Possibile Es1:Calcolo approssimato

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1 Possibile Es1:Calcolo approssimato E noto che i lati di un parallelepipedo, a base quadrata, misurano, in cm, rispettivamente x=6±0.03,lato della base, ed y=8±0.02, altezza parallelepipedo. Calcolare valore stimato, errore relativo ed errore assoluto della superficie e del volume del parallelepipedo.

2 Calcolo approssimato SOLUZIONE:La superficie S del parallelepipedo è data da S= 4xy + 2 x 2 Il valore stimato di S è dunque 4(6)(8) + 2(6)(6) = =264 cm 2 ; errore relativo di S = 3/ /800 +2(3/600))=7/400= 1.75% ; errore assoluto di S= 264(1.75/100)=4.62 cm 2 ; il volume V del parallelepipedo è dato da V= x 2 y, il valore stimato di V è dunque (6)(6)(8)=288 cm 3 ; l errore relativo di V è dato da 2(3/600) + 2/800 = 1/100+1/400= 5/400 =1/80; l errore assoluto di V è 288(1/80) =3.6 cm 3.

3 Possibile Es1:Percentuali Per preparare della frutta sciroppata ho predisposto 600g di sciroppo al 20%. Poi leggo sul ricettario che lo sciroppo deve essere preparato al 30%. Quanto zucchero devo aggiungere?

4 Percentuali SOLUZIONE: Dalla relazione x/600 = 20/100 si ricava che la quantità di zucchero iniziale è x= 120 g; aggiungiamo z di zucchero per arrivare al 30%, si ha (z+120)/(600+z) = 30/100 da cui z=600/7 86 g

5 Possibile Es2: Probabilità In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2 biglie Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5 estrazioni con rimessa, calcola la probabilità: a) di estrarre una sola biglia Gialla; b) almeno una biglia Gialla; c) al più una biglia gialla d) tutte biglie non Gialle

6 Possibile Es2: Probabilità Con rimessa di estrarre una sola biglia Gialla 5(4/9)(5/9) 4 b) almeno una biglia Gialla 1- (5/9) 5 c) al più una biglia gialla (5/9) 5 + 5(4/9)(5/9) 4 d) tutte biglie non Gialle (5/9) 5

7 Possibile Es2: Probabilità In un sacchetto ci sono 3 biglie Rosse, 2 biglie Blu e 4 biglie Gialle. Si eseguono 5 estrazioni senza rimessa, calcola la probabilità: a) di estrarre una sola biglia Gialla; b) almeno una biglia Gialla; c) al più una biglia gialla d) tutte biglie non Gialle

8 Possibile Es2: Probabilità senza rimessa a) di estrarre una sola biglia Gialla 5(4/9)(5/8)(4/7)(3/6)(2/5)=10/63 oppure con il calcolo combinatorio: C 4,1 C 5,4 /C 9,5 b) almeno una biglia Gialla 1-(5/9)(4/8)(3/7)(2/6)(1/5) = 1-1/126= 125/126 oppure con il calcolo combinatorio: 1- C 5,5 /C 9,5 c) al più una biglia gialla 1/ /63 d) tutte biglie non Gialle 1/126

9 Possibile Es2: Probabilità Siano A e B due eventi in uno spazio degli eventi Ω. E possibile che p(a B) > p(a B)? Non è possibile, infatti A B A B, vale a dire che A B è un sottoevento di A B, per cui ogni volta che si verifica A B si verifica anche A B, e quindi p(a B) p(a B).

10 Un esercizio di probabilità Il colore di una specie di legumi è determinato geneticamente da un gene con due possibili alleli: l allele V dominante del colore verde e l allele g recessivo del colore giallo. La popolazione di legumi che stai studiando soddisfa le ipotesi della legge di Hardy- Weinberg, e sai che il 70% degli alleli nella popolazione sono V e il 30% sono g. (1) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella popolazione abbia colore verde? SOL: Indichiamo con Fg ed FV rispettivamente l evento fenotipi giallo, fenotipo verde, si ha P(Fg)=(0.3) 2 = 0.09, dunque P(FV)= 0.91

11 Un esercizio di probabilità (2) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella popolazione abbia colore giallo sapendo che il primo genitore ha colore giallo ed il secondo ha colore verde? SOL:Indichiamo con F g l evento figlio di colore giallo e con P g e S V rispettivamente gli eventi primo genitore giallo secondo genitore verde, si deve calcolare P(F g P g S V ), si ha P(F g P g S V )=P(F g P g S V )/P(P g S V )= ((0.09)(2(0.3)(0.7)(1/2))/(0.09)(0.91) = 21/91 (3) Qual è la probabilità che un legume preso a caso nella popolazione abbia colore giallo sapendo che entrambi i genitori hanno colore giallo? SOL: Se i genitori sono entrambi gialli sono di genotipo gg entrambi e quindi il figlio sarà certamente giallo

12 Un esercizio di probabilità (4) Qual è la probabilità che il primo genitore abbia colore verde, sapendo che il figlio ha colore giallo? SOL: E richiesta la P(P V F g ) = P(P V F g ) /P(F g ) Se non si hanno informazioni sui genitori la probabilità che il figlio sia giallo corrisponde alla probabilità che un individuo scelto a caso nella popolazione sia giallo, vale a dire che P(F g ) = 0.09 L evento figlio è giallo e il primo genitore verde è possibile solo se il primo genitore è del genotipo Vg, mentre, non avendo informazioni, per il secondo genitore possiamo ipotizzare i genotipi gg oppure Vg, dunque si ha P(P V F g ) = 2(0.3)(0.7)[2(0.3)(0.7)(1/4) (1/2)]/0.09 =0.7 che corrisponde alla frequenza dell allele V

