Elementi di probabilità

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1 Elementi di probabilità Corso di STATISTICA Ordinario di, Università di Napoli Federico II Professore supplente, Università della Basilicata a.a. 2011/ Obiettivo dell unità didattica Introdurre gli elementi fondamentali della teoria della probabilità e l utilità per l inferenza statistica Contenuti Probabilità e inferenza statistica Le diverse scuole Elementi di calcolo delle probabilità 2 1

2 Probabilità e inferenza statistica La teoria della probabilità consente la costruzione di modelli matematici per lo studio di fenomeni aleatori o casuali Sviluppa le conseguenze logico-deduttive che derivano dall'applicazione di tali modelli. 3 Il passaggio alla inferenza statistica I risultati e gli schemi interpretativi della teoria della probabilità vengono poi utilizzati dall'inferenza statistica per giungere ad una scelta tra i modelli matematici alternativi che possono aver generato i dati campionari o sperimentali. 4 2

3 La differenza Mentre la teoria della probabilità stabilisce i risultati che ci si può attendere dall'esecuzione di un esperimento o dalla rilevazione campionaria, l'inferenza statistica si serve dei risultati sperimentali o campionari per costruire o interpretare la legge generale sulla popolazione (secondo il metodo induttivo, dal particolare al generale). 5 Esempio Si supponga di dover determinare la proporzione di clienti che scelgono il pagamento con carta di credito, considerando il totale di clienti che acquistano con regolarità in un supermercato. Il problema si traduce nella stima della probabilità che un cliente, che acquista con regolarità, scelga di pagare con carta di credito. Tale stima dovrà essere effettuata in condizioni di incertezza, in quanto non è possibile rilevare tale informazione per la totalità dei clienti, bensì occorrerà basarsi sulle informazioni derivanti dalla rilevazione di un campione statistico di clienti che acquistano con regolarità. 6 3

4 Esempio Con il calcolo delle probabilità si associa alla popolazione che genera i dati campionari, un modello matematicoprobabilistico da cui è possibile far discendere con logicadeduttiva i possibili risultati derivanti dall estrazione casuale delle osservazioni campionarie. Con il metodo induttivo si perviene alla stima e, attraverso il calcolo delle probabilità, è possibile controllare il margine di rischio o di incertezza derivante dall informazione parziale. 7 Il processo deduttivo La Teoria della Probabilità deduce dal contenuto noto della popolazione il contenuto probabile del campione, cioè deduce le proprietà di un processo fisico da un modello matematico. 8 4

5 Il processo induttivo L'Inferenza induce le caratteristiche della popolazione dall'analisi del contenuto del campione osservato, cioè inferisce le proprietà del modello matematico a partire dall'analisi dei dati campionari che sono stati osservati. 9 Interpretazione della Probabilità La Probabilità è un concetto che viene usato in molte discipline e che è ormai entrato a far parte del linguaggio corrente in quanto usualmente si devono prendere decisioni che, anche dopo aver esaminato le informazioni disponibili, vengono maturate in condizioni di incertezza. 10 5

6 Le Definizioni di Probabilità Nonostante ciò è difficile dare un'interpretazione, e quindi una definizione, di probabilità che sia completamente soddisfacente ed esente da critiche. Si sono succedute nella storia diverse scuole di pensiero: I classici I frequentisti I soggettivisti Gli assiomatici 11 Scuola Classica La probabilità è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di un risultato e il numero totale dei possibili risultati, ammesso che questi siano egualmente possibili. Critica: la definizione è ridondante in quanto egualmente possibili è sinonimo di egualmente probabili. 12 6

7 Scuola Frequentista La probabilità è il limite della frequenza relativa di un evento ripetibile quando cresce, oltre ogni limite, il numero delle prove. Critica: non sempre è possibile ripetere l esperimento all infinito! 13 Scuola Soggettivista La probabilità rappresenta il grado di fiducia che un individuo coerente attribuisce al presentarsi di un evento, ovvero, per quantificare, come la somma p che è disposto a scommettere quando, verificandosi l'evento, vince 1. Critica: il grado di fiducia è stabilito in maniera soggettiva e pertanto la probabilità non è univocamente determinata. 14 7

8 L'Impostazione Assiomatica La probabilità non si definisce, è un concetto primitivo. L impostazione assiomatica si basa su: Concetti Primitivi Postulati Teoremi fondamentali 15 I concetti primitivi Si introducono i Concetti Primitivi e la loro reciproca relazione: "la Prova genera l'evento con una certa Probabilità" 16 8

9 Prova: è un esperimento soggetto a incertezza e può suddividersi in sottoprove. 17 Evento: è uno dei possibili risultati della prova e costituisce un insieme di descrizioni circa i possibili risultati dell'esperimento. L'insieme di tutti i risultati possibili prende il nome di Spazio Campionario. 18 9

10 Probabilità: è un numero reale compreso tra 0 e 1 associato al presentarsi di un evento e gode di proprietà intuitive formalizzate nei postulati 19 I postulati Si stabiliscono delle affermazioni, detti Postulati o Assiomi, che non si dimostrano 20 10

11 I teoremi fondamentali Dai postulati si deducono tutte le possibili conseguenze, sia logiche sia matematiche, pervenendo alla dimostrazione dei Teoremi del calcolo delle probabilità. 21 L'Algebra degli Eventi a) Unione o Somma Logica fra due eventi A e B è quell'evento C che si verifica quando si verifica A oppure B oppure A e B contemporaneamente: C = A B ( A o B ) 22 11

