Elementi di Teoria della Probabilità

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1 Elementi di Teoria della Probabilità Alcune definizioni iniziali: Fenomeno casuale: fenomeno ripetibile (almeno in teoria) infinite volte che può manifestarsi in diverse modalità, imprevedibili singolarmente, mutuamente esclusive. Insieme (spazio) dei risultati S: insieme di tutte le possibili modalità di verificarsi di un dato fenomeno (numero finito o infinito di elementi). Evento casuale E: il verificarsi di una o più di queste modalità. Esempio: per il fenomeno lancio di un dado S è composto da 6 elementi, un evento può essere uscita di un asso oppure uscita di un numero pari, ecc Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 1

2 Elementi di Teoria della Probabilità Se ad ogni modalità di un fenomeno casuale è possibile associare uno ed un solo numero reale x, questo viene detto variabile casuale, definita su S. Per la presenza di errori casuali, la misura di una grandezza fisica può essere considerata un evento casuale ed il risultato di tale misura una variabile casuale associata all evento stesso. D altra parte esistono diversi fenomeni fisici che hanno un carattere casuale, e vanno studiati facendo uso dei concetti di probabilità, delle distribuzioni di probabilità ecc.. Un esempio sono i decadimenti radioattivi: per un determinato isotopo radioattivo si conosce il tempo medio di decadimento, ma il numero di nuclei che decadranno in un dato momento è una variabile casuale (non posso prevederlo esattamente a priori). Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 2

3 Altre definizioni iniziali: Evento complementare E = non E : il non verificarsi di E. I due eventi E ed E si escludono mutuamente e insieme esauriscono l insieme di tutti i possibili risultati del dato esperimento. Prodotto logico di due eventi E ed F: E F ( E e F, E F ) il verificarsi sia di E che di F. Esempio: nell estrazione di una carta da un mazzo, se E= uscita di un re, F= uscita di un fiori, E F= uscita del re di fiori. Somma logica di due eventi E ed F: E+F (E o F, E U F ) il verificarsi di E oppure di F, oppure di E F Esempio: E+F= uscita di una carta che sia o un re o un fiori. Eventi mutuamente esclusivi: il verificarsi di uno implica il non verificarsi dell altro e viceversa. Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 3

4 Definizioni di Probabilità I) Definizione Assiomatica (matematica) Sia S l insieme di tutti i possibili risultati di un fenomeno causale, sia E un qualunque evento casuale, si definisce probabilità di E un numero reale p(e) associato univocamente ad E che soddisfa le tre seguenti proprietà: 1) p(e) 0 2) p(s) = 1 3) insieme di eventi E 1, E 2, E 3 mutuamente esclusivi ( E i E j =0 i,j) p(e 1 U E 2 U E 3 ) = p(e 1 ) + p(e 2 ) + p(e 3 )+ Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 4

5 II) Definizione Classica Detta anche definizione a priori. Si definisce come probabilità di un evento casuale il rapporto tra il numero di casi favorevoli al presentarsi dell evento stesso e il numero di casi possibili, purché tutti questi casi possibili siano equi-probabili. Ne segue che: 0 p(e) 1 la probabilità di un evento casuale è un numero compreso tra zero e 1 p(e)=0 p(e)=1 Osservazioni: per eventi impossibili per eventi certi Utile per calcolare la probabilità nei casi di semplici eventi con un numero finito di casi possibili (es. dadi, carte ecc.). Contiene in sé una tautologia nell implicita definizione di equi-probabilità. Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 5

6 III) Definizione Empirica ( frequentista ) Detta anche definizione a posteriori. Si consideri un evento casuale E che si è verificato n volte su N prove ripetute effettuate. Sia f = n/n la frequenza relativa dell evento E. Si definisce la probabilità dell evento E come l estensione della frequenza relativa ad un numero altissimo prove: Osservazioni: p(e) ~ lim f (E) = lim n / N N N Le N prove possono essere effettuate sia ripetendo N volte successivamente lo stesso esperimento, sia effettuando simultaneamente N esperimenti identici. La definizione è utilizzabile solo nei casi in cui si disponga di un evento ripetibile o di un gran numero di eventi simili. La probabilità di un evento risulta essere una caratteristica unitamente dell evento e dell insieme degli N casi considerati, cioè dell insieme scelto. Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 6

7 Legge dei grandi numeri (o teorema di Bernoulli) Qualora si prenda come definizione di probabilità quella assiomatica, è possibile dimostrare che al crescere del numero di prove, la frequenza relativa di un evento casuale converge verso la probabilità dell evento stesso. Tale convergenza va intesa in senso statistico, ossia aumentando il numero di prove posso rendere improbabile a piacere che frequenza relativa e probabilità differiscano più di una prefissata quantità: >0 esiste un M tale che N>M p( f(e)-p(e) > ) < Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 7