13 Ancora probabilità:gruppi sanguigni.. In una data popolazione molto ampia il 60% appartiene al gruppo sanguigno O, il 28% al gruppo B, il 10% al gruppo A, il 2% al gruppo AB Si scelgono a caso 8 individui nella popolazione, calcolare la probabilità che a) nessuno appartenga al gruppo B b) al più due appartengano al gruppo B SOLUZIONE: a) (0.72) 8 ; b) (0.72) (0.28) (0.72) (0.28) 2 (0.72) 6

14 Ancora probabilità: occhiali.. Da un'indagine nelle scuole risulta che la percentuale degli alunni che portano gli occhiali è il 12% nelle scuole elementari, il 23% nelle scuole medie, e il 42% nelle scuole superiori. a) Calcolare la probabilità che scegliendo a caso 3 studenti, uno per fascia, almeno uno porti gli occhiali b) Scegliendo uno studente a caso fra tutti (e supponendo che la scelta di ogni fascia sia equiprobabile) calcolare la probabilità che lo studente porti gli occhiali c)sapendo che lo studente scelto porta gli occhiali, calcolare la probabilità che frequenti le scuole elementari

15 Ancora probabilità: occhiali.. SOLUZIONE: a) calcoliamo la probabilità che nessuno porti gli occhiali, (0.88)(0.77)(0.58), quindi la probabilità richiesta è 1 (0.88)(0.77)(0.58); b) 1/3( )= 1/3(0.77); c) Indicando con E l evento lo studente frequenta le scuole elementari e con O l evento lo studente porta gli occhiali, è richiesta P(E O) = 1/3(0.12)/1/3(0.77) = 12/77

16 Disequazioni Risolvi le seguenti disequazioni: a) 2x +1 2/(x+2) SOL: 2x+1-2/(x+2) 0, da cui x(2x+5)/(x+2) 0 che risulta valida per -5/2 x<-2 oppure x>0 b) x - x 1 SOL:Si osserva che la disequazione è definita solo per x 0, essa corrisponde a -1 x-x 1, si deve avere: x x-1 e contemporaneamente x x+1, si osserva che quest ultima disequazione è sempre valida, essa corrisponde infatti alla disequazione x 2 + x+1 0 che è verificata per ogni x;mentre x x-1 è valida sicuramente per 0 x 1, per x>1 essa corrisponde a x 2-3x +1 0 valida per 1< x (3+ 5 )/2, dunque la disequazione assegnata è soddisfatta per x tale che 0 x (3+ 5 )/2

17 Disequazioni Risolvi le seguenti disequazioni: c) (3x-1)/(x+1) 1 SOL: la disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1) 1 per x 1/3 oppure x<-1, ed è soddisfatta per x<-1 oppure x 1; la disequazione corrisponde a (3x-1)/(x+1) -1 per -1<x 1/3 ed è soddisfatta per -1<x 0. L insieme delle soluzioni della disequazione assegnata è dunque dato da x tale che x<-1 oppure x 1 oppure -1<x 0 d) sqr(x+1) 3x +1 SOL: la disequazione è definita per x -1, ovviamente valida per -1 x -1/3, e corrispondente a x+1 (3x+1) 2 per x>-1/3, vale a dire x(9x+5) 0 soddisfatta per -1/3<x 0, dunque la disequazione assegnata è soddisfatta per -1 x 0

18 Funzioni Sia f(n) una funzione tale che f(1)=f(2)=f(3)=1 e f(n+1)=(f(n)f(n-1)+1)/f(n-2), allora f(6)= SOL: f(4)=(f(3)f(2)+1)/f(1)=2, f(5)=(f(4)f(3)+1)/f(2)=3, infine f(6)=(f(5)f(4) +1)/f(3)=7 Assegnata la funzione f(x)= 1/x - x, calcola f(2)=..; f(1/2)= SOL:f(2)=1/2-2= -3/2; f(1/2)= 2-1/2=3/2 Determina dove f(x)<0 SOL: 1/x-x<0 corrisponde a (1-x 2 )/x<0 che è soddisfatta per -1<x<0 oppure x>1. Studia il segno di f(x)= 1/2 x+1-1/2 x-1 SOL:la funzione corrisponde a f(x)=-1/2(x+1)+1/2(x-1)=-1 per x -1, corrisponde a f(x)=1/2(x+1)+1/2(x-1)=x per -1<x<1 Corrisponde a f(x)=1/2(x+1) -1/2(x-1)=1 per x 1; dunque f(x)<0 per x<0, f(0)=0, f(x)>0 per x>0.

19 Funzioni Sia f(x)= (2x-1)- x 2-3x+2 a) Determina l insieme di definizione b) f(0)= c) Esiste x tale che f(x)=0? d) Determina per quali x si ha f(x) 1 e) Calcola i limiti ai bordi dell insieme di definizione f) Determina l insieme di definizione di g(x)=sqr(f(x))