12 b) Intersezione o Prodotto Logico fra due eventi A e B è quell'evento D che si verifica quando si verifica sia A sia B contemporaneamente: D = A B ( A e B ) 23 c) Negazione di un evento A è quell'evento E che si verifica allorquando A non si verifica: E = ( non A ) Si può anche indicare con 24 12

13 Eventi particolari Evento Certo = I: è l'evento che si verifica sempre; Evento Impossibile = può mai verificarsi; Evento Incompatibile: : è l'evento che non 25 Eventi particolari Evento Necessario: Evento Elementare: 26 13

14 Alcune definizioni.. Spazio Campionario S: è l'insieme di tutti i risultati possibili dell'esperimento. Spazio degli Eventi: una classe di eventi ai quali si vuole assegnare una probabilità e che questa classe sia un'algebra, ovvero che contenga S e come elementi e sia chiusa rispetto alla complementazione e all'unione. 27 Alcune definizioni Quando S è costituito da un numero finito k di elementi, lo spazio degli eventi può essere rappresentato dall'insieme di tutti i possibili sottoinsiemi di S ed ha cardinalità 2 k

15 Esempi lancio di una moneta 29 Esempi lancio di un dado 30 15

16 Esempi lancio di un dado (cont.) 31 Diagrammi di Venn Le relazioni dell'algebra degli eventi vengono illustrate su un piano mediante grafici caratteristici detti Diagrammi di Venn nei quali lo spazio campionario viene disegnato come un rettangolo all'interno del quale vengono posti insiemi chiusi che rappresentano gli eventi. Non interessa l'esatto contorno, quanto piuttosto le mutue relazioni fra di essi e con lo spazio campionario

17 Diagrammi di venn S Spazio Campionario A B S A B S 33 Diagrammi di Venn S S 34 17

18 I postulati del Calcolo delle Probabilità I. Positività: La Probabilità di un evento A è un numero unico non negativo: P(A) 0. II.Certezza: La Probabilità dell evento certo e quindi dello Spazio Campionario S è sempre 1: P(I)=P(S)=1. III. Unione: Se A e B sono eventi incompatibili, allora la probabilità della loro unione è la somma delle singole probabilità di A e B: 35 Modello Probabilistico Consiste nell'insieme ipotizzato dei risultati possibili di una prova e nella descrizione delle probabilità assegnate a tali risultati. Spazio Campionario S: E' l'insieme di tutti i risultati possibili dell'esperimento

19 . Quando l assegnazione delle probabilità ad eventi soddisfa i tre postulati, la funzione P(evento) viene definita funzione di probabilità. 37 I Teoremi Fondamentali Teorema della Probabilità Totale P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) A B S 38 19

20 I Teoremi Fondamentali (cont.) Generalizzazione al caso di 3 eventi A B C S 39 Probabilità Condizionata La probabilità dell'evento B, dato che si è verificato l'evento A, è il rapporto fra la probabilità del contemporaneo verificarsi di A e B e la probabilità di A, se questa è diversa da zero: Teorema della Probabilità Composta P(A B) = P(A B) P(B) = P(A) P(B A) 40 20

21 Indipendenza Stocastica Due Eventi A e B sono Stocasticamente Indipendenti se: P(A B) = P(A) P(B) 41 Teorema di Bayes Siano date due cause, A e la negazione di A, che possono generare l evento E Siano date le probabilità a-priori delle singole cause e le probabilità probative del verificarsi dell evento E date le singole cause. Si dimostrano le probabilità a-posteriori: ( ) = P A P A E ( ) = P A P A E ( )P( E A) P( A)P( E A) = P( E) P( A)P( E A) + P( A )P( E A ) ( )P( E A ) P( A )P( E A ) = P( E) P( A)P( E A) + P( A )P E A ( ) 42 21

22 Una misura della Probabilità Data una Prova che genera k eventi elementari E 1,..., E k necessari, E 1 E 2. E k = I, incompatibili a due a due 43 Una misura della Probabilità Dai postulati si deduce univocamente la misura della probabilità per ciascuno di essi P(E i ) = 1 k 44 22

23 Il postulato empirico del caso In una successione di prove, ripetute molte volte nelle stesse condizioni, ogni evento si presenta con una frequenza relativa quasi uguale alla sua probabilità; la differenza tra frequenza relativa e probabilità di un evento tende ad annullarsi all'aumentare delle prove. 45 osservazioni la frequenza è un concetto a posteriori, cioè si calcola dopo aver compiuto l'esperimento, mentre la probabilità è un concetto a priori, cioè si calcola prima dell'esperimento e senza che sia necessario effettuarlo; 46 23

24 osservazioni nella teoria della probabilità alla parola "caso" non si dà il significato che gli affida il linguaggio comune; per lo statistico, in un esperimento concreto, "caso" è l'insieme di quei fattori che egli non ritiene preponderanti nel determinare il risultato della prova; 47 osservazioni la "tendenza" della frequenza relativa verso la probabilità di un evento non deve essere interpretata nel senso dell'analisi matematica (cioè come il limite di una successione); essa scaturisce solo da una universale convinzione circa il comportamento degli eventi casuali