8 Proprietà della Probabilità Si possono ricavare a partire da ciascuna delle definizioni. Le dimostriamo qui utilizzando la definizione empirica. 1) Probabilità dell evento complementare. ( Nota p(e), quanto vale p(e)? ) f(e) = (N - n) / N = 1 - n/n = 1 - f(e) Passando al limite per N : p(e) =1 - p(e) da cui anche: p(e) + p(e) = 1 2) Legge della Probabilità totale. Consideriamo il risultato di un esperimento che comporti il verificarsi di 2 eventi simultanei (detti E,F). Vogliamo calcolare la probabilità che si verifichino entrambi a partire dalla probabilità che si verifichi ciascuno di essi. Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 8

9 Si danno quattro possibili risultati: E F si verifica E e si verifica F. n 11 sia la frequenza assoluta corrispondente E F si verifica E e non si verifica F. n 12 E F non si verifica E e si verifica F. n 21 E F non si verifica E e non si verifica F. n 22 Con n 11 + n 12 + n 21 + n 22 = N numero totale delle prove. Le frequenze relative saranno date da: f(e F) = n 11 /N f(e F) = n 12 /N f(e F) = n 21 /N f(e.f) = n 22 /N f(e) = (n 11 + n 12 ) / N = f(e F) + f(e F) f(f) = (n 11 + n 21 ) / N = f(e F) + f(e F) Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 9

10 La frequenza dell evento complesso somma logica E+F (verificarsi di E o di F o di entrambi) risulta data da: f(e+f) = (n 11 + n 12 + n 21 ) / N = (n 11 + n 12 + n 21 + n 11 - n 11 ) / N = = (n 11 + n 12 )/N + (n 21 + n 11 )/N - n 11 / N = f(e) + f(f) - f(e F) Utilizzando la definizione di probabilità empirica, passando al limite per N : p(e+f) = p(e) + p(f) - p(e F) Se gli eventi E ed F sono mutuamente esclusivi p(e F)=0 da cui: p(e+f) = p(e) + p(f) legge della probabilità totale Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 10

11 3) Probabilità condizionata Due eventi si dicono statisticamente indipendenti quando il verificarsi di uno è indipendente dal verificarsi dell altro. In caso contrario è utile definire la probabilità condizionata che si verifichi un evento, essendosi verificato l altro: p(e F) probabilità di E dato F, cioè probabilità che si verifichi E essendosi verificato F Esempio: p(sabato)= 1/7 ma p(sabato weekend)=1/2 Se gli eventi E ed F sono statisticamente indipendenti: p(e F) = p(e) p(f E) = p(f) Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 11

12 4) Legge della Probabilità composta Calcoliamo la frequenza di E dato F: f(e F) = n 11 / (n 11 + n 21 ) = (n 11 / N ) N / (n 11 + n 21 ) = f(e F) / f(f) Analogamente: f(f E) = n 11 /(n 11 + n 12 ) = (n 11 / N ) N / (n 11 + n 12 ) = f(e F) / f(e) Da cui possiamo ricavare: f(e F) = f(f) f(e F) = f(e) f(f E) Passando al limite per N : p(e F) = p(f) p(e F) = p(e) p(f E) Se gli eventi E ed F sono statisticamente indipendenti p(e F)=p(E) : p(e F) = p(e) p(f) legge della probabilità composta Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 12

13 Esercizi Si consideri un mazzo di 52 carte, Si estragga una carta a caso e si determini la probabilità che: a) Sia un asso a) p(1)= 4/52 = 1/13 b) Sia un fiori b) p( )=13/52 = ¼ c) p(10 ) = 1/52 c) Sia un 10 di fiori d) p(4+ )=1 - ( p(4) + p( ) - p(4 ) ) = d) Non sia un 4 nè un fiori 1 - ( 1/13 + 1/4-1/52 ) =1-4/13 = 9/13 Si estraggono due carte, determinare la probabilità che siano entrambe assi se a) la prima è rimessa nel mazzo, b) non è rimessa nel mazzo a) p(a.b) = p(a) p(b A)= p(a) p(b) = (4/52)(4/52) = 1/169 b) p(b A) p(b) p(a.b) = (4/52) (3/51) =1 /221 Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 13

