivalenza della massa ravitazionale, m, e della massa inerziale, m, ( m = m = mi ) si ottiene: d α o = senα. Per piccoli anoli di oscillazione ( α 8 ) si ha sen α α. Definendo ω =, si L L d α ottiene: + ω α = 0. Questa equazione differenziale del secondo ordine descrive un oscillatore armonico con equazione del moto: α ( t ) = α0sen( ωt + φ) e con periodo di oscillazione π L T = = π. Quindi, il periodo di oscillazione di un pendolo semplice: ω i) non dipende dalla massa del pendolo (conseuenza del principio di equivalenza della massa ravitazionale e della massa inerziale); o ii) non dipende dalla apertura anolare iniziale del pendolo, α 0, nel limite α 8 (isocronismo del pendolo); iii) è proporzionale alla radice quadrata della lunhezza del pendolo e, quindi, dal coefficiente di proporzionalità si può ottenere una misura della accelerazione di ravità,. i 5

6 Esperienza n. Cannoncino balistico (misura della ittata) Materiale a disposizione: Cannoncino ad alzo variabile pedana pallina di acciaio carta millimetrata metro a nastro carta copiativa pc software di analisi dati LoerPro Scopo dell esperienza: A. Misura della ittata, x, a vari alzi, α, ed a velocità iniziale, v 0, fissata. v B. Verifica della lee x 0 sen( α = ). C. Misura della velocità iniziale del proiettile. Montaio: Fissare il cannoncino al tavolo di lavoro. Montare la pedana sull asta e fissarla alla stessa altezza del punto di partenza del proiettile. Fissare la carta millimetrata sulla pedana. Posizionare senza fissarla la cara copiativa sopra la carta millimetrata. O P d d A. Procedura per la misura della ittata a vari alzi ed a velocità iniziale fissata.. Si scela una velocità iniziale tra le tre disponibili sul cannoncino balistico.. Effettuare misure della ittata, x, (e relativo errore) per almeno cinque valori dell alzo, α (~ 0 o, ~ 0 o, ~ 30 o, ~ 35 o, ~ 45 o ) alla velocità iniziale scelta. Valutare l errore di lettura su α. 6

7 Procedura per la misura di x e relativo errore.. Posizionare la carta copiativa ed il folio di carta millimetrata sulla pedana.. Alla velocità iniziale scelta e per ciascun valore dell alzo effettuare almeno 0 lanci del proiettile. 3. La ittata, x i, di ciascun lancio è data dalla somma x = d d i +, dove d i è la distanza misurata con il metro a nastro tra il punto di sparo ed un punto fisso di riferimento sul folio di carta millimetrata. La randezza d è la distanza tra il punto di impatto della pallina sulla i carta millimetrata (senata dalla carta copiativa) ed il punto fisso di riferimento sul folio di carta millimetrata. Naturalmente d può essere misurato una sola volta per ciascun alzo, mentre d varierà per ciascun lancio; questo è dovuto alle fluttuazioni statistiche associate i alla determinazione della ittata. Commentare questo punto. 4. Si calcoli la milior stima della ittata e la sua incertezza. Si calcoli la media ( x ), deviazione standard della distribuzione delle misure e deviazione standard della media. 5. Per quel che riuarda l errore sulle sinole determinazioni, x, si dovrà tenere in considerazione la sensibilità del metro a nastro e dell errore associato alla lettura sulla carta millimetrata. v B. Procedura per la verifica della lee x 0 sen( α = ) e misura di v 0.. Costruire la seuente tabella con i dati misurati e relativi errori: i α ± Δα sen( α ) ± Δsen(α ) ~ 0 o ~ 0 o ~ 30 o ~ 35 o ~ 45 o x ± Δ (m) x. Riportare i dati su di un rafico con LoerPro: x vs sen ( α ). 3. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare. 4. Applicare il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del fit lineare e i loro errori (utilizzando il software LoerPro): = q + m sen( α ). Stampare il rafico. x 5. a risulta compatibile con zero? Commentare. v0 6. Sapendo che m =, ottenere la miliore stima di v 0 e della sua incertezza a partire dalla determinazione di m e dell accelerazione di ravità,. Per calcolare l incertezza su v0 si utilizzi la formula di propaazione deli errori. 7

8 ... un pò di Fisica: il cannoncino balistico... Un proiettile di massa m viene lanciato da un cannoncino balistico con velocità iniziale v! 0. y m! v 0 y o v! 0 m! α v 0 x!! Esso è soetto alla sola forza peso e il suo moto è descritto dall equazione: F = m. Questa equazione può essere riscritta nel sistema di coordinate x,y: F x = m! x = 0 ; = my! = m da cui, per interazioni successive, e considerando le condizioni iniziali: x ( t = 0) = 0; x!( t = 0) = v0 cos( α) y ( t = 0) = 0; y!( t = 0) = v0sen( α) si ottiene: x! ( t) = v0 cos( α) x( t) = v0 cos( α) t e y! ( t) = v0sen( α) t y( t) = v0sen( α) t t Quindi, la traiettoria seuita dal proiettile è una parabola nel piano x,y descritta dall equazione parametrica precedente. x F y x La ittata, x, è definita dalle condizioni: * x ( t = t ) = x * e y ( t = t ) = 0. Cioé: * x = vo cos( α) t v * 0 v v * * sen ( α 0 t = ) e x 0 sen( α) cos( α) sen( ) 0 = v0sen( α) t t α = = c.v.d. (la soluzione t * = 0 è triviale). 8

9 x 0 x Esperienza n. 3 Misura statica e dinamica della costante elastica di una molla Materiale a disposizione: Una molla di costante elastica Vari pesi di massa M i Una asta con scala raduata Una bilancia di precisione Un cronometro Pc Sistema di acquisizione dati e software LoerPro Scopo dell esperienza: Montaio: Misura della costante elastica,, di una molla mediante misure statiche. Misura della costante elastica di un sistema di molle in parallelo e in serie. Verifica della lee x = M + x0. Misura della costante elastica di una molla e di un sistema di molle in parallelo e in serie mediante misure dinamiche. Verifica della lee T = π M m! Misura della costante elastica,, della molla mediante misure statiche.. Misurare con la bilancia di precisione la massa della calamita e dell indicatore e le masse date in dotazione. 9

10 . Misurare l allunamento della molla per almeno sei valori diversi della massa m. Lo zero della scala dell asta raduata può essere fissato come si preferisce (la sua definizione rinormalizza il valore di x 0 ). 3. Per ciascun caso, la lettura dell allunamento sull asta raduata avviene con l aiuto di un indice montato su una calamita. 4. Stimare l errore per oni lettura di x. 5. Costruire la seuente tabella con i dati misurati e relativi errori: M ± ΔM () x ± Δx (cm) M M M 3 M 4 M 5 M 6 6. Riportare in un rafico x vs m utilizzando il software LoerPro Verifica della lee x = M + x0 7. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare. 8. Applicare il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del fit lineare e i loro errori: x = q + m M 9. q risulta compatibile con x 0? commentare. 0. Sapendo che m =, ottenere la miliore stima di e del suo errore a partire dalla determinazione di m e dell accelerazione di ravità. Misura della costante elastica,, di un sistema di due molle in serie e in parallelo mediante misure statiche.. Si disponano due molle in serie, fissando la seconda all estremità della prima e si ripeta quanto fatto nei punti precedenti.. Si ricorda che in questo caso la costante elastica equivalente del sistema, s, risulta: / s =/ +/ 3. Si disponano due molle in parallelo e si ripeta quanto fatto nei punti precedenti. 4. Si ricorda che in questo caso la costante elastica equivalente del sistema, p, risulta: p = + Misura della costante elastica,, della molla mediante misure dinamiche.. Effettuare misure del periodo, T, di oscillazione della massa M per almeno sei valori di M utilizzando il sistema di acquisizione dati col sensore di posizione ed il software LoerPro di analisi dei dati reistrati.. Ricavare tramite un fit sui dati acquisiti il valore della pulsazione, ω, dell oscillazione; ricavare il periodo, T=π/ω, e riportare i risultati e i relativi errori nella seuente tabella: 0

11 M ± ΔM () ω ± Δω(rad / s) T ± ΔT (s) T ± ΔT (s ) M M M 3 M 4 M 5 M 6 3. Riportare in un rafico T vs M 4. Lo stesso si eseua anche per il caso di un sistema di due molle in serie e in parallelo Procedura per la verifica della lee T M = π e misura di. 5. Verificare qualitativamente che si è in presenza di una dipendenza lineare. 6. Applicare il metodo dei minimi quadrati per stimare i parametri del fit lineare e i loro errori: T = q + m M 7. q risulta compatibile con zero? commentare. 4π 8. Sapendo che m =, ottenere la miliore stima di e del suo errore a partire dalla determinazione di m. Si ricordi che σ = Δm m.... un pò di Fisica: le forze elastiche... Caso statico. Una massa, m, è appesa ad una molla di massa trascurabile e costante elastica. Assumiamo come asse x l asse verticale orientato verso il basso. Con x 0 si indica la posizione di riposo della molla. Le forze che aiscono sulla massa m sono la forza peso e la forza di richiamo della molla. Si può, quindi, scrivere: d x m = ( x x0 ) + m In condizioni di equilibrio (condizione statica) si ha: 0 = ( x x0 ) + m ; cioè x = m + x0. Quindi, misurando li allunamenti della molla, x, al variare della massa m si ottiene un andamento lineare il cui coefficiente anolare è /. La stima di tale coefficiente permette di ottenere una stima della costante elastica della molla,. Molle in parallelo Nel caso di due molle in parallelo di costanti elastiche rispettivamente e, si ha: d x m = ( x x0) ( x x0) + m ovvero

12 d x m = ( + )( x x0) + m pertanto nel sistema in questione la costante elastica equivalente risulta p = + Molle in serie In questo caso si possono scrivere due equazioni per le due molle: d x d x m = ( x x0) + m m = ( x x ) + m 0 In equilibrio statico si ha: x = m x = m pertanto il sistema equivalente risulta x x + x ( ) m p = p = Sostituendo x e x con le loro espressioni in funzione di m si ottiene il valore dalla costante elastica equivalente / p = / + / Caso dinamico. Posizionando la massa m fuori della posizione di equilibrio e rilasciandola, si avrà un moto armonico oscillatorio (condizione dinamica) intorno alla posizione di equilibrio. La soluzione dell equazione differenziale: d x m + x = x0 + m si ottiene dalla somma della soluzione dell equazione differenziale omoenea ( A sin( ω t + φ) ) e di una soluzione particolare dell equazione differenziale disomoenea ( x 0 + m): ( t) = A sin( ω t + φ) + x + m x 0 con ω = π T =. Le costanti A e φ sono le due costanti di interazione dell equazione m differenziale omoenea del secondo ordine da determinarsi in base alle condizioni iniziali. Misurando per varie masse m il periodo di oscillazione T, si può ricavare il valore della costante m 4π elastica. Infatti: T = π o T = m ; cioè esiste una dipendenza lineare tra T e m. Determinando il coefficiente di proporzionalità si ha una stima della costante elastica.