14 L apertura di una porta è comandata dal segnale congiunto di due fotocelle. Se ciascuna fotocella ha un inefficienza del 3% (probabilità di non rivelare l avvicinarsi della persona) quale è la probabilità che la porta non si apra quando si avvicina una persona? E 1 : la fotocella 1 dà segnale p(e 1 ) = 0.97 p(e 1 ) = = 0.03 E 2 : la fotocella 2 dà segnale p(e 2 ) = 0.97 Quattro possibili eventi composti: E 1.E 2 : entrambe danno segnale il cancello si apre E 1.E 2 oppure E 1.E 2 : 1 sola dà segnale il cancello resta chiuso E 1.E 2 : nessuna dà segnale il cancello resta chiuso Poiché sono eventi indipendenti: p(e 1.E 2 ) = 0.97 x 0.97 = 0.94 p(cancello_chiuso) = 1 - p(e 1.E 2 ) =0.06 = p(e 1.E 2 ) + p(e 1.E 2 ) + p(e 1.E 2 ) = = 0.03x x x 0.03 Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 14

15 L apertura della porta è comandata dal segnale di almeno una delle due fotocelle. Se ciascuna fotocella ha un inefficienza del 3% (probabilità di non rivelare l avvicinarsi della persona) quale è la probabilità che la porta non si apra quando si avvicina una persona? p(e 1 + E 2 ) = p(cancello_chiuso) = 1 - p(e 1 + E 2 ) = = p(e 1.E 2 ) = 0.03 x 0.03 Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 15

16 Teorema di Bayes Dalla legge della probabilità composta ricavo: p(f E) = p(f) p( E F) p(e) Consideriamo ora il caso in cui un dato fenomeno casuale possa verificarsi secondo N modalità diverse, mutuamente esclusive, le indichiamo come eventi F i. Insieme ad essi l evento E possa verificarsi oppure no. Allora E = E F 1 + E F E F N p(e)= p(e F 1 )+ p(e F 2 )+ = p(e F j ) j=1,n p(e) = p(f j ) p(e F j ) j=1,n Per un generico F i si ha allora: e per la legge della probabilità totale si ha: ma p(e F j ) = p(f j ) p(e F j ) quindi: p(f i E) = p(f i ).p(e F i ) p(e) = j=1,n p(f i ).p(e F i ) p(f j ) p(e F j ) Teorema di Bayes Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 16

17 Esercizio Lancio una moneta e osservo 3 teste consecutive. Sapendo di avere a disposizione 2 monete, una normale e una truccata (due teste), quale è la probabilità che abbia lanciato quella truccata? E: uscita di 3 teste consecutive F 1 : ho scelto la moneta truccata F 2 : ho scelto la moneta normale F 1 U F 2 = S p(f 1 F 2 )=0 p(f 2 ) = 1 - p(f 1 ) p(e F 1 ) = 1 p(e F 2 ) = ½ x ½ x ½ =0.125 p(f 1 )=p(f 2 )= ½ p(f 1 ) p(e F 1 ) 0.5x1 p(f 1 E) = = = 0.89 p(f 1 )p(e F 1 ) + p(f 2 )p(e F 2 ) 0.5x1+0.5x0.125 Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 17

18 La probabilità di aver scelto la moneta normale è: p(f 2 E) = p(f 2 ) p(e F 2 ) = 0.5x0.125 = 0.11 p(f 1 )p(e F 1 ) + p(f 2 )p(e F 2 ) 0.5x1+0.5x0.125 Poiché F 1 ed F 2 esauriscono tutte le modalità possibili, potevo anche calcolare questa probabilità come: p(f 2 E) = 1 p(f 1 E) = = 0.11 Se invece di avere scelto la moneta tra 2 a disposizione, una truccata e una no, prendessi una moneta a caso dalla tasca, non posso calcolare la probabilità che sia truccata in base al solo risultato dell esperimento fatto. Devo prendere un valore a priori per p(f 1 ). Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 18

19 Altro uso del teorema di Bayes Spesso il teorema di Bayes è utilizzato quando le F i non sono eventi casuali ma ipotesi (teorie) da verificare in base a un dato risultato ottenuto, prende cioè la seguente forma: p( ipotesi i risultato ) = p( ipotesi i ) p( risultato ipotesi i ) p(risultato) Il grado di confidenza in una teoria [ p(teoria risultato) ] aumenta quando si osserva il verificarsi dei risultati da essa previsti [ p(risultato teoria) ] (updating knowledge). Esso dipende anche dal mio giudizio a priori sul suo grado di affidabilità [ p (teoria) ]. Marta Calvi 2010 Lezione 3, pag